Laplacen yhtälö

Laplacen yhtälö on matemaatikko Pierre-Simon Laplacen mukaan nimetty osittaisdifferentiaaliyhtälö, jolla voidaan mm. mallintaa tasapainotilan potentiaaleja. Laplacen yhtälöllä on sovelluksia mm. sähkömagnetismissa, tähtitieteessä ja virtausmekaniikassa. ^[1]

Laplacen yhtälö kirjoitetaan nabla-operaattorin avulla muodossa

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =0}$

Yleisessä käytössä, etenkin matematiikassa, on myös rinnakkainen merkintätapa

${\displaystyle \Delta \varphi =0}$

missä Δ on niin kutsuttu Laplacen operaattori.

Karteesisessa koordinaatistossa yhtälö voidaan kirjoittaa auki muotoon

${\displaystyle {\partial ^{2}\varphi \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}\varphi \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}\varphi \over \partial z^{2}}=0.}$

Pallokoordinaatistossa yhtälö saa aukikirjoitettuna muodon

${\displaystyle {1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}=0}$

Laplacen yhtälön toteuttavia funktioita kutsutaan harmonisiksi funktioiksi.

Jos yhtälössä on myös vakiotermi tai koordinaateista riippuva funktio muotoa g(x,y,z), niin kyseessä on Poissonin yhtälö.

Katso myös

• Mallintaminen
• Differentiaalilaskenta
• Differentiaaliyhtälö
• Osittaisdifferentiaaliyhtälö