Loading AI tools
Aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wilson-Primzahlen (nach Sir John Wilson) sind Primzahlen , für die gilt, dass durch teilbar ist. Es handelt sich dabei um eine stärkere Form des Satzes von Wilson. Bisher sind nur die Wilson-Primzahlen 5, 13 und 563 bekannt.
Der Satz von Wilson besagt, dass genau dann durch teilbar ist, wenn eine Primzahl ist. Für jede Primzahl gilt also:
Als Kongruenz lässt sich dies wie folgt beschreiben:
oder
Das ganzzahlige Ergebnis der Division
wird in diesem Zusammenhang auch als Wilson-Quotient bezeichnet[1] (Folge A007619 in OEIS).
Eine Wilson-Primzahl ist nun jede Primzahl , die darüber hinaus sogar Teiler „ihres“ Wilson-Quotienten ist (und den Satz von Wilson damit quasi zweimal erfüllt).
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei
hat eine eindeutige Lösung
oder
Annahme:
mit
Widerspruch: kann nicht gleichzeitig und teilen
Die Zahl ist ein Teiler von :
Also ist wegen des Satzes von Wilson eine Primzahl. Da sie ebenfalls ein Teiler des entsprechenden Wilson-Quotienten ist (36.846.277 13 = 2.834.329), ist sie sogar eine Wilson-Primzahl.
Die wiederholte Teilung entspricht der Division durch das Quadrat der Ausgangszahl. Analog zum Satz von Wilson gilt daher, dass jede Primzahl genau dann eine Wilson-Primzahl ist, wenn:
Beziehungsweise:
oder
Bisher sind nur die Wilson-Primzahlen 5, 13 und 563[2] bekannt (Folge A007540 in OEIS). Sollten weitere Wilson-Primzahlen existieren, so sind sie größer als .[3] Es wird vermutet, dass unendlich viele Wilson-Primzahlen existieren, und zwar etwa zwischen und .[4][5]
Die Verallgemeinerung des Satzes von Wilson besagt, dass eine natürliche Zahl genau dann eine Primzahl ist, wenn für alle gilt:
Es ist also eine Primzahl, wenn ganzzahlig ist.
Eine verallgemeinerte Wilson-Primzahl der Ordnung n ist eine Primzahl , für welche gilt:
Es ist also eine verallgemeinerte Wilson-Primzahl der Ordnung n, wenn ganzzahlig ist.
Als Kongruenz lässt sich dies wie folgt beschreiben:
oder
Es wird vermutet, dass es für jede natürliche Zahl unendlich viele verallgemeinerte Wilson-Primzahlen der Ordnung gibt.
Sei eine Primzahl und . Die Quadratzahl ist ein Teiler von :
Also ist ein Teiler des entsprechenden verallgemeinerten Wilson-Quotienten und ist deswegen eine verallgemeinerte Wilson-Primzahl der Ordnung .
Der folgenden Tabelle kann man die verallgemeinerten Wilson-Primzahlen der Ordnung entnehmen für :
|
|
Die kleinsten verallgemeinerten Wilson-Primzahlen der Ordnung lauten (bei aufsteigendem ):
Schon die nächste verallgemeinerte Wilson-Primzahl der Ordnung ist nicht bekannt, muss aber größer als sein.
Eine Primzahl , welche die Kongruenz
erfüllt, nennt man Fast-Wilson-Primzahl (englisch Near-Wilson primes).
Ist , so erhält man und erhält die Wilson-Primzahlen.
Der folgenden Tabelle kann man alle solche Fast-Wilson-Primzahlen entnehmen für mit :[3]
|
|
|
|
|
|
|
|
Eine Wilson-Zahl ist eine natürliche Zahl , für welche gilt:
Dabei ist genau dann, wenn eine Primitivwurzel hat, sonst ist .
Für jede natürliche Zahl ist durch teilbar. Den Quotienten nennt man verallgemeinerter Wilson-Quotient.[6] Die ersten verallgemeinerte Wilson-Quotienten lauten:
Ist der verallgemeinerte Wilson-Quotient durch teilbar, erhält man eine Wilson-Zahl. Diese lauten:
Wenn eine Wilson-Zahl prim ist, dann ist eine Wilson-Primzahl. Es gibt 13 Wilson-Zahlen für .
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.