Bijektio

Bijektio on funktio, jossa jokaista funktion parametria vastaa yksi tulosarvo ja kääntäen jokainen maalijoukon alkio on täsmälleen yhden alkion kuva. ^[1]

Bijektio

Bijektio on siis yhtä aikaa sekä injektio että surjektio:

• Injektio: mitkään kaksi lähtöjoukon alkiota eivät kuvaudu samalle maalijoukon alkiolle. ^[1]
• Surjektio: jokaiselle maalijoukon alkiolle kuvautuu jokin lähtöjoukon alkio. ^[1]

Bijektiossa jokainen maalijoukon alkio on täsmälleen yhden alkion kuva. Jokaista funktion parametria vastaa yksi tulosarvo ja kääntäen.

Käänteisfunktio

Jos funktio f on bijektio

${\displaystyle f:X\to Y}$,

voidaan sille määrittää käänteisfunktio

${\displaystyle f^{-1}:Y\to X}$

jolloin käänteisen kuvauksen kaikki joukon ${\displaystyle Y}$ alkiot saavat arvon maalijoukossa ${\displaystyle X}$. Myös käänteisfunktio on bijektio.

Esimerkkejä

Funktio f: R → R, f (x)  = 2x + 1, on bijektio, koska jokaista reaalilukua y kohden voidaan ratkaista yhtälö y = 2x + 1 ja saadaan tasan yksi reaalinen vastaus x = (y − 1)/2.

Funktio g: R → R, g(x) = x², ei ole bijektio. Tämä funktio ei ole injektio, koska funktio saa saman arvon kahdella eri muuttujan arvolla: esimerkiksi g(1) = 1 = g(−1). Toisaalta funktio ei ole surjektio, koska havaitaan esimerkiksi, ettei ole reaalilukua x, jolle x² = −1. Kumpi tahansa näistä seikoista riittää osoittamaan, että funktio g ei ole bijektio. Jos kuitenkin muutetaan funktion g lähtö- ja maalijoukko siten, että pätee g: [0, ∞) → [0, ∞), funktio g on bijektio.

Katso myös

• Surjektio
• Injektio

Lähteet

• Finan, Dr. Marcel B.: The Concept of a Mapping (Arkistoitu – Internet Archive), Arkansas Tech University.

Viitteet

1. Häsä, Jokke & Rämö, Johanna: Johdatus abstraktiin algebraan, s. 23. Helsinki: Gaudeamus, 2015. ISBN 978-952-495-361-0

Kirjallisuutta

• Merikoski, Jorma; Virtanen, Ari; Koivisto, Pertti: Diskreetti matematiikka I. Tampere: Tampereen yliopisto, 2001 (1993). ISBN 951-44-3604-0