Υποσύνολο

Στα μαθηματικά, ένα σύνολο ${\displaystyle X}$ ονομάζεται υποσύνολο ενός συνόλου ${\displaystyle Y}$ και συμβολίζουμε με ${\displaystyle X\subseteq Y}$, εάν κάθε στοιχείο του ${\displaystyle X}$ είναι και στοιχείο (ανήκει) του ${\displaystyle Y}$ δηλαδή ισχύει:^[1]:5[2]

${\displaystyle \forall x.(x\in X\Rightarrow x\in Y)}$

Διάγραμμα Βεν όπου το σύνολο ${\displaystyle X}$ είναι υποσύνολο του συνόλου ${\displaystyle Y}$.

Για παράδειγμα, το ${\displaystyle X=\{1,3\}}$ είναι υποσύνολο του ${\displaystyle Y=\{1,2,3,4\}}$. Το σύνολο ${\displaystyle Y}$ λέγεται και υπερσύνολο του ${\displaystyle X}$ και συμβολίζεται ως ${\displaystyle Y\supseteq X}$.

Ακόμα χρησιμοποιούμε την ορολογία: το σύνολο ${\displaystyle X}$ περιέχεται στο σύνολο ${\displaystyle Y}$ ή ακόμα ότι το σύνολο ${\displaystyle Y}$ είναι υπερσύνολο του συνόλου ${\displaystyle X}$ και γράφουμε ${\displaystyle X\subseteq Y}$. Μπορούμε να θεωρήσουμε το ${\displaystyle \subseteq }$ ως τη σχέση που αποτελείται από όλα τα διατεταγμένα ζεύγη ${\displaystyle (X,Y)}$ για τα οποία ισχύει ${\displaystyle X\subseteq Y}$.

Το σύνολο όλων των υποσυνόλων του ${\displaystyle Y}$ είναι το δυναμοσύνολο ${\displaystyle {\mathcal {P}}(Y)}$.

Παραδείγματα

Παρακάτω δίνονται μερικά παραδείγματα υποσυνόλων:

• Το σύνολο όλων των ανδρών είναι υποσύνολο του συνόλου όλων των ανθρώπων.
• ${\displaystyle \{1,3\}\subseteq \{1,2,3,4\}}$.
• ${\displaystyle \{1,2,3,4\}\subseteq \{1,2,3,4\}}$.
• Το σύνολο των περιττών αριθμών είναι υποσύνολο των ακεραίων αριθμών.
• Όλα τα δυνατά υποσύνολα του ${\displaystyle \{1,2,3\}}$ είναι τα εξής:

${\displaystyle \{\},\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{2,3\},\{1,3\},\{1,2,3\}}$.

Ιδιότητες

• Το κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου, δηλαδή ${\displaystyle \emptyset \subseteq X}$ για κάθε σύνολο ${\displaystyle X}$.
• Κάθε σύνολο είναι υποσύνολο του εαυτού του, δηλαδή ${\displaystyle X\subseteq X}$ για κάθε σύνολο ${\displaystyle X}$.

Γνήσιο υποσύνολο

Αν το σύνολο ${\displaystyle X}$ είναι υποσύνολο του ${\displaystyle Y}$ και επίσης ισχύει ότι ${\displaystyle X\neq Y}$, δηλαδή αν υπάρχει τουλάχιστον ένα στοιχείο του ${\displaystyle Y}$ το οποίο να μην ανήκει στο ${\displaystyle X}$, τότε λέμε ότι το σύνολο ${\displaystyle X}$ είναι γνήσιο υποσύνολο του ${\displaystyle Y}$ και το συμβολίζουμε με ${\displaystyle X\subset Y}$ ή με ${\displaystyle X\subsetneq Y}$. Αντίστοιχα, ορίζεται το γνήσιο υπερσύνολο ${\displaystyle Y\supset X}$ ή ${\displaystyle X\supsetneq Y}$.

Παραδείγματα

• ${\displaystyle \{1,3\}\subset \{1,2,3,4\}}$.
• Το σύνολο των φυσικών αριθμών ${\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,\ldots ,\}}$ είναι γνήσιο υποσύνολο του συνόλου των ακεραίων ${\displaystyle \mathbb {Z} =\{\ldots ,-1,0,1,\ldots \}}$, δηλαδή ${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} }$.
• Το σύνολο τον ακεραίων είναι γνήσιο υποσύνολο αυτού των ρητών, δηλαδή ${\displaystyle \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} }$.
• Το σύνολο των ρητών γνήσιο υποσύνολο των πραγματικών, δηλαδή ${\displaystyle \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} }$.

Δείτε επίσης

• Σύνολο
• Δυναμοσύνολο

Παραπομπές

1. Καπελλίδης, Σπύρος Κλ. «Σημειώσεις στη Θεωρία Συνόλων» (PDF). Ανακτήθηκε στις 4 Φεβρουαρίου 2023.
2. Μοσχοβάκης, Γιάννης Ν. «Σημειώσεις στη Συνολοθεωρία» (PDF). Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αθηνών. Ανακτήθηκε στις 4 Φεβρουαρίου 2023.