Χορδή (γεωμετρία)

Στην γεωμετρία χορδή είναι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο σημεία μιας καμπύλης, π.χ. ενός κύκλου.^[1]:34[2]:49 Ο φορέας του ευθύγραμμου αυτού τμήματος λέγεται τέμνουσα του κύκλου.

Η κόκκινη γραμμή ${\displaystyle {\rm {AB}}}$ είναι μια χορδή του κύκλου.

Χορδή επαφών^{[εκκρεμεί παραπομπή]} είναι αυτή που συνδέει τα σημεία επαφής δυο εφαπτόμενων που φέρονται από ένα εξωτερικό σημείο μιας κωνικής τομής. Λέγεται πολική του σημείου αυτού ως προς τη θεωρούμενη κωνική.

Συμπληρωματικές χορδές^{[εκκρεμεί παραπομπή]} σε μια κωνική τομή είναι αυτές που ξεκινούν από το ίδιο σημείο της και καταλήγουν στα πέρατα μιας διαμέτρου της.

Ιδιότητες

• Σε ίσα τόξα ενός κύκλου αντιστοιχούν ίσες χορδές και αντίστροφα.

Απόδειξη

Σε ίσα τόξα αντιστοιχούν ίσες χορδές (${\displaystyle \Rightarrow }$) Έστω ένας κύκλος ${\displaystyle (\mathrm {O} ,\rho )}$ και ${\displaystyle {\rm {AB}}}$, ${\displaystyle {\rm {\Gamma \Delta }}}$ δύο ίσα τόξα σε αυτόν. Θεωρούμε τις ακτίνες ${\displaystyle {\rm {OA}}}$, ${\displaystyle {\rm {OB}}}$, ${\displaystyle {\rm {O\Gamma }}}$, ${\displaystyle {\rm {O\Delta }}}$ και τις χορδές ${\displaystyle {\rm {AB}}}$ και ${\displaystyle {\rm {\Gamma \Delta }}}$. Σύμφωνα με το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς, τα τρίγωνα ${\displaystyle {\rm {OAB}}}$ και ${\displaystyle {\rm {O\Gamma \Delta }}}$ είναι ίσα. Συνεπώς θα είναι και ${\displaystyle {\rm {AB}}={\rm {\Gamma \Delta }}}$. (${\displaystyle \Leftarrow }$) Θεωρούμε δύο ίσες χορδές ${\displaystyle {\rm {AB}}}$, ${\displaystyle {\rm {\Gamma \Delta }}}$ σε κύκλο ${\displaystyle (\mathrm {O} ,\rho )}$. Τα τρίγωνα ${\displaystyle {\rm {OAB}}}$ και ${\displaystyle {\rm {O\Gamma \Delta }}}$ που σχηματίζονται είναι ίσα από το κριτήριο πλευράς-πλευράς-πλευράς. Συνεπώς ${\displaystyle {\widehat {\rm {AOB}}}={\widehat {\rm {\Gamma O\Delta }}}}$ (ισότητα γωνιών) από όπου ${\displaystyle {\rm {AB}}={\rm {\Gamma \Delta }}}$ (ισότητα τόξων).

• Η κάθετη από το κέντρο ενός κύκλου προς μία χορδή του, διχοτομεί τη χορδή.

Απόδειξη

Το απόστημα ${\displaystyle {\rm {OM}}}$ της χορδής ${\displaystyle {\rm {AB}}}$ Έστω ένας κύκλος ${\displaystyle (\mathrm {O} ,\rho )}$ και ${\displaystyle {\rm {AB}}}$ μία χορδή του. Αν ${\displaystyle {\rm {OM}}}$ είναι το απόστημα της ${\displaystyle {\rm {AB}}}$ τότε τα τρίγωνα ${\displaystyle {\rm {OMB}}}$ και ${\displaystyle {\rm {OMA}}}$ είναι ίσα ως ορθογώνια με μία κοινή κάθετη και υποτείνουσα ίση. Έτσι ${\displaystyle \mathrm {MA} =\mathrm {MB} }$, άρα το ${\displaystyle {\rm {M}}}$ θα είναι μέσο της ${\displaystyle {\rm {AB}}}$ και ${\displaystyle {\widehat {\rm {MOA}}}={\widehat {\rm {MOB}}}}$ (ισότητα γωνιών), δηλαδή ${\displaystyle \mathrm {NA} =\mathrm {NB} }$ (ισότητα τόξων) και το ${\displaystyle {\rm {N}}}$ είναι το μέσο του τόξου ${\displaystyle {\rm {AB}}}$.

• Δύο χορδές κύκλου είναι ίσες αν και μόνο αν τα αποστήματά τους είναι ίσα.

Απόδειξη

Δύο χορδές είναι ίσες αν και μόνο αν τα αποστήματά τους είναι ίσα. (${\displaystyle \Rightarrow }$) Έστω ${\displaystyle {\rm {AB}}}$ και ${\displaystyle {\rm {\Gamma \Delta }}}$ ίσες χορδές σε έναν κύκλο ${\displaystyle (\mathrm {O} ,\rho )}$. Φέρνουμε τα αποστήματα ${\displaystyle {\rm {OK}}}$ και ${\displaystyle {\rm {O\Lambda }}}$ και τις ακτίνες ${\displaystyle {\rm {OA}}}$ και ${\displaystyle {\rm {O\Gamma }}}$ αντίστοιχα. Τα τρίγωνα ${\displaystyle {\rm {OKA}}}$ και ${\displaystyle {\rm {O\Lambda \Gamma }}}$ είναι ίσα ως ορθογώνια με ίση κάθετη πλευρά και την υποτείνουσα ίση με ρ. Έτσι και οι ${\displaystyle {\rm {OK}}}$ και ${\displaystyle {\rm {O\Lambda }}}$ θα είναι ίσες. (${\displaystyle \Leftarrow }$) Έστω ${\displaystyle {\rm {AB}}}$ και ${\displaystyle {\rm {\Gamma \Delta }}}$ χορδές σε έναν κύκλο ${\displaystyle (\mathrm {O} ,\rho )}$ με ίσα αποστήματα ${\displaystyle {\rm {OK}}}$ και ${\displaystyle {\rm {O\Lambda }}}$ αντίστοιχα. Φέρνουμε τις ακτίνες ${\displaystyle {\rm {OA}}}$ και ${\displaystyle {\rm {O\Gamma }}}$. Τα τρίγωνα ${\displaystyle {\rm {OKA}}}$ και ${\displaystyle {\rm {O\Lambda \Gamma }}}$ είναι ίσα ως ορθογώνια με ίση κάθετη πλευρά και την υποτείνουσα ίση με ${\displaystyle \rho }$. Έτσι και ${\displaystyle \mathrm {AK} =\mathrm {\Gamma \Lambda } }$, δηλαδή οι χορδές θα είναι ίσες μεταξύ τους.

• Κάθε χορδή σε κύκλο είναι μικρότερη ή ίση της διαμέτρου.

Δείτε επίσης

• Τόξο (γεωμετρία)
• Κύκλος
• Ευθεία τέμνουσα κύκλου

Παραπομπές

1. Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Θεωρητική Γεωμετρία. Αθήνα: Πέτρου Γ. Τόγκα.
2. Ταβανλης, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία. Αθήνα: Ι. Χιωτελη.