Λογική διάζευξη

Στη μαθηματική λογική, διάζευξη είναι ο λογικός τελεστής που δίνει αποτέλεσμα αληθές όταν ένας ή περισσότεροι από τους όρους στους οποίους ενεργεί είναι αληθής. Στην καθομιλουμένη γλώσσα αντιστοιχεί στην φράση "ή", αν και συχνά η φράση "ή" έχει την έννοια της αποκλειστικής διάζευξης. Στον γραπτό λόγο συχνά χρησιμοποιείται και η γραφή "ή/και" για να τονιστεί ότι πρόκειται για απλή και όχι αποκλειστική διάζευξη.

Για τη λογική διάζευξη χρησιμοποιούνται τα σύμβολα OR (από την αγγλική λέξη or για το ή) και ${\displaystyle \lor }$ (από το πρώτο γράμμα της λατινικής λέξης vel για το ή).^{[1]:147-148[2]:21[3]:17[4]:17[5]:154}

Πίνακας αλήθειας

Παρακάτω δίνεται ο πίνακας αλήθειας για την πρόταση ${\displaystyle p\lor q}$:

${\displaystyle p}$	${\displaystyle q}$	${\displaystyle p\lor q}$
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

όπου 0 είναι ψευδής και 1 είναι αληθής.

Ιδιότητες

• Η διάζευξη είναι ταυτοδυναμία, δηλαδή ${\displaystyle x\lor x=x}$.

Απόδειξη

Προκύπτει από την πρώτη και την τελευταία γραμμή του πίνακα αληθείας.

• Το ${\displaystyle 0}$ είναι ουδέτερο στοιχείο, δηλαδή ${\displaystyle x\lor 0=0\lor x=x}$.

Απόδειξη

Προκύπτει από τις τρεις πρώτες γραμμές του πίνακα αληθείας.

• Το ${\displaystyle 1}$ είναι απορροφητικό στοιχείο, δηλαδή ${\displaystyle x\lor 1=1\lor x=1}$.

Απόδειξη

Προκύπτει από τις τρεις τελευταίες γραμμές του πίνακα αληθείας.

• Ικανοποιεί την αντιμεταθετική ιδιότητα, δηλαδή ${\displaystyle x\lor y=y\lor x}$.

Απόδειξη

Προκύπτει από του πίνακα αληθείας.

• Ικανοποιεί την προσεταιριστική ιδιότητα, δηλαδή ${\displaystyle x\lor (y\lor z)=(x\lor y)\lor z}$.

Απόδειξη

${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x\lor (y\lor z)}$ ${\displaystyle (x\lor y)\lor z}$ 0 0 0 ${\displaystyle 0\lor 0=0}$ ${\displaystyle 0\lor 0=0}$ 0 0 1 ${\displaystyle 0\lor 1=1}$ ${\displaystyle 0\lor 1=1}$ 0 1 0 ${\displaystyle 0\lor 1=1}$ ${\displaystyle 1\lor 0=1}$ 0 1 1 ${\displaystyle 0\lor 1=1}$ ${\displaystyle 1\lor 1=1}$ 1 0 0 ${\displaystyle 1\lor 0=1}$ ${\displaystyle 1\lor 0=1}$ 1 0 1 ${\displaystyle 1\lor 1=1}$ ${\displaystyle 1\lor 1=1}$ 1 1 0 ${\displaystyle 1\lor 1=1}$ ${\displaystyle 1\lor 1=1}$ 1 1 1 ${\displaystyle 1\lor 1=1}$ ${\displaystyle 1\lor 1=1}$

• Ικανοποιεί την επιμεριστική ιδιότητα ως προς τη λογική σύζευξη, δηλαδή

${\displaystyle x\lor (y\land z)=(x\lor y)\land (x\lor z)}$, και

${\displaystyle x\land (y\lor z)=(x\land y)\lor (x\land z)}$.

Δείτε επίσης

• Άλγεβρα Μπουλ
• Αποκλειστική διάζευξη
• Λογική σύζευξη
• Ένωση συνόλων