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Primzahl die zugleich eine Fibonacci-Zahl ist Aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Eine Fibonacci-Primzahl (engl. Fibonacci prime) ist eine natürliche Zahl, welche zugleich eine Fibonacci-Zahl und eine Primzahl ist. Fibonacci-Primzahlen sind Gegenstand der Zahlentheorie.[1]
Die Folge der Fibonacci-Primzahlen beginnt mit folgenden zehn Zahlen (vgl. Folge A005478 in OEIS):[2][3]
Die momentan größten bekannten Fibonacci-Primzahlen sind die folgenden:[2]
Die größte bekannte Fibonacci-Primzahl hat 21.925 Stellen und wurde im April 2001 von Bouk de Water entdeckt, aber erst am 16. Oktober 2015 von Mathew Steine als Primzahl identifiziert (Stand: 15. August 2018).[4]
Es gibt noch wesentlich größere Zahlen, die Fibonacci-Primzahlen sein könnten, nur ist man sich wegen ihrer Größe noch nicht sicher, ob es sich tatsächlich um Primzahlen oder doch „nur“ um Pseudoprimzahlen handelt. Sie erfüllen jedenfalls viele Eigenschaften einer Primzahl und es gilt als wahrscheinlich, dass es sich um Primzahlen handelt. Solche „wahrscheinlichen Primzahlen“ nennt man PRP-Zahlen. Diese potentiellen weiteren Fibonacci-Primzahlen haben folgenden Index :[5]
Die größte bekannte Fibonacci-PRP-Zahl hat 698.096 Stellen und wurde im März 2018 von Henri Lifchitz entdeckt (Stand: 15. August 2018).
Es gibt eine Anzahl von Bedingungen, auf die man bei der Primalitätsprüfung der Fibonacci-Zahlen und ihrer Teilbarkeitseigenschaften zurückgreifen kann.[6]
Eine dieser Bedingungen ist die folgende:
Daraus ergibt sich die folgende Bedingung:
Diese Bedingung ist notwendig, aber nicht hinreichend. Viele Fibonacci-Zahlen , deren Index eine Primzahl ist, sind keine Primzahlen. Die drei kleinsten Beispielfälle hierfür sind:
Als eines der großen ungelösten Probleme im Zusammenhang mit den Fibonacci-Primzahlen gilt die Frage:
Existieren unendlich viele Fibonacci-Primzahlen?
Der israelische Astrophysiker und Wissenschaftsautor Mario Livio schreibt dazu:[6]
Die Lösung des Problems gilt nach Ansicht des britischen Mathematikers Richard K. Guy als sehr unwahrscheinlich, er schreibt:[2]
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