Αντιμεταθετική ιδιότητα

Στα μαθηματικά, μία δυαδική πράξη ικανοποιεί την αντιμεταθετική ιδιότητα αν για κάθε δύο στοιχεία παίρνουμε το ίδιο αποτέλεσμα αν ανταλλάξουμε τη σειρά τους (δηλαδή τα αντιμεταθέσουμε).

Η πράξη της πρόσθεσης είναι αντιμεταθετική, π.χ. ${\displaystyle 3+2=2+3=5}$.

Οι πιο γνωστές πράξεις που ικανοποιούν αυτή την ιδιότητα είναι η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός (στους ακεραίους) π.χ.: ${\displaystyle 3+4=4+3}$ ή ${\displaystyle 2\times 5=5\times 2}$, αλλά όπως θα δούμε παρακάτω υπάρχουν πολλές άλλες τέτοιες πράξεις σε πολλούς τομείς των μαθηματικών. Όμως, υπάρχουν και πράξεις όπως η αφαίρεση και η διαίρεση στις οποίες δεν ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα, π.χ. ${\displaystyle 3-5\neq 5-3}$. Τέτοιου είδους πράξεις λέμε ότι δεν είναι αντιμεταθετικές ή ότι είναι μη-αντιμεταθετικές. Η ιδέα ότι απλές πράξεις όπως η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός των αριθμών, είναι αντιμεταθετικές προϋπήρχε για πολλά χρόνια χωρίς να της έχει δοθεί κάποιο όνομα μέχρι το 19ο αιώνα όταν τα μαθηματικά ξεκίνησαν να τυποποιούνται.

Χρήσεις

Η αντιμεταθετική ιδιότητα συνδέεται με δυαδικές πράξεις και συναρτήσεις. Αν αυτή ισχύει για δύο στοιχεία σε μια συγκεκριμένη δυαδική πράξη τότε τα στοιχεία αυτά λέμε ότι αντιμετατίθενται ως προς τη πράξη αυτή.

Μαθηματικοί ορισμοί

Ο όρος "αντιμεταθετικότητα" χρησιμοποιείται σε αρκετές σχετικές μεταξύ τους περιπτώσεις.

1. Μια δυαδική πράξη ${\displaystyle \ast }$ σε ένα σύνολο S λέγεται αντιμεταθετική αν:

   ${\displaystyle x\ast y=y\ast x\;\;\;\forall x,y\in S.}$

   Μια πράξη η οποία δεν ικανοποιεί την παραπάνω πράξη καλείται μη-αντιμεταθετική.

2. Λέμε ότι το x αντιμετατίθεται με το y ως προς μια πράξη ${\displaystyle \ast }$ αν:

   ${\displaystyle x\ast y=y\ast x}$

3. Μία δυαδική συνάρτηση ${\displaystyle f:A\times A\rightarrow B}$ ονομάζεται αντιμεταθετική αν:

   ${\displaystyle f(x,y)=f(y,x)\;\;\;\forall x,y\in A}$

Παραδείγματα

Αντιμεταθετικές πράξεις στην καθημερινότητα

• Η διαδικασία που εκτελούμε για να βάλουμε κάλτσες μοιάζει με μία αντιμεταθετική πράξη, αφού δεν έχει σημασία ποια κάλτσα θα βάλουμε πρώτη. Σε κάθε περίπτωση το αποτέλεσμα (έχουμε φορέσει και τις δύο κάλτσες) είναι το ίδιο.
• Η αντιμεταθετικότητα της πρόσθεσης παρατηρείται όταν αγοράζουμε κάτι με μετρητά. Ανεξάρτητα από τη σειρά με την οποία θα δώσουμε τα λεφτά, στο τέλος το άθροισμα θα είναι το ίδιο.

Η πρόσθεση διανυσμάτων είναι αντιμεταθετική πράξη αφού ${\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {b}}+{\vec {a}}}$

Αντιμεταθετικές πράξεις στα μαθηματικά

Δύο γνωστά παραδείγματα αντιμεταθετικών δυαδικών πράξεων είναι τα εξής:

• Η πρόσθεση των πραγματικών αριθμών είναι αντιμεταθετική πράξη, καθώς

${\displaystyle y+z=z+y\;\;\;\forall y,z\in \mathbb {R} }$

Για παράδειγμα, 4 + 5 = 5 + 4, αφού και οι δύο εκφράσεις βγάζουν άθροισμα 9.

• Ο πολλαπλασιασμός των πραγματικών αριθμών είναι αντιμεταθετική πράξη, καθώς

${\displaystyle yz=zy\;\;\;\forall y,z\in \mathbb {R} }$

Για παράδειγμα, 3 x 5 = 5 x 3, αφού και οι δύο εκφράσεις βγάζουν 15.

• Κάποιες δυαδικές αληθο-συναρτήσεις είναι επίσης αντιμεταθετικές, αφού οι πίνακες αληθείας των συναρτήσεων παραμένουν ίδιοι όταν αλλάζουμε τη σειρά των τελεστών.

Για παράδειγμα, η λογική ισοδυναμία ${\displaystyle p\leftrightarrow q}$ είναι ίδια με την ${\displaystyle q\leftrightarrow p}$. Αυτή η συνάρτηση γράφεται και ως ${\displaystyle p}$ ανν ${\displaystyle q}$ ή ${\displaystyle p\equiv q}$ ή ${\displaystyle Epq}$.

• Περισσότερα παραδείγματα αντιμεταθετικών δυαδικών πράξεων περιλαμβάνουν την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό μιγαδικών αριθμών, την πρόσθεση και το βαθμωτό πολλαπλασιασμό διανυσμάτων, και την τομή και την ένωση συνόλων.

Μη-αντιμεταθετικές πράξεις στην καθημερινότητα

• Συνένωση (ή παράθεση), δηλαδή η πράξη με την οποία τοποθετούνται ακολουθίες χαρακτήρων μαζί, είναι μία μη-αντιμεταθετική πράξη. Για παράδειγμα,

${\displaystyle EA+T=EAT\neq TEA=T+EA}$

• Το πλύσιμο και το στέγνωμα των ρούχων μοιάζει με αντιμεταθετική πράξη, αφού είναι διαφορετικό αν πλύνεις πρώτα τα ρούχα και μετά τα στεγνώσεις από το να κάνεις την αντίστροφη διαδικασία.
• Η περιστροφή ενός βιβλίου κατά 90° γύρω από έναν κάθετο άξονα και μετά κατά 90° γύρω από έναν οριζόντιο άξονα έχει διαφορετικό αποτέλεσμα από το να γίνουν οι περιστροφές με διαφορετική σειρά.
• Οι περιστροφές του κύβου του Ρούμπικ είναι μη-αντιμεταθετικές. Αυτό μπορεί να κατανοηθεί καλύτερα μελετώντας τη θεωρία ομάδων.

Μη-αντιμεταθετικές πράξεις στα μαθηματικά

Κάποιες μη-αντιμεταθετικές δυαδικές πράξεις είναι οι εξής:

• Η αφαίρεση είναι μη-αντιμεταθετική πράξη, αφού ${\displaystyle 0-1\neq 1-0}$
• Η διαίρεση είναι μη-αντιμεταθετική πράξη, αφού ${\displaystyle 1/2\neq 2/1}$
• Κάποιες αληθο-συναρτήσεις είναι μη-αντιμεταθετικές, αφού οι πίνακες αληθείας των συναρτήσεων είναι διαφορετικοί όταν αλλάζουμε τη σειρά των τελεστών.

A	B	f (A,B)	f (B,A)
Ψ	Ψ	Ψ	Ψ
Ψ	Α	Ψ	Α
Α	Ψ	Α	Ψ
Α	Α	Ψ	Ψ

Για παράδειγμα, οι πίνακες αληθείας για τις ${\displaystyle f(A,B)=A\wedge \neg B}$ (${\displaystyle A}$ και όχι ${\displaystyle B}$) και ${\displaystyle f(A,B)=B\wedge \neg A}$ είναι οι εξής:

• Ο πολλαπλασιασμός πινάκων είναι μη-αντιμεταθετική πράξη, αφού

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&2\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}\neq {\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}}$

• Ο πολλαπλασιασμός δύο διανυσμάτων τριών διαστάσεων είναι μη-αντιμεταθετική πράξη. π.χ.: b × a = −(a × b).

Ιστορία

Ο όρος έγινε γνωστός για πρώτη φορά όταν δημοσιεύθηκε το 1814 από το γαλλικό Τύπο.

Η ιδέα της αντιμεταθετικής ιδιότητας είναι αρκετά παλιά. Οι αρχαίοι Αιγύπτιοι γνώριζαν και χρησιμοποιούσαν την αντιμεταθετική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού για να απλοποιήσουν τις πράξεις τους.^[1][2] Επίσης στα Στοιχεία φαίνεται ότι ο Ευκλείδης έχει επίγνωση της αντιμεταθετικής ιδιότητας.^[3] Οι πρώτες χρήσεις της αντιμεταθετικής ιδιότητας εμφανίζονται στα τέλη του 18ου αιώνα και αρχές του 19ου αιώνα, όταν οι μαθηματικοί ξεκίνησαν να ασχολούνται με τη θεωρία των συναρτήσεων. Σήμερα, η αντιμεταθετική ιδιότητα είναι γνωστή και βασική στους περισσότερους κλάδους των μαθηματικών.

Η πρώτη καταγραφή του όρου αντιμεταθετικότητα βρίσκεται στο βιογραφικό του Φρανσουά Σερβουά (François Servois) το 1814, ο οποίος χρησιμοποίησε τη λέξη αντιμεταθετική όταν περιέγραφε συναρτήσεις οι οποίες είχαν αυτό που τώρα λέγεται αντιμεταθετική ιδιότητα. Αυτή η σύνθετη λέξη αποτελείται από τη πρόθεση αντί, το χρονικό επίρρημα μετά και το ρήμα θέτω.

Προτασιακή λογική

Κανόνας της αντικατάστασης

Στην αληθο-συναρτησιακή προτασιακή λογική, η αντιμετάθεση ή η αντιμεταθετικότητα αναφέρεται σε δύο βασικούς κανόνες αντικατάστασης. Οι κανόνες αυτοί μας επιτρέπουν να αντιμεταθέσουμε προτασιακές μεταβλητές μέσα σε λογικές εκφράσεις με λογικές αποδείξεις. Οι κανόνες είναι οι εξής:

${\displaystyle (P\vee Q)\Leftrightarrow \left(Q\vee P\right)}$

και

${\displaystyle (P\wedge Q)\Leftrightarrow \left(Q\wedge P\right)}$

όπου "${\displaystyle \Leftrightarrow }$" είναι ένα σύμβολο που σημαίνει "το ένα μέλος συνεπάγεται το άλλο."

Αληθο-συναρτησιακοί σύνδεσμοι

Αντιμεταθετικότητα είναι μία ιδιότητα μερικών λογικών σχέσεων της αληθο-συναρτησιακής προτασιακής λογικής. Οι ακόλουθες λογικές ισοδυναμίες δείχνουν ότι η αντιμεταθετικότητα είναι μία ιδιότητα συγκεκριμένων συνδέσμων. Οι παρακάτω είναι αληθο-συναρτησιακές ταυτολογίες.

Αντιμεταθετικότητα της τομής

${\displaystyle (P\wedge Q)\leftrightarrow (Q\wedge P)}$

Αντιμεταθετικότητα της ένωσης

${\displaystyle (P\vee Q)\leftrightarrow (Q\vee P)}$

Αντιμεταθετικότητα της συνεπαγωγής

${\displaystyle (P\rightarrow (Q\rightarrow R))\leftrightarrow (Q\rightarrow (P\rightarrow R))}$

Αντιμεταθετικότητα της ισοδυναμίας

${\displaystyle (P\leftrightarrow Q)\leftrightarrow (Q\leftrightarrow P)}$

Θεωρία συνόλων

Στις ομάδες και στη θεωρία συνόλων, πολλές αλγεβρικές δομές ονομάζονται αντιμεταθετικές όταν οι ορισμένες πράξεις ικανοποιούν την αντιμεταθετική ιδιότητα. Σε ανώτερους κλάδους των μαθηματικών, όπως η ανάλυση και η γραμμική άλγεβρα, η αντιμεταθετικότητα των γνωστών πράξεων (όπως η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός των πραγματικών και των μιγαδικών αριθμών) χρησιμοποιείται σε αποδείξεις.

Μαθηματικές δομές και αντιμεταθετικότητα

• Μία αντιμεταθετική ημιομάδα είναι ένα σύνολο εφοδιασμένο με μια αντιμεταθετική και προσεταιριστική πράξη.
• Αν η πράξη αυτή έχει επιπλέον ένα ουδέτερο στοιχείο τότε έχουμε ένα μεταθετικό μονοειδές.
• Μία αβελιανή ομάδα, ή αντιμεταθετική ομάδα είναι μία ομάδα η οποία είναι εφοδιασμένη με μία αντιμεταθετική πράξη.
• Ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος είναι ο δακτύλιος στον οποίο ο πολλαπλασιασμός είναι αντιμεταθετική πράξη. (Η πρόσθεση σε έναν δακτύλιο είναι πάντα αντιμεταθετική πράξη)
• Σε ένα σώμα η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός είναι αντιμεταθετικές πράξεις.

Ιδιότητες

Προσεταιριστική ιδιότητα

Κύριο λήμμα: Προσεταιριστική ιδιότητα

Η προσεταιριστική ιδιότητα σχετίζεται άμεσα με την αντιμεταθετική. Σύμφωνα με την προσεταιριστική ιδιότητα μιας έκφρασης που περιλαμβάνει δύο ή περισσότερες εμφανίσεις της ίδιας πράξεις, η σειρά που εκτελούνται οι πράξεις δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα, αν και μόνον αν η σειρά των όρων δεν αλλάζει. Αντιθέτως, σύμφωνα με την αντιμεταθετική ιδιότητα η σειρά των όρων δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα.

Πιο συγκεκριμένα, η πράξεη ${\displaystyle \ast }$ ικανοποιεί την προσεταιριστική ιδιότητα στο σύνολο ${\displaystyle S}$ αν για κάθε ${\displaystyle a,b,c\in S}$ ισχύει ότι

${\displaystyle (a\ast b)\ast c=a\ast (b\ast c)}$.

Πολλές από τις αντιμεταθετικές πράξεις που συναντάμε είναι επίσης προσεταιριστικές. Ωστόσο, η αντιμεταθετική ιδιότητα δε συνεπάγεται την προσεταιριστική. Ένα τέτοιο παράδειγμα είναι η συνάρτηση

${\displaystyle f(x,y)={\frac {x+y}{2}}}$

η οποία είναι ξεκάθαρα αντιμεταθετική (εναλλάσσοντας το ${\displaystyle x}$ με το ${\displaystyle y}$ δεν επηρεάζεται το αποτέλεσμα) αλλά δεν είναι προσεταιριστική, καθώς,

${\displaystyle f(-4,f(0,+4))=-1f(f(-4,0),+4)=+1}$.

Συμμετρία

Το γράφημα δείχνει τη συμμετρία της προσθετικής συνάρτησης

Κύριο λήμμα: Συμμετρία

Πολλές μορφές συμμετρίας συνδέονται άμεσα με την αντιμεταθετικότητα. Όταν ένας αντιμεταθετικός τελεστής είναι γραμμένος σαν δυαδική συνάρτηση τότε η τελική συνάρτηση είναι συμμετρική ως προς την ευθεία ${\displaystyle y=x}$. Για παράδειγμα, αν θέσουμε τη συνάρτσηση ${\displaystyle f}$ να αναπαριστάνει την πρόσθεση (μία αντιμεταθετική πράξη) έτσι ώστε ${\displaystyle f(x,y)=x+y}$ τότε η ${\displaystyle f}$ είναι μία συμμετρική συνάρτηση, όπως φαίνεται και στην εικόνα.

Για τις σχέσεις, μια συμμετρική σχέση είναι ανάλογη μιας αντιμεταθετικής πράξης, καθώς αν μία σχέση ${\displaystyle R}$ είναι συμμετρική, τότε ${\displaystyle aRb\Leftrightarrow bRa}$.

Μη-αντιμεταθετικοί τελεστές στη κβαντική μηχανική

Στη κβαντική μηχανική όπως διατυπώθηκε από τον Έρβιν Σρέντινγκερ, οι φυσικές μεταβλητές εκφράζονται με γραμμικούς τελεστές όπως το x (πολλαπλασιασμός επί x) και το ${\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}}$. Αυτοί οι τελεστές δεν αντιμετατίθενται όπως γίνεται αντιληπτό θεωρώντας την επίδραση των συνθέσεών τους ${\displaystyle x{\tfrac {d}{dx}}}$ και ${\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}x}$ (που λέγονται και γινόμενα τελεστών) σε μία μονοδιάστατη κυματοσυνάρτηση ${\displaystyle \psi (x)}$:

${\displaystyle x{\frac {d}{dx}}\psi =x{\psi }'\neq {\frac {d}{dx}}x\psi =\psi +x{\psi }'}$.

Σύμφωνα με την αρχή της απροσδιοριστίας του Βέρνερ Χάιζενμπεργκ, αν δύο τελεστές που εκφράζουν ένα ζευγάρι μεταβλητών δεν αντιμετατίθενται, τότε οι μεταβλητές αυτές είναι μεταξύ τους συμπληρωματικές, που σημαίνει ότι δεν μπορούν να υπολογιστούν ταυτόχρονα ή με ακρίβεια. Για παράδειγμα, η θέση και η γραμμική ορμή στη ${\displaystyle x}$-διάσταση ενός σωματιδίου εκφράζονται με τους τελεστές ${\displaystyle x}$ και ${\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}$ (όπου ${\displaystyle \hbar }$ είναι η σταθερά του Πλανκ). Είναι το ίδιο αν εξαιρέσουμε τη σταθερά ${\displaystyle -i\hbar }$, έτσι ώστε οι τελεστές να μην αντιμετατίθενται και τελικά η φυσική εξήγηση να είναι ότι η θέση και η γραμμική ορμή σε μια δοσμένη κατεύθυνση είναι συμπληρωματικές μεταξύ τους.

Παραπομπές

1. Lumpkin, p.11
2. Gay and Shute, p.?
3. O'Conner and Robertson, Real Numbers

Περαιτέρω Πηγές

Άρθρα

• https://web.archive.org/web/20080228100512/http://www.ethnomath.org/resources/lumpkin1997.pdf Lumpkin, B. (1997). The Mathematical Legacy Of Ancient Egypt - A Response To Robert Palter. Unpublished manuscript.

Άρθρο (στα αγγλικά) που περιγράφει τις δυνατότητες των αρχαίων πολιτισμών.

• Robins, R. Gay, and Charles C. D. Shute. 1987. The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text. London: British Museum Publications Limited. ISBN 0-7141-0944-4

Μετάφραση (στα αγγλικά) και ερμηνεία του μαθηματικού παπύρου του Ριν (Πάπυρος 10057 του Βρετανικού Μουσείου).

• O'Conner, J J and Robertson, E F. MacTutor history of real numbers, Accessed 8 August 2007

Άρθρο (στα αγγλικά) αναφερόμενο στην ιστορία των πραγματικών αριθμών

Βιβλία

• Axler, Sheldon (1997). Linear Algebra Done Right, 2e. Springer.ISBN 0-387-98258-2.

Θεωρία αφηρημένης άλγεβρας. Καλύπτει την αντιμεταθετικότητα σε ευρύτερο πλαίσιο. Χρησιμοποιεί την ιδιότητα σε όλο το βιβλίο.

• Copi, Irving M.; Cohen, Carl (2005). Introduction to Logic. Prentice Hall.

• Gallian, Joseph (2006). Contemporary Abstract Algebra, 6e. Boston, Mass.: Houghton Mifflin. ISBN 0-618-51471-6.

Θεωρία γραμμικής άλγεβρας. Εξηγεί την αντιμεταθετικότητα στο κεφάλαιο 1, τη χρησιμοποιεί σε όλο το υπόλοιπο βιβλίο.

• Goodman, Frederick (2003). Algebra: Abstract and Concrete, Stressing Symmetry, 2e. Prentice Hall. ISBN 0-13-067342-0.

Θεωρία αφηρημένης άλγεβρας. Χρησιμοποιεί την αντιμεταθετική ιδιότητα σε όλο το βιβλίο.

• Hurley, Patrick (1991). A Concise Introduction to Logic 4th edition. Wadsworth Publishing.

Διαδικτυακές πηγές

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Commutativity", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Krowne, Aaron, Commutative at PlanetMath.org., Accessed 8 August 2007.

Ορισμός αντιμεταθετικότητας και παραδείγματα αντιμεταθετικών πράξεων.

• Weisstein, Eric W., "Commute", MathWorld., Accessed 8 August 2007.

Εξήγηση του όρου αντιμεταθέτω.

• Yark. Examples of non-commutative operations atPlanetMath.org., Accessed 8 August 2007

Παραδείγματα που αποδεικνύουν ότι κάποιες πράξεις είναι μη-αντιμεταθετικές.

• O'Conner, J J and Robertson, E F. MacTutor history of real numbers, Accessed 8 August 2007

Άρθρο για ιστορία των πραγματικών αριθμών.

• Cabillón, Julio and Miller, Jeff. Earliest Known Uses Of Mathematical Terms, Accessed 22 November 2008

Σελίδα για τις πρώτες χρήσεις των μαθηματικών όρων.

• O'Conner, J J and Robertson, E F. MacTutor biography of François Servois, Accessed 8 August 2007

Βιογραφία του Francois Servois, ο οποίος χρησιμοποίησε πρώτος τον όρο.