Kääntäen verrannollisuus

Kääntäen verrannollisuus on matematiikassa ja luonnontieteissä kahden suureen välinen erityinen riippuvuus, jossa suureen käänteisluku on toisen suureen kanssa suoraan verrannollinen.^[1][2][3][4]

Matemaattisesti tämä voidaan ilmaista yhtälöllä. Olkoot suureet A ja B kääntäen verrannolliset. Silloin ovat suureet ${\displaystyle \scriptstyle A}$ ja ${\displaystyle \scriptstyle B^{-1}}$ suoraan verrannolliset, jolloin niiden arvojen suhde on aina vakio k, ja siksi voidaan kirjoittaa

${\displaystyle A:B^{-1}={\frac {A}{B^{-1}}}=AB=k.}$

Tällöin sanotaan, että "suure A on kääntäen verrannollinen suureeseen B" ja tämä voidaan lyhentää joko ${\displaystyle A\sim B^{-1}}$ eli ${\displaystyle A\sim {\frac {1}{B}}}$ tai ${\displaystyle A\propto {\frac {1}{B}}}$. Suhdeluku k on määritelmän verrannollisuuskerroin, jonka merkitys on käänteisessä verrannollisuudessa erilainen kuin suorassa verrannollisuudessa.^[1][2][5][4]

Esimerkkejä

Suureet, jotka ovat kääntäen verrannollisia, käyttäytyvät käänteisesti. Kun toinen suure kasvaa, pienenee toinen suure, ja päinvastoin. Suureen pieneneminen riippuu aina toisen suureen kasvamisesta niin, että niiden kasvukertoimet ovat toistensa käänteislukuja. Toinen tapa varmistaa käänteinen verrannollisuus on laskea toiselle suureelle käänteisluvut ja tutkia, ovatko ne tämän jälkeen suoraan verrannolliset suureet. Ehkä helpoin tapa on kuitenkin kertoa suureiden arvot keskenään. Jos tulon arvo k on aina sama, ovat suureet kääntäen verrannolliset.

Kakun jako

Juhlissa kakku on leikattu valmiiksi 12 viipaleeseen. Juhliin saapuu ensin 4 vierasta, jolloin kakusta riittää 3 viipaletta kullekin vieraalle. Kun juhliin saapuu 2 vierasta lisää, jää viipaleita jokaiselle enää 2. Tilanne, jossa kakku jaetaan vieraille kokonaan, on vieraiden lukumäärän ja saatujen viipaleiden lukumäärän suhteen kääntäen verrannollinen. Tämän voi todeta kertomalla suureiden arvot keskenään. Alussa oli 4 vierasta ja kullekin riitti 3 viipaletta. Näiden lukumäärien tulo on 4•3 = 12. Lopussa oli 6 vierasta ja jokainen sai 2 viipaletta. Nytkin tulo on 6•2 = 12.

Autolla ajaminen

Automatka kaupunkien A ja B välillä on 210 kilometriä. Jos autolla ajaa tämän matkan tasaisella 70 km/h nopeudella, vie ajomatka 3 tuntia. Jos saman matkan ajaa 42 km/h, vie se nyt 5 tuntia. Nopeus ja ajoaika ovat toisilleen kääntäen verrannollisia ja verrannollisuuskerroin on 70 km/h•3h = 210 km (eli kuljettava matka).

Laskeminen verrannolla

Esimerkiksi kerrostalon maalausurakassa maalarien lukumäärän vaikutusta työn kestoon voidaan arvioida verrannollisuutta hyväksi käyttäen. Silloin

${\displaystyle {\mbox{työn kesto}}\sim {\frac {1}{\mbox{maalarien lukumäärä}}}}$

ja eri tilanteita voidaan arvioida taulukoimalla niitä helppojen lukujen avulla.

maalarien lukumäärä	työn kesto (päiviä)	verrannollisuuskerroin k
2	16,5 pv	2•16,5 pv = 33 pv
6 (= 2•3)	5,5 pv (= 16,5:3)	33 pv
30 (= 6•5)	1,1 pv (= 5,5:5)	33 pv
3 (= 30:10)	11 (= 1,1•10)	33 pv
13	x	33 pv

Jos tunnetaan verrannollisuuskerroin, voidaan viimeisen rivin tuntematon x ratkaista. Viimeiseltä riviltä saadaan

${\displaystyle 13x=33{\mbox{pv}}\Leftrightarrow x={\tfrac {33}{13}}{\mbox{pv}}\approx 2,54{\mbox{pv}}.}$

Ellei verrannollisuuskerrointa tunneta, mutta tiedetään taulukon kaksi vasenta saraketta. Matemaattisesti kaksi suhdetta (eri maalaustilannetta) voidaan kirjoittaa verrantoyhtälöksi, koska verrannollisuuskertoimet säilyvät eri tilanteissa samana ^[4][1][2]

${\displaystyle AB=k\land CD=k\Leftrightarrow AB=CD\Leftrightarrow {\frac {A}{C}}={\frac {D}{B}}.}$

Viimeinen vaihe on samanlainen verranto kuin suoraan verrannossakin mutta sillä erolla, että oikeanpuoleinen suhde on sen käänteisluku.

Ottamalla taulukosta ensimmäisen ja viimeisen rivin arvot, voidaan ne sijoittaa verrantoyhtälöön (oikea puoli käännettynä) ^[4]

${\displaystyle {\frac {2}{13}}={\frac {x}{16,5{\mbox{pv}}}}\Leftrightarrow x={\frac {2\cdot 16,5{\mbox{pv}}}{13}}\approx {\tfrac {33}{13}}{\mbox{pv}}\approx 2,54{\mbox{pv}}.}$

Kuvaajat

Kääntäen verrannollisten suureiden kuvaaja on hyperbeli. Jos toinen suure kuvataan käänteislukujensa avulla, muodostuu kuvaajasta origon kautta kulkeva suora.

Kahden suureen x ja y arvoja voidaan esittää "xy"-koordinaatistossa, jotta niiden välinen verrannollisuus tulisi havaituksi. Kuvaajan yhtälö xy = k voidaan ratkaista toisen suureen suhteen, jolloin yhtälö on joko muotoa y = k/x tai x = k/y riippuen siitä, miten riippuva- ja riippumaton muuttuja valitaan. Tavallisesti muuttuja x on riippumaton muuttuja, jolloin sen arvot luetaan vaaka-akselilta, ja y luetaan riippuvana muuttujana pystyakselilta. Kuvaajan yhtälöksi tulee siten y = k/x, missä k on suureiden verrannollisuuskerroin. Kuvaajaa kutsutaan hyperbeliksi.^[4]

Valitsemalla vapaasti toinen suure, josta käytetään kuvaajan piirtämisessä sen arvojen käänteislukuja, voidaan esittää suoraan verrannollisten suureiden kuvaaja. Suureen ja toisen suureen käänteisluvun muuttujilla kuvaajasta tulee origon kautta kulkeva suora. Suoran jyrkkyyttä kuvaava kulmakerroin on verrannollisuuskertoimen k arvo.^[4]

Katso myös

• Verrannollisuuksia on erilaisia.
• Suoraan verrannollisuus liittyy kaikkiin verrannollisuuksiin.

Lähteet

1. Väisälä, Kalle: Geometria, s. 49–53. Porvoo: Wsoy, 1959. Teoksen verkkoversio (pdf).
2. Weisstein, Eric W.: Proportional (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
3. Weisstein, Eric W.: Inversely Proportional (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
4. Alatupa, Sami et al.: Pitkä Sigma 1, s. 34–41. (lukion pitkän matematiikan oppikirja) Helsinki: Otava, 2008. ISBN 978-951-26-5822-0
5. Weisstein, Eric W.: Directly Proportional (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)