Spiraali

Spiraali eli kierukka on viiva tai kuvio, joka kiertää itseään leikkaamatta monta kierrosta saman keskipisteen tai akselin ympäri.^[1] Geometriassa spiraali on tasokäyrä, joka itseään leikkaamatta kiertää äärettömän monta kertaa saman keskipisteen ympäri ja jota pitkin liikkuva piste loittonee koko ajan keskipisteestä tai lähestyy sitä.^[1]

Erilaisia spiraaleja

Analyyttisessä geometriassa spiraalien yhtälöt voidaan helpoimmin esittää napakoordinaattien avulla, jolloin r merkitsee etäisyyttä spiraalin keskipisteestä ja θ suuntakulmaa. Tällöin etäisyys r on suuntakulman θ suhteen jokin monotonisesti kasvava tai vähenevä funktio. Myös ympyrä voidaan käsittää spiraalin rajatapaukseksi, jossa etäisyys r on vakio.

Tärkeimpiä spiraaleja ovat:

• Arkhimedeen spiraali, jonka sisäkkäiset kierrokset ovat yhtä etäällä toisistaan. Sen yhtälö on r = a + bθ.
• Logaritminen spiraali leikkaa kaikki spiraalin keskipisteen kautta kulkevat suorat yhtä suuressa kulmassa. Sen yhtälö on r = ab^θ.
• Fibonaccin spiraali ja kultainen spiraali ovat logaritmisen spiraalin erikoistapauksia.
• Klotoidi on käyrä, jonka kaarevuus (1/R) muuttuu suoraviivaisesti. Klotoidia käytetään rautateiden ja maanteiden kaarteisiin tarvittavien siirtymäkaarien geometrian mitoitukseen.^[2]
• Hyperbolinen spiraali: ${\displaystyle r=a/\theta }$
• Fermat’n spiraali: ${\displaystyle r=\theta ^{1/2}}$

Logaritmisen spiraalin ja sen keskipisteen kautta kulkevan suoran keskipisteen samalla puolella olevat leikkauspisteet muodostavat logaritmisen asteikon. Tätä spiraalia muistuttavia kuvioita on luonnossakin, esimerkiksi simpukoiden kuorissa.

Kuvia spiraaleista

• 
  Arkhimedeen spiraali
• 
  Logaritminen spiraali
• 
  Klotoidi
• 
  Hyperbolinen spiraali
• 
  Fermat’n spiraali

Katso myös

• Kierre

Lähteet

1. Kielitoimiston sanakirja. (Kotimaisten kielten tutkimuskeskuksen julkaisuja 132. Internet-versio MOT Kielitoimiston sanakirja 1.0) Helsinki: Kotimaisten kielten tutkimuskeskus ja Kielikone Oy, 2004. ISBN 952-5446-11-5
2. http://www.rhk.fi/@Bin/1704812/RAMO%202%20Radan%20geometria.pdf%5Bvanhentunut+linkki%5D

Kirjallisuutta

• Cook, T., 1903. Spirals in nature and art. Nature 68 (1761), 296.
• Cook, T., 1979. The curves of life. Dover, New York.
• Habib, Z., Sakai, M., 2005. Spiral transition curves and their applications. Scientiae Mathematicae Japonicae 61 (2), 195 – 206.
• Dimulyo, S., Habib, Z., Sakai, M., 2009. Fair cubic transition between two circles with one circle inside or tangent to the other. Numerical Algorithms 51, 461–476 (Arkistoitu – Internet Archive).
• Harary, G., Tal, A., 2011. The natural 3D spiral. Computer Graphics Forum 30 (2), 237 – 246 (Arkistoitu – Internet Archive).
• Xu, L., Mould, D., 2009. Magnetic curves: curvature-controlled aesthetic curves using magnetic fields. In: Deussen, O., Hall, P. (Eds.), Computational Aesthetics in Graphics, Visualization, and Imaging. The Eurographics Association .
• Wang, Y., Zhao, B., Zhang, L., Xu, J., Wang, K., Wang, S., 2004. Designing fair curves using monotone curvature pieces. Computer Aided Geometric Design 21 (5), 515–527 .
• A. Kurnosenko. Applying inversion to construct planar, rational spirals that satisfy two-point G2 Hermite data. Computer Aided Geometric Design, 27(3), 262-280, 2010 .
• A. Kurnosenko. Two-point G2 Hermite interpolation with spirals by inversion of hyperbola. Computer Aided Geometric Design, 27(6), 474-481, 2010.
• Miura, K.T., 2006. A general equation of aesthetic curves and its self-affinity. Computer-Aided Design and Applications 3 (1–4), 457–464 (Arkistoitu – Internet Archive).
• Miura, K., Sone, J., Yamashita, A., Kaneko, T., 2005. Derivation of a general formula of aesthetic curves. In: 8th International Conference on Humans and Computers (HC2005). Aizu-Wakamutsu, Japan, pp. 166 – 171 (Arkistoitu – Internet Archive).
• Meek, D., Walton, D., 1989. The use of Cornu spirals in drawing planar curves of controlled curvature. Journal of Computational and Applied Mathematics 25 (1), 69–78 .
• Farin, G., 2006. Class A Bézier curves. Computer Aided Geometric Design 23 (7), 573–581 .
• Farouki, R.T., 1997. Pythagorean-hodograph quintic transition curves of monotone curvature. Computer-Aided Design 29 (9), 601–606.
• Yoshida, N., Saito, T., 2006. Interactive aesthetic curve segments. The Visual Computer 22 (9), 896–905 (Arkistoitu – Internet Archive).
• Yoshida, N., Saito, T., 2007. Quasi-aesthetic curves in rational cubic Bézier forms. Computer-Aided Design and Applications 4 (9–10), 477–486 (Arkistoitu – Internet Archive).
• Ziatdinov, R., Yoshida, N., Kim, T., 2012. Analytic parametric equations of log-aesthetic curves in terms of incomplete gamma functions. Computer Aided Geometric Design 29 (2), 129 – 140 .
• Ziatdinov, R., Yoshida, N., Kim, T., 2012. Fitting G2 multispiral transition curve joining two straight lines, Computer-Aided Design 44(6), 591–596 .
• Ziatdinov, R., 2012. Family of superspirals with completely monotonic curvature given in terms of Gauss hypergeometric function. Computer Aided Geometric Design 29(7): 510-518 .
• Ziatdinov, R., Miura K.T., 2012. On the Variety of Planar Spirals and Their Applications in Computer Aided Design. European Researcher 27(8-2), 1227-1232 .

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.