Τομή συνόλων

Στην θεωρία συνόλων, η τομή δύο συνόλων ${\displaystyle A}$ και ${\displaystyle B}$ ονομάζουμε το σύνολο που αποτελείται από τα κοινά στοιχεία των συνόλων ${\displaystyle A}$ και ${\displaystyle B}$.

Διάγραμμα Βενν τομής δύο συνόλων.

Η τομή των ${\displaystyle A}$ και ${\displaystyle B}$ συμβολίζεται με ${\displaystyle A\cap B}$ και ορίζεται ως:^{[1][2][3][4]:113}

${\displaystyle A\cap B=\{x:x\in A}$ και ${\displaystyle x\in B\}}$.

Για παράδειγμα:

• Αν ${\displaystyle A=\{1,2,3,\alpha ,\beta ,\gamma \}}$ και ${\displaystyle B=\{1,3,4,5,6,\alpha ,\gamma \}}$ είναι ${\displaystyle A\cap B=\{1,3,\alpha ,\gamma \}}$.
• Αν ${\displaystyle A=\{1,2,3,4\}}$ και ${\displaystyle B=\{5,6,\alpha ,\gamma \}}$ είναι ${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$ όπου ${\displaystyle \varnothing }$ είναι το κενό σύνολο, δηλαδή το σύνολο το οποίο δεν έχει στοιχεία.

Για δύο σύνολα ${\displaystyle A}$ και ${\displaystyle B}$ χωρίς κοινά στοιχεία, δηλαδή με ${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$, λέμε ότι είναι ξένα μεταξύ τους.

Ιδιότητες

Η τομή συνόλων είναι μια πράξη μεταξύ συνόλων, για την οποία ισχύουν οι ιδιότητες:
(όπου ${\displaystyle A,B,\Gamma \subseteq \Omega }$ και ${\displaystyle \varnothing }$ είναι το κενό σύνολο)

• ${\displaystyle A\cap A=A}$ (ανακλαστική ιδιότητα)
• ${\displaystyle A\cap \Omega =A}$
• ${\displaystyle A\cap A^{c}=\varnothing }$
• ${\displaystyle A\cap B=B\cap A}$ (αντιμεταθετική ιδιότητα)
• ${\displaystyle A\cap (B\cap \Gamma )=(A\cap B)\cap \Gamma }$ (προσεταιριστική ιδιότητα)
• ${\displaystyle A\cap B\subseteq A}$ και ${\displaystyle A\cap B\subseteq B}$
• ${\displaystyle A\subseteq B\Leftrightarrow A\cap B=A}$
• ${\displaystyle A\subseteq B\Rightarrow A\cap \Gamma \subseteq B\cap \Gamma }$

Ακόμη για τις πράξεις της ένωσης και της τομής συνόλων ισχύουν και οι γενικές ιδιότητες:

• ${\displaystyle A\cup (B\cap \Gamma )=(A\cup B)\cap (A\cup \Gamma )}$ (επιμεριστική ιδιότητα της ένωσης ως προς την τομή)
• ${\displaystyle A\cap (B\cup \Gamma )=(A\cap B)\cup (A\cap \Gamma )}$ (επιμεριστική ιδιότητα της τομής ως προς την ένωση)
• ${\displaystyle A\cup (A\cap B)=A\cap (A\cup B)=A}$ (ιδιότητα της απορρόφησης)

Δείτε επίσης

• Θεωρία συνόλων
• Ένωση συνόλων

Παραπομπές

1. Μοσχοβάκης, Γιάννης Ν. «Σημειώσεις στη συνολοθεωρία» (PDF). Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Καλιφόρνιας και Πανεπιστήμιο Αθηνών. Ανακτήθηκε στις 10 Ιουλίου 2023.
2. Παντζιου, Γραμματη. «Στοιχεία λογικής και θεωρίας συνόλων» (PDF). Πανεπιστήμιο Δυτικής Αττικής. Ανακτήθηκε στις 10 Ιουλίου 2023.
3. Αδάμ, Μαρία. «Συνολα» (PDF). Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Ανακτήθηκε στις 10 Ιουλίου 2023.
4. Hamilton, A. G. (1982). Numbers, sets and axioms: the apparatus of mathematics. Cambridge: Cambridge Univ. Press. ISBN 9780521287616.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Commons logo

Τα Wikimedia Commons έχουν πολυμέσα σχετικά με το θέμα    Τομή συνόλων