Eksponenttifunktio

Eksponenttifunktio tai eksponentiaalifunktio on matematiikassa transsendenttisiin alkeisfunktioihin kuuluva funktio. Se on määritelty kaikille reaaliluvuille ja saa arvoksi positiivisia reaalilukuja. Eksponenttifunktio kertoo, mikä on tietyn, kantaluvuksi kutsutun vakion arvo korotettuna muuttujan määräämään potenssiin. Kantaluku voi olla mikä tahansa positiivinen reaaliluku paitsi ykkönen.^[1]

Eksponenttifunktion ${\displaystyle e^{x}}$ kuvaaja.

Eksponenttifunktio, jonka kantaluku on Neperin luku ${\displaystyle e}$, on matematiikassa hyvin tunnettu funktio. Joskus eksponenttifunktiolla viitataan nimenomaan tähän ${\displaystyle e}$:n eksponenttifunktioon.

Eksponenttifunktion käänteisfunktio on logaritmifunktio. Kantaluvun ${\displaystyle e}$ logaritmifunktiota sanotaan luonnolliseksi logaritmiksi. Mikä tahansa eksponenttifunktio voidaan esittää ${\displaystyle e}$:n eksponenttifunktion ja logaritmifunktion yhdistettynä funktiona.

Matemaattinen merkintä

Matemaattisesti ilmaistuna eksponenttifunktio määritellään seuraavasti:

${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R_{+}} }$

${\displaystyle f(x)=a^{x},\,\!}$

missä ${\displaystyle a>0,\,a\neq 1.}$

Kun kantalukuna on Neperin luku ${\displaystyle e}$, voidaan käyttää jompaakumpaa seuraavista merkinnöistä:

${\displaystyle f(x)=e^{x},\,\!}$

${\displaystyle f(x)=\exp(x).\,\!}$

Jälkimmäistä merkintää käytetään etenkin yhdistetyissä funktioissa, joissa eksponenttiin pelkän muuttujan ${\displaystyle x}$ paikalle on sijoitettu jokin monimutkaisempi muuttujan ${\displaystyle x}$ funktio. Mielivaltaisen kantaluvun ${\displaystyle a}$ eksponenttifunktio voidaan esittää tällaisena yhdistettynä funktiona seuraavasti:

${\displaystyle a^{x}=(e^{\ln a})^{x}=e^{x\ln a}=\exp(x\ln a),\!\,}$

missä ${\displaystyle \ln }$ merkitsee luonnollista logaritmia.

Eksponenttifunktion ${\displaystyle e^{x}}$ vaihtoehtoisia määritelmiä

Kantaluvun ${\displaystyle e}$ eksponenttifunktion ${\displaystyle e^{x}}$ Taylorin sarja on

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\ldots }$

Tätä sarjakehitelmää voidaan käyttää myös eksponenttifunktion määritelmänä. Sen avulla funktio voidaan määritellä myös, kun argumenttina on kompleksiluku.

Eksponenttifunktio voidaan kirjoittaa myös raja-arvona seuraavasti:

${\displaystyle e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{x \over n}\right)^{n}.}$

Näissä määritelmissä ${\displaystyle n}$ on luonnollinen luku, ${\displaystyle x}$ on mielivaltainen reaaliluku tai kompleksiluku ja ${\displaystyle n!}$ on kertoma.

Funktion kulku

Koska eksponenttifunktio kuuluu alkeisfunktioihin ja on määritelty kaikilla muuttujan x reaalisilla arvoilla, on se kaikkialla jatkuva. Funktion kuvaaja (x,y)-koordinaatistossa on myös kaikkialla x-akselin yläpuolella, sillä eksponenttifunktio voi kantaluvusta riippumatta saada vain positiivisia arvoja. Lisäksi kuvaajalta tunnetaan nämä kaksi pistettä:

• Kun ${\displaystyle x=0}$, funktio saa arvon yksi, sillä mikä tahansa luku (paitsi nolla, joka ei voi olla kantalukuna) potenssiin nolla on yksi:

${\displaystyle f(0)=a^{0}=1.\!\,}$

• Kun taas ${\displaystyle x=1}$, tulee funktion arvoksi sen kantaluku:

${\displaystyle f(1)=a^{1}=a.\!\,}$

Näin ollen eksponenttifunktion kuvaaja kulkee aina pisteiden ${\displaystyle (0,1)}$ ja ${\displaystyle (1,a)}$ kautta.

Jos kantaluku ${\displaystyle a>1}$, niin kuvaaja on aidosti kasvava. Oikealle mentäessä kuvaaja nousee kohti äärettömyyttä. Vasemmalle mentäessä kuvaaja lähestyy x-akselia yläpuolelta, mutta koska funktio ei voi saada arvoksi nollaa, kuvaaja ei koskaan saavuta x-akselia. Niinpä x-akseli on kuvaajan vaakasuora asymptootti ja funktion raja-arvo positiivisessa äärettömyydessä on äärettömyys, negatiivisessa äärettömyydessä nolla. Raja-arvot ovat siis matemaattisesti ilmaistuna seuraavat:

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=\infty ,}$

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=0.}$

Jos taas ${\displaystyle 0<a<1}$, niin kuvaaja on kasvaa päinvastaiseen suuntaan: Kuvaaja lähestyy oikealle mentäessä x-akselia yläpuolelta ja vasemmalle mentäessä äärettömyyttä. Tällöinkin x-akseli on siis kuvaajan asymptootti, mutta eri suunnassa. Raja-arvot ovat seuraavat:

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=0,}$

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=\infty .}$

Derivaatat ja differentiaaliyhtälöt

Eksponenttifunktion derivaatta on seuraava:

${\displaystyle {d \over dx}a^{x}=(\ln a)a^{x}.}$

Koska kantaluku ${\displaystyle a}$ on vakio, derivaatta on siis alkuperäinen eksponenttifunktio vakiolla kerrottuna. Kantaluvun ${\displaystyle e}$ tapauksessa ${\displaystyle \ln e=1}$, joten

${\displaystyle {d \over dx}e^{x}=e^{x}.}$

Kantaluvun ${\displaystyle e}$ eksponenttifunktion derivaatta on siis eksponenttifunktio itse. Tämä ominaisuus on ainutlaatuinen reaalilukumuuttujien reaalilukuarvoisilla funktioilla. Ominaisuudella on seuraavat seuraukset:

• Funktion kuvaajaa sivuavan suoran eli tangentin kulmakerroin missä kohdassa kuvaajaa tahansa on yhtä suuri kuin funktion arvo kyseisessä kohdassa.
• Funktion kasvunopeus missä kohdassa kuvaajaa tahansa on yhtä suuri kuin funktion arvo kyseisessä kohdassa.
• Funktio on ratkaisu differentiaaliyhtälöön ${\displaystyle y\prime =y}$.

Kantaluvun ${\displaystyle e}$ eksponenttifunktion erikoisasema matematiikassa ja monissa matemaattisissa sovelluksissa johtuu juuri tästä derivaatan ominaisuudesta.

Eksponenttifunktio kompleksialueessa

Kompleksialueelle eksponenttifunktio määritellään saman sarjakehitelmän avulla, joka pätee myös reaalisille argumenteille:

${\displaystyle e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{z^{n} \over n!}=1+z+{z^{2} \over 2!}+{z^{3} \over 3!}+{z^{4} \over 4!}+\ldots }$^[2]

Jos kantalukuna on jokin muu reaaliluku a, määritellään eksponenttifunktio ${\displaystyle a^{z}}$ seuraavasti:

${\displaystyle a^{z}=e^{z\ln a}}$

Kantaluvun a on kuitenkin oltava positiivinen reaaliluku, muussa tapauksessa eksponenttifunktio ei ole yksikäsitteisesti määriteltävissä.

Samaan tapaan myös trigonometriset funktiot laajennetaan kompleksialueeseen Taylorin sarjakehitelmien avulla. Kompleksialueessa eksponenttifunktion ja trigonometriset funktiot yhdistää toisiinsa Eulerin kaava,

${\displaystyle e^{i\phi }=\cos \phi +i\sin \phi }$.^[3]

Laskusääntöjä

Kompleksiselle eksponenttifunktiolle pätevät seuraavat laskusäännöt: Olkoot ${\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbb {C} }$:

${\displaystyle e^{z_{1}}e^{z_{2}}=e^{z_{1}+z_{2}}}$ ^[4]

${\displaystyle e^{z}=e^{x+iy}}$=${\displaystyle e^{x}e^{iy}}$ ^[4]

${\displaystyle {\frac {e^{z_{1}}}{e^{z_{2}}}}=e^{z_{1}-z_{2}}}$ ^[3]

${\displaystyle {\frac {de^{z}}{dz}}=e^{z}}$^[4]

Sovelluksia

Erityisesti ${\displaystyle e}$:n eksponenttifunktiota hyödynnetään lukuisissa matemaattisissa sovelluksissa. Esimerkiksi monet differentiaaliyhtälöt, kuten Schrödingerin yhtälö ja Laplacen yhtälö, johtavat ${\displaystyle e}$:n eksponenttifunktioihin. Samoin todennäköisyyslaskennan Rencontre-ongelma ratkeaa ${\displaystyle e}$:n eksponenttifunktion avulla.

Eksponentiaalinen kasvu ja pieneneminen

Pääartikkeli: Eksponentiaalinen kasvu

Mallinnettaessa sellaisia mitattavia ilmiöitä, joissa ilmiön kulloinenkin muutosnopeus on suoraan tai kääntäen verrannollinen ilmiön sen hetkiseen arvoon, sopii muotoa

${\displaystyle f(t)=c\cdot e^{t}}$

oleva eksponenttifunktio usein ilmiön kuvaajaksi. Tässä ${\displaystyle t}$ on ajanhetki ja ${\displaystyle c}$ on reaalilukuvakio. Tällöin suureen sanotaan kasvavan tai pienenevän eksponentiaalisesti riippuen siitä, onko vakio c positiivinen vai negatiivinen. Jos pääomalle maksetaan jatkuvasti korkoa korolle, se kasvaa ajan myötä eksponentiaalisesti. Myös esimerkiksi Thomas Malthusin esittämässä rajoittamattomassa väestönkasvumallissa vakio on positiivinen, eli hänen mallinsa mukaan väkiluku pyrkii kasvamaan eksponentiaalisesti. Hajoavan radioaktiivisen aineen määrää esittävissä funktioissa vakio puolestaan on negatiivinen eli jäljellä olevan aineen määrä pienenee eksponentiaalisesti.

Katso myös

• Alkeisfunktio
• Eksponenttifunktion sarjakehitelmä
• Eksponentiaalinen hajoaminen

Lähteet

• Saff, Edward B. ja Snider, Arthur David: Fundamentals of Complex Analysis: Engineering, Science, and Mathematics, Pearson (3. painos).

Viitteet

1. Adams, Robert A.: ”3.2”, Calculus: A Complete Course, s. 167. Pearson: Adisson Wesley, 6. painos.
2. Saff ja Snider, s.28
3. Saff ja Snider, s.27
4. Saff ja Snider, s.26

Kirjallisuutta

• Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II: Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-022-0
• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).

Aiheesta muualla

• Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Eksponenttifunktio Wikimedia Commonsissa