Διάμετρος

Στην γεωμετρία, η διάμετρος ενός κύκλου είναι οποιοδήποτε ευθύγραμμο τμήμα διέρχεται από το κέντρο του κύκλου και τα άκρα του είναι στον κύκλο. Μπορεί επίσης να οριστεί ως η χορδή του κύκλου με το μεγαλύτερο μήκος. Και οι δύο αυτοί ορισμοί γενικεύονται στην σφαίρα.

Διάμετρος ${\displaystyle {\rm {AB}}}$ του κύκλου με κέντρο ${\displaystyle {\rm {O}}}$.

Στην σύγχρονη ορολογία, το μήκος ${\displaystyle \delta }$ της διαμέτρου, καλείται επίσης διάμετρος. Με αυτή την χρήση αναφερόμαστε στην διάμετρο και όχι σε μία διάμετρο (που αναφέρεται στο ευθύγραμμο τμήμα καθαυτό), γιατί όλες οι διάμετροι του κύκλου ή της σφαίρας έχουν το ίδιο μήκος, δύο φορές το μέγεθος της ακτίνας ${\displaystyle r}$, δηλαδή

${\displaystyle d=2r\qquad }$ ή ισοδύναμα ${\displaystyle \qquad r={\frac {d}{2}}}$.

Πιο γενικά, σε ένα κυρτό σχήμα, η διάμετρος είναι η μεγαλύτερη απόσταση που μπορεί να δημιουργηθεί από δύο αντίθετες παράλληλες ευθείες που εφάπτονται στον περίβλημά του, και το πλάτος συνήθως ορίζεται ως η μικρότερη τέτοια απόσταση. Και τα δύο μεγέθη μπορούν να υπολογιστούν αποδοτικά με την χρήση rotating calipers.^[1]

Σε μία έλλειψη, η ορολογία είναι διαφορετική. Η διάμετρος μίας έλλειψης είναι οποιαδήποτε χορδή διέρχεται από το κέντρο της έλλειψης.^[2] Αυτός ο ορισμός γενικεύεται και σε άλλες κωνικές τομές.

Η λέξη διάμετρος έρχεται από την αρχαία ελληνική λέξη διάμετρος (διά + μέτρον).^[3] Συνήθως συντομεύεται σε ${\displaystyle {\text{DIA}},{\text{dia}},d,\delta }$, ή ${\displaystyle \varnothing }$.

Γενικεύσεις

Οι παραπάνω ορισμοί ισχύουν μόνο για κύκλους, σφαίρες και κυρτά σχήματα. Αυτά είναι ειδικές περιπτώσεις ενός πιο γενικού ορισμού που ισχύει για οποιοδήποτε ${\displaystyle n}$-διάσταστο (κυρτό ή μη-κυρτό) σχήμα, όπως είναι ο υπερκύβος ή ένα σύνολο από τυχαία σημεία. Η διάμετρος ενός υποσυνόλου ενός μετρικού χώρου είναι το supremum του συνόλου όλων των αποστάσεων μεταξύ ζευγαριών των σημείων στο υποσύνολο. Πιο συγκεκριμένα, αν ${\displaystyle S}$ είναι το υποσύνολο και αν ${\displaystyle \mu }$ είναι μία μετρική απόσταση, η διάμετρος ορίζεται ως $${\displaystyle \operatorname {diam} (S)=\sup _{x,y\in S}\mu (x,y).}$$

Αν η μετρική ${\displaystyle \rho }$ έχει πεδίο τιμών το το σύνολο των πραγματικών αριθμών ${\displaystyle \mathbb {R} }$, αυτό συνεπάγεται ότι το κενό σύνολο (δηλαδή όταν ${\displaystyle S=\varnothing }$) έχει διάμετρο ${\displaystyle -\infty }$ (αρνητικό άπειρο). Κάποιοι μαθηματικοί προτιμούν να αντιμετωπίζουν το κενό σύνολο ως μία ειδική περίπτωση, δίνοντάς του την διάμετρο${\displaystyle 0,}$^[4] που αντιστοιχεί στο πειδίο τιμών της ${\displaystyle \mu }$ να είναι το σύνολο των μη-αρνητικών αριθμών.

Για οποιοδήποτε στερεό σχήμα ή σύνολο από σημεία στο ${\displaystyle n}$-διάστατο Ευκλείδειο χώρο, η διάμετρος του σχήματος ή του συνόλου είναι η ίδια με την διάμετρο του κυρτού περιβλήματός του.

Στην διαφορική γεωμετρία, η διάμετρος είναι ένα σημαντικό Ριμανικό αναλλοίωτο.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

wiktionary logo

Το Βικιλεξικό έχει σχετικό λήμμα:   διάμετρος

Commons logo

Τα Wikimedia Commons έχουν πολυμέσα σχετικά με το θέμα    Διάμετρος

Παραπομπές

1. Toussaint, Godfried T. (1983). «Proc. MELECON '83». Mediterranean Electrotechnical Conference, 24-26 May 1983, Athens. IEEE. (pdf pages in reversed order)
2. Bogomolny, Alexander. «Conjugate Diameters in Ellipse». www.cut-the-knot.org.
3. «diameter - Origin and meaning of diameter by Online Etymology Dictionary». www.etymonline.com.
4. «Re: diameter of an empty set». at.yorku.ca.