Κενό σύνολο

Στην θεωρία συνόλων, το κενό σύνολο είναι το σύνολο που δεν περιέχει κανένα στοιχείο και συμβολίζεται ως ${\displaystyle \emptyset }$, ${\displaystyle \varnothing }$ ή ${\displaystyle \{\}}$. Σε πολλές από τις αξιωματικές θεμελιώσεις της θεωρίας συνόλων (όπως η θεωρία Zermelo-Fraenkel), η ύπαρξη του κενού συνόλου είναι αξίωμα. Στη γλώσσα της λογικής πρώτου βαθμού, αυτό εκφράζεται ως^[1][2][3]

${\displaystyle \exists S.\forall x.\neg (x\in S)}$,

δηλαδή υπάρχει ένα σύνολο για το οποίο κανένα στοιχείο δεν του ανήκει. Ως συνέπεια αυτού προκύπτει ότι το κενό σύνολο είναι μοναδικό.

Στην θεωρία Zermelo-Fraenkel, το κενό σύνολο χρησιμοποιείται για την κατασκευή των φυσικών αριθμών και κατ'επέκταση των υπόλοιπων αριθμών. Πιο συγκεκριμένα, μπορούν να οριστούν ως

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {0} &=\emptyset ,\\\mathrm {1} &=\{\emptyset \},\\\mathrm {2} &=\{\emptyset ,\{\emptyset \}\},\\&\qquad \vdots \\\mathrm {n} &=\{\mathrm {0} ,\mathrm {1} ,\ldots ,\mathrm {n} -1\},\\&\qquad \vdots \end{aligned}}}$

Ιδιότητες

• Το κενό σύνολο είναι μοναδικό.

Απόδειξη

Δύο σύνολα ${\displaystyle S_{1}}$ και ${\displaystyle S_{2}}$ είναι ίσα ανν ${\displaystyle \forall x.x\in S_{1}\Leftrightarrow x\in S_{2}}$. Έστω ότι υπήρχαν δύο κενά σύνολα ${\displaystyle S_{1}}$ και ${\displaystyle S_{2}}$, τότε είναι ίσα καθώς η παραπάνω διπλή συνεπαγωγή ικανοποιείται για κάθε ${\displaystyle x}$ αφού ${\displaystyle x\in S_{1}}$ και ${\displaystyle x\in S_{2}}$ είναι ψευδή από τον ορισμό των κενών συνόλων.

• Για κάθε σύνολο ${\displaystyle S}$, ισχύει ότι ${\displaystyle S\cap \emptyset =\emptyset }$.

Απόδειξη

Για κάθε στοιχείο ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle x\in S\cap \emptyset \Leftrightarrow x\in S\wedge x\in \emptyset \Leftrightarrow \mathrm {F} \Leftrightarrow x\in \emptyset .}$ Επομένως, ${\displaystyle S\cap \emptyset =\emptyset }$.

• Για κάθε σύνολο ${\displaystyle S}$, ισχύει ότι ${\displaystyle S\cup \emptyset =S}$

Απόδειξη

Για κάθε στοιχείο ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle x\in S\cup \emptyset \Leftrightarrow x\in S\vee x\in \emptyset \Leftrightarrow x\in S\vee x\in \emptyset \Leftrightarrow x\in S.}$ Επομένως, ${\displaystyle S\cup \emptyset =S}$.

• Το δυναμοσύνολο του κενού συνόλου είναι το σύνολο ${\displaystyle \{\emptyset \}}$.
• Το κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου ${\displaystyle S}$, δηλαδή ${\displaystyle \emptyset \subseteq S}$.

Απόδειξη

Για κάθε στοιχείο ${\displaystyle x}$, έχουμε ότι ${\displaystyle x\in \emptyset \Rightarrow \mathrm {F} \Rightarrow x\in S}$. Επομένως, ${\displaystyle \emptyset \subseteq S}$.

Δείτε επίσης

• Σύνολο
• Υποσύνολο
• Μονοσύνολο

Παραπομπές

1. Καπελλίδης, Σπύρος Κλ. «Σημειώσεις στη Θεωρία Συνόλων» (PDF). Ανακτήθηκε στις 4 Φεβρουαρίου 2023.
2. Μοσχοβάκης, Γιάννης Ν. «Σημειώσεις στη Συνολοθεωρία» (PDF). Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αθηνών. Ανακτήθηκε στις 4 Φεβρουαρίου 2023.
3. Ντζιώρας, Ηλίας Β. (1975). Μαθηματικά Ε' Γυμνασίου. Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων. σελίδες 20–22.