Suoraan verrannollisuus

Suoraan verrannollisuus on matematiikassa ja luonnontieteissä kahden suureen välinen erityinen riippuvuus, jossa kussakin tilanteessa suureiden saamien arvojen suhde pysyy vakiona: eli kaksi toisistaan riippuvaa suuretta, jotka muuttuvat samassa suhteessa, esimerkiksi molemmat puolittuvat tai kaksinkertaistuvat. Nimityksessä oleva "suoraan" sana voidaan jättää kirjoittamatta, sillä tämä on myös yleisen verrannollisuuden määritelmä, mutta sanalla korostetaan usein eroa muista verrannollisuuden lajeista.^[1][2][3]

Matemaattisesti tämä voidaan ilmaista yhtälöllä. Olkoon suureet A ja B verrannolliset, jolloin niiden arvojen suhde on aina k. Silloin voidaan kirjoittaa

${\displaystyle A:B={\frac {A}{B}}=k.}$

Tällöin sanotaan, että "suure A on suoraan verrannollinen suureeseen B" ja tämä voidaan lyhentää joko ${\displaystyle A\sim B}$ tai ${\displaystyle A\propto B}$.^[1][2][3]

Edellinen yhtälö voidaan kirjoittaa myös tulomuodossa

${\displaystyle A=kB.}$

Jos suureet A ja B ovat samanlaatuiset eli niillä on samat mittayksiköt, on kerroin k luku ja sitä kutsutaan suhdeluvuksi. On kuitenkin varsin yleistä, että suureet A ja B ovat erilaatuiset, jolloin kerroin k on itsekin suure ja sillä on mittayksikkö. Tällöin suuretta k kutsutaan myös verrannollisuuskertoimeksi.^[1][2][4]

Esimerkkejä

Suoraan verrannollinen ilmiö voidaan määrittää matemaattisen tarkasti, mutta esimerkiksi luonnonilmiöt seuraavat suoraan verrannollisuutta pienen virhemarginaalin sisällä.

Maalaaminen

Suoraan verrannollisuuden havaitsee yleensä tutustumalla ilmiön mekanismiin. Esimerkiksi talon yhden ${\displaystyle A=3m^{2}}$ suuruisen seinän maalaamiseen kuluu ${\displaystyle B=0,25l}$ maalia. Mikäli talon seinien laatu on samanlainen, on muiden seinien kulutus samanlaista. Kulutus lasketaan verrannollisuuskertoimen k avulla

${\displaystyle {\frac {A}{B}}={\frac {3m^{2}}{0,25l}}=12{\tfrac {m^{2}}{l}}=k}$

eli 12 neliömetrin kuluu yksi litraa maalia. Maalaamalla talo loppuun nähdään, onko pinta-ala ja maalin määrä suoraan verrannolliset toisiinsa. Esimerkiksi toisen seinän maalaamisessa suhtautuvat suureet C ja D

${\displaystyle {\frac {C}{D}}={\frac {6m^{2}}{0,50l}}=12{\tfrac {m^{2}}{l}}=k,}$

missä verrannollisuuskerroin k on edelleen sama, koska maalin kulutus on säilynyt samana.

Suhdeluvut ovat samat, joten suureet A ja B sekä C ja D ovat verrannolliset ja tämä merkitään suuren mitatuilla arvoilla

${\displaystyle 3m^{2}\sim 0,25l}$ ja ${\displaystyle 6m^{2}\sim 0,5l}$

tai suureiden muuttujilla

${\displaystyle A\sim B}$ ja ${\displaystyle C\sim D}$

tai suureiden nimillä

${\displaystyle {\mbox{pinta-ala}}\sim {\mbox{maalin määrä}}.}$

Esimerkistä voi huomata sen seikan, että verrannollisuus johtuu luonnon ilmiön toiminnasta. Tässä tapauksessa siitä syystä, että pinta on samanlainen kaikilla talon seinillä ja maalia kuluu aina saman verran jokaisella neliömetrillä.

Palkka

Yksinkertaisessa tapauksessa työntekijälle maksettava palkka on suoraan verrannollinen tehtyihin työtunteihin. Jos yhdestä työtunnista saa palkkaa 11 €, niin kahdesta tunnista saa 22 € ja 8 tunnista 88 €. Palkanmaksu p on suoraan verrannollinen tuntimäärään t (siis p ~ t) eli ${\displaystyle p=kt}$, missä verrannollisuuskerroin k = 11 €/h.^[4]

Ohmin laki

Ohmin laki: Virta I jännitteen V funktiona.

Ohmin lain mukaisesti toimiva virtapiirin komponentti antaa virran I kasvaa sitä mukaa kuin jännite U kasvaa. Mitattuja jännitteen ja virran arvoja voidaan pitää suoraan verrannollisina, jos niiden verrannollisuuskerroin on aina sama. Mittaamiseen liittyvistä epätarkkuuksista johtuu, ettei verrannollisuuskerroin ole aina ihan sama. Kuitenkin, mitä paremmilla välineillä jännitettä ja virtaa mitataan, sitä tarkemmaksi verrannollisuuskerroin tulee. Tarkkuuden paraneminen näkyy myös kuvaajan mittapisteiden parempana kollineaarisuutena. Kuvaajan antaman vaikutelman mukaan voidaan (käytetyllä tarkkuudella) esittää, että ${\displaystyle U\sim I}$.^[5]

Muita luonnonlakeja

Esimerkiksi seuraavat luonnonlait kuvaavat kahta suoraan verrannollista suuretta (nimetty suluissa):

• Dynamiikan peruslaki (F,a): ${\displaystyle F=ma}$
• Hooken laki (F,x): ${\displaystyle F=-kx}$
• Kitka (F,N): ${\displaystyle F=\mu N}$
• Työ määrä (W,s): ${\displaystyle W=Fs}$ (vakioinen vastusvoima F)

Verranto

Pääartikkeli: Verranto

Koska edellä on esitetty, että

${\displaystyle {\mbox{pinta-ala}}\sim {\mbox{maalin määrä}}}$,

huomataan eri arvojen taulukosta, että uusia arvoja voi laskea kertomalla ja jakamalla arvoja vakiolla sekä lisäämällä ja vähentämällä arvoja toisistaan. Taulukossa on tästä muutama esimerkki.

seinän pinta-ala	kulutetun maalin määrä	verrannollisuuskerroin k
3 m²	0,25 l	12 m²/l
1,5 m² = (3:2) m²	0,125 l	12 m²/l
6 m² = (3•2) m²	0,50 l	12 m²/l
7,5 m² = (6 + 1,5) m²	0,625 l	12 m²/l
15 m² = (6•2 + 3) m²	1,25 l	12 m²/l
18,5 m²	x	12 m²/l

Matemaattisesti kaksi suhdetta (eri maalaustilannetta) voidaan kirjoittaa verrantoyhtälöksi, koska verrannollisuuskertoimet säilyvät eri tilanteissa samana ^[4][1][2]

${\displaystyle {\frac {A}{B}}=k\land {\frac {C}{D}}=k\Leftrightarrow {\frac {A}{B}}={\frac {C}{D}}\Leftrightarrow {\frac {A}{C}}={\frac {B}{D}}.}$

Ottamalla taulukosta ensimmäisen ja viimeisen rivin arvot, voidaan ne sijoittaa verrantoyhtälöön ^[4]

${\displaystyle {\frac {3m^{2}}{0,25l}}={\frac {18,5m^{2}}{x}}\Leftrightarrow {\frac {3m^{2}}{18,5m^{2}}}={\frac {0,25l}{x}}.}$

Yhtälön ratkaisu on

${\displaystyle {\frac {3{\cancel {m^{2}}}}{18,5{\cancel {m^{2}}}}}={\frac {0,25l}{x}}\Leftrightarrow 3x=18,5\cdot 0,25l\Leftrightarrow x={\frac {18,5\cdot 0,25l}{3}}\approx 1,5478l.}$

Kuvaajassa suure y on suoraan verrannollinen suureeseen x. Verrannollisuuskertoimen k tulkinta on suoran kulmakerroin.

Kuvaaja

Kahden suureen x ja y arvoja voidaan esittää "xy"-koordinaatistossa, jotta niiden välinen verrannollisuus tulisi havaituksi. Kuvaajan yhtälö on tällöin joko muotoa y = kx tai x = ly riippuen siitä, miten riippuva- ja riippumaton muuttuja valitaan. Verrannollisuuskertoimet k ja l ovat aina toistensa käänteislukuja. Tavallisesti muuttuja x on riippumaton muuttuja, jolloin sen arvot luetaan vaaka-akselilta, ja y luetaan riippuvana muuttujana pystyakselilta. Kuvaajan yhtälöksi tulee siten y = kx, missä k on suureiden verrannollisuuskerroin.^[4]

Suoraan verrannollisuutta esittävässä kuvaajassa on kaksi tunnusmerkkiä. Kuvaajan käyrä on suora ja tämä suora kulkee origon kautta. Suureilla saattaa olla myös negatiivisia arvoja, jolloin kuvaaja kulkee origon läpi, mutta muutoin kuvaaja alkaa origosta. Suoran jyrkkyyttä kuvaava kulmakerroin on verrannollisuuskertoimen k arvo.^[4]

Katso myös

• Kääntäen verrannollisuus

Lähteet

1. Väisälä, Kalle: Geometria, s. 49–53. Porvoo: Wsoy, 1959. Teoksen verkkoversio (pdf).
2. Weisstein, Eric W.: Proportional (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
3. Weisstein, Eric W.: Directly Proportional (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
4. Alatupa, Sami et al.: Pitkä Sigma 1, s. 34–38. (lukion pitkän matematiikan oppikirja) Helsinki: Otava, 2008. ISBN 978-951-26-5822-0
5. Lehto, Heikki et. al.: Fysiikka – Sähkö 6, s. 24–28. Helsinki: TAMMI, 2010. ISBN 978-951-31-5295-6