Käänteisfunktio

Käänteisfunktio on funktio, joka kääntää alkuperäisen funktion kuvaussuunnan päinvastaiseksi. Funktion ${\displaystyle f}$ käänteisfunktiota merkitään ${\displaystyle f^{-1}}$. Tämä on vain merkintätapa, eikä liity mitenkään potenssilaskuihin. Käänteisfunktiossa alkuperäisen funktion arvot vastaavat käänteisfunktion muuttujan arvoja ja käänteisfunktion muuttujan arvot alkuperäisen funktion arvoja. Toisin sanoen käänteisfunktiolle ja alkuperäiselle funktiolle pätee ${\displaystyle f(f^{-1}(x))=f^{-1}(f(x))=x}$. Kaikille funktioille ei ole olemassa käänteisfunktioita.^[1]

Määritelmä

Olkoon ${\displaystyle f:A\to B}$ funktio. ${\displaystyle f\,}$:n kuvajoukko ${\displaystyle f(A)\,}$ on kaikkien niiden alkioiden ${\displaystyle y\in B\,}$ joukko, joille ${\displaystyle y=f(x)\,}$ jolloin ${\displaystyle x\in A\,}$. Jos ${\displaystyle f\,}$ on injektio (ehdosta ${\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2})\,}$ aina seuraa ${\displaystyle x_{1}=x_{2}\,}$) on mahdollista määritellä funktio ${\displaystyle g:f(A)\to A}$ asettamalla ${\displaystyle g(y)\,}$:ksi se ${\displaystyle x\in A}$, jolle ${\displaystyle y=f(x)\,}$. Täten ${\displaystyle g\,}$ tulee toteuttamaan ehdon ${\displaystyle g(f(x))=x\,}$ kaikilla ${\displaystyle x\in A}$ ja ${\displaystyle f(g(y))=y\,}$ kaikilla ${\displaystyle y\in f(A)}$.

Funktiota ${\displaystyle g\,}$ sanotaan funktion ${\displaystyle f\,}$ käänteisfunktioksi ja merkitään symbolilla ${\displaystyle f^{-1}\,}$. Käänteisfunktion määrittelyjoukko on sama kuin alkuperäisen funktion arvojoukko. Käänteisfunktion arvojoukko on sama kuin alkuperäisen funktion määrittelyjoukko.

Jos funktio ${\displaystyle g\,}$ on funktion ${\displaystyle f\,}$ käänteisfunktio, on samalla myös ${\displaystyle f\,}$ funktion ${\displaystyle g\,}$ käänteisfunktio.

Esimerkkejä

Olkoon kuvitteellisessa Mattilan perheessä 5 henkeä: Juhani (37v), Anna (32v), Siru (10v), Pasi (8v) ja Taru (5v). Olkoon f funktio, joka liittää perheenjäsenen nimen hänen ikäänsä. Olkoon M perheenjäsenien nimien joukko ja I perheenjäsenien ikien joukko. Toisin sanoen

${\displaystyle M=\{Juhani,Anna,Siru,Pasi,Taru\}}$

${\displaystyle I=\{37,32,10,8,5\}}$

${\displaystyle f:M\rightarrow I}$

${\displaystyle f(Juhani)=37,f(Anna)=32,f(Siru)=10,f(Pasi)=8,f(Taru)=5}$

Jos haluamme selvittää, kuka perheenjäsen on 32-vuotias, voimme muodostaa funktion, joka liittää perheenjäsenen iän hänen nimeensä. Tämä funktio on f:n käänteisfunktio:

${\displaystyle f^{-1}:I\rightarrow M}$

${\displaystyle f^{-1}(37)=Juhani,f^{-1}(32)=Anna,f^{-1}(10)=Siru,f^{-1}(8)=Pasi,f^{-1}(5)=Taru}$

f:n käänteisfunktio siis käänsi funktion kuvaussuunnan päinvastaiseksi.

Reaalifunktiot

Laskulausekkeella määritellyn reaalimuuttujan reaaliarvoisen funktion ${\displaystyle f\,}$ käänteisfunktion lauseke voidaan usein määrittää ratkaisemalla ${\displaystyle x\,}$ yhtälöstä ${\displaystyle y=f(x)\,}$. Esimerkiksi funktion ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, ${\displaystyle f(x)=2x+3\,}$ käänteisfunktioksi saadaan näin ${\displaystyle f^{-1}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, ${\displaystyle f^{-1}(y)={\frac {1}{2}}(y-3)}$.

Jotta reaalilukujen joukossa tai reaalilukuvälillä määritellyllä funktiolla ${\displaystyle f\,}$ olisi käänteisfunktio, ${\displaystyle f\,}$:n on oltava aidosti kasvava tai aidosti vähenevä. Funktiolla f on käänteisfunktio jos ja vain jos f on bijektio.. Siten esimerkiksi funktiolla ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, ${\displaystyle f(x)=x^{2}\,}$ ei ole käänteisfunktiota, mutta (positiivisten reaalilukujen joukossa) ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ^{+}}$, ${\displaystyle f(x)=x^{2}\,}$, on käänteisfunktio ${\displaystyle f^{-1}\,}$, ${\displaystyle f^{-1}(y)={\sqrt {y}}}$.

Esimerkkejä

• Positiivisten reaalilukujen joukossa potenssifunktion ${\displaystyle y=x^{n}\,}$ käänteis­funktio on juurifunktio ${\displaystyle y={\sqrt[{n}]{x}}}$. Jos eksponentti n on pariton, funktiolla on käänteis­funktio koko reaali­luku­alueella. Vastaavasti juurifunktion käänteis­funktio on potenssi­funktio.
• Eksponenttifunktion ${\displaystyle y=e^{x}\,}$käänteis­funktio on logaritmifunktio ${\displaystyle y=\ln x\,}$.
• Trigonometrisilla funktioilla koko reaali­luku­alueella määriteltyinä ei ole käänteis­funktioita, sillä ne ovat jaksollisia ja saavat saman arvon äärettömän monella muuttujan arvolla. Niille on kuitenkin olemassa rajoitetut välit, joilla niillä on käänteis­funktiot, joita sanotaan arkus­funktioiksi.

Käänteisfunktion derivaatta

Jos ${\displaystyle f\,}$ ja ${\displaystyle f^{-1}\,}$ ovat reaalimuuttujan derivoituvia funktioita, niin on voimassa kaava

${\displaystyle \left(f^{-1}\right)'(f(x))={\frac {1}{f'(x)}}}$.

Lähteet

1. Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja, s. 229–230. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0

Kirjallisuutta

• Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0
• Merikoski, Jorma; Virtanen, Ari; Koivisto, Pertti: Diskreetti matematiikka I. Tampere: Tampereen yliopisto, 2001 (1993). ISBN 951-44-3604-0
• Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II – Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-022-0
• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).