Ουδέτερο στοιχείο

Στα μαθηματικά, το ουδέτερο στοιχείο ή ταυτοτικό στοιχείο μιας δυαδικής πράξης ενός συνόλου, είναι ένα στοιχείο του συνόλου που αφήνει απαράλλακτο κάθε στοιχείο του συνόλου μετά την εφαρμογή της εν λόγω πράξης.^[1][2] Συν τοις άλλοις, η έννοια αυτή βρίσκει εφαρμογή σε αλγεβρικές δομές όπως οι ομάδες και οι δακτύλιοι.

Ορισμοί

Έστω (S, ∗) ένα σύνολο S εφοδιασμένο με μία δυαδική πράξη ∗. Ένα στοιχείο e του S ονομάζεται «εξ αριστερών ουδέτερο στοιχείο» αν ισχύει ότι e ∗ s = s για όλα τα  s στο S και «εκ δεξιών ουδέτερο στοιχείο» αν ισχύει ότι s ∗ e = s για όλα τα s στο S.^[3] αν το e είναι και εξ αριστερών και εκ δεξιών ουδέτερο στοιχείο, τότε συνιστά ένα «αμφίπλευρο ουδέτερο στοιχείο».^{[4][5][6][7][8]}

Το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης ονομάζεται «ουδέτερο στοιχείο ως προς την πρόσθεση» (συχνά συμβολίζεται με το 0) και το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού ονομάζεται «ουδέτερο στοιχείο ως προς τον πολλαπλασιασμό» (συχνά συμβολίζεται με το 1).^[9] Σημειωτέον, ότι με τους όρους «πρόσθεση» και «πολλαπλασιασμός» δεν εννούνται μόνον οι συμβατικές μορφές αυτών των πράξεων, καθώς η υπό εξέταση πράξη μπορεί να έχει οριστεί διαφορετικά. Επί παραδείγματι, στην περίπτωση μιας ομάδας το ουδέτερο στοιχείο αποδίδεται συμβολικά ως ${\displaystyle e}$. Η διάκριση των ουδέτερων στοιχείων πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού γίνεται, συνήθως, για σύνολα που είναι εφοδιασμένα με αμφότερες τις δυαδικές πράξεις, όπως ισχύει για τους δακτυλίους, τις ακέραιες περιοχές και τα σώματα.^[10][11][12]

Παραδείγματα

Σύνολο	Πράξη	Ουδέτερο στοιχείο
Πραγματικοί αριθμοί	+ (Πρόσθεση)	0
Πραγματικοί αριθμοί	· (Πολλαπλασιασμός)	1
Μιγαδικοί αριθμοί	+ (Πρόσθεση)	0
Μιγαδικοί αριθμοί	· (Πολλαπλασιασμός)	1
Θετικοί ακέραιοι αριθμοί	Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο	1
Μη αρνητικοί ακέραιοι αριθμοί	Μέγιστος κοινός διαιρέτης	0 (σύμφωνα με τους περισσότερους ορισμούς του ΜΚΔ)
Πίνακες m×n	Πρόσθεση πινάκων	Μηδενικός πίνακας
Τετραγωνικοί πίνακες n×n	Πολλαπλασιασμός πινάκων	I n (ταυτοτικός πίνακας)
Πίνακες m×n	○ [Γινόμενο Χάνταμαρντ (Hadamard)]	Jm, n (μοναδιαίος πίνακας)
Όλες οι συναρτήσεις που αναχωρούν από ένα σύνολο, M, με άφιξη στον εαυτό του	∘ (Σύνθεση συνάρτησης)	Ταυτοτική συνάρτηση
Όλες οι κατανομές σε μια ομάδα , G	∗ (Συνέλιξη)	δ (δέλτα Ντιράκ)
Εκτεταμένοι πραγματικοί αριθμοί	Ελάχιστο/infimum	+∞ (συν άπειρο)
Εκτεταμένοι πραγματικοί αριθμοί	Μέγιστο/supremum	−∞ (πλην άπειρο)
Υποσύνολα ενός συνόλου M	∩ (Τομή)	M (ήτοι το ίδιο το σύνολο)
Σύνολα	∪ (Ένωση )	∅ (κενό σύνολο)
Συμβολοσειρές, πλειάδες	Συνένωση	Κενή συμβολοσειρά, κενή πλειάδα
Άλγεβρα Μπουλ (δομή)	∧ (Λογικό «και», σύζευξη)	⊤ (αληθές)
Άλγεβρα Μπουλ (δομή)	↔ (Λογική ισοδυναμία)	⊤ (αληθές)
Άλγεβρα Μπουλ (δομή)	∨ (Λογικό «ή», διάζευξη)	⊥ (ψευδές)
Άλγεβρα Μπουλ (δομή)	⊕ (Αποκλειστικό «ή», αποκλειστική διάζευξη)	⊥ (ψευδές)
Κόμβοι	Άθροισμα κόμβων	Λύση κόμβου
Συμπαγείς επιφάνειες	# (Συνεκτικό άθροισμα)	S 2
Ομάδες	Άμεσο γινόμενο	Τετριμμένη ομάδα
Ομογενείς σχέσεις σε ένα σύνολο Χ	Σχετικό γινόμενο	Ταυτοτική σχέση
Σύνολο δύο στοιχείων {e, f}	∗ ορίζεται ως: e ∗ e = f ∗ e = e ${\displaystyle \And }$ f ∗ f = e ∗ f = f	Αμφότερα τα e και f είναι εξ αριστερών ουδέτερα στοιχεία, αλλά δεν υπάρχει εκ δεξιών ουδέτερο στοιχείο, ούτε αμφίπλευρο ουδέτερο στοιχείο

Ιδιότητες

Στο παράδειγμα S = {e,f} με τις ισότητες που δίνονται παραπάνω, το S συνιστά μια ημιομάδα. Με το παράδειγμα αυτό καταδεικνύεται η πιθανότητα το (S, ∗) να έχει πολλά εξ αριστερών ουδέτερα στοιχεία. Μάλιστα, κάθε στοιχείο μπορεί να είναι εξ αριστερών ουδέτερο στοιχείο. Σε ένα αντίστοιχο παράδειγμα, μπορούν να υπάρχουν πολλά εκ δεξιών ουδέτερα στοιχεία. Αν όμως συμβαίνει να υπάρχουν και εξ αριστερών και εκ δεξιών ουδέτερα στοιχεία, τότε πρέπει να είναι ίσα, οπότε προκύπτει ένα αμφίπλευρο ουδέτερο στοιχείο. Για να καταστεί αυτό εμφανές, έστωσαν l εξ αριστερών ουδέτερο στοιχείο και r εκ δεξιών ουδέτερο στοιχείο· τότε ισχύει ότι l = l ∗ r = r. Στην υπό εξέταση περίπτωση δεν μπορούν να υπάρξουν περισσότερα από ένα αμφίπλευρα ουδέτερα στοιχεία, καθώς για δύο τέτοια στοιχεία, e και f, η πράξη e ∗ f θα ισούταν με αμφότερα τα e και f.

Είναι, επίσης, πιθανόν το (S, ∗) να μην έχει ουδέτερο στοιχείο,^[12] όπως συμβαίνει με τον πολλαπλασιασμό στους άρτιους ακεραίους.^[9] Ένα, ακόμα, παράδειγμα είναι το εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων, όπου η απουσία του ουδέτερου στοιχείου οφείλεται στο ότι η κατεύθυνση οποιουδήποτε μη μηδενικού διανυσματικού γινομένου είναι πάντοτε κάθετη στα πολλαπλασιαζόμενα στοιχεία· συνεπώς, δεν είναι εφικτό να προκύψει ένα μη μηδενικό διάνυσμα στην ίδια κατεύθυνση με το αρχικό (όπως θα συνέβαινε αν το αρχικό διάνυσμα είχε πολλαπλασιαστεί με το ουδέτερο στοιχείο της πράξης). Ακόμα ένα τέτοιο παράδειγμα είναι η προσθετική ημιομάδα των θετικών φυσικών αριθμών.

Δείτε επίσης

• Αλγεβρικές ταυτότητες
• Αντίθετος αριθμός
• Μονοειδές