Bijektio

Bijektio on funktio, jossa jokaista funktion parametria vastaa yksi tulosarvo ja kääntäen jokainen maalijoukon alkio on täsmälleen yhden alkion kuva. ^[1]

Bijektio

Bijektio on siis yhtä aikaa sekä injektio että surjektio:

• Injektio: mitkään kaksi lähtöjoukon alkiota eivät kuvaudu samalle maalijoukon alkiolle. ^[1]
• Surjektio: jokaiselle maalijoukon alkiolle kuvautuu jokin lähtöjoukon alkio. ^[1]

Bijektiossa jokainen maalijoukon alkio on täsmälleen yhden alkion kuva. Jokaista funktion parametria vastaa yksi tulosarvo ja kääntäen.

Kaksi joukkoa X ja Y ovat bijektiivisiä, jos on olemassa bijektiivinen kartoitus X:stä Y:hyn.^[2]

Käänteisfunktio

Jos funktio f on bijektio

${\displaystyle f:X\to Y}$,

voidaan sille määrittää käänteisfunktio

${\displaystyle f^{-1}:Y\to X}$

jolloin käänteisen kuvauksen kaikki joukon ${\displaystyle Y}$ alkiot saavat arvon maalijoukossa ${\displaystyle X}$. Myös käänteisfunktio on bijektio.

Esimerkkejä

Funktio f: R → R, f (x)  = 2x + 1, on bijektio, koska jokaista reaalilukua y kohden voidaan ratkaista yhtälö y = 2x + 1 ja saadaan tasan yksi reaalinen vastaus x = (y − 1)/2.

Funktio g: R → R, g(x) = x², ei ole bijektio. Tämä funktio ei ole injektio, koska funktio saa saman arvon kahdella eri muuttujan arvolla: esimerkiksi g(1) = 1 = g(−1). Toisaalta funktio ei ole surjektio, koska havaitaan esimerkiksi, ettei ole reaalilukua x, jolle x² = −1. Kumpi tahansa näistä seikoista riittää osoittamaan, että funktio g ei ole bijektio. Jos kuitenkin muutetaan funktion g lähtö- ja maalijoukko siten, että pätee g: [0, ∞) → [0, ∞), funktio g on bijektio.

Katso myös

• Surjektio
• Injektio