Woodall-Zahl

Eine Woodall-Zahl ist eine natürliche Zahl der Form:

${\displaystyle W_{n}=n\cdot 2^{n}-1}$

für eine natürliche Zahl ${\displaystyle n\geq 1}$. Die ersten Woodall-Zahlen sind:

1, 7, 23, 63, 159, 383, 895, 2047, 10239, 22527, 49151, 106495, 229375, 491519, 1048575, 2228223, 4718591, 9961471, 20971519, 44040191, … (Folge A003261 in OEIS)

Geschichte

Woodall-Zahlen wurden zuerst von Allan J. C. Cunningham und H. J. Woodall im Jahr 1917 beschrieben.^[1] Dabei wurden beide inspiriert von James Cullen, der eine ähnliche Zahlenfolge definierte: die Cullen-Zahlen.

Ähnliche Folgen

Die Cullen-Zahlen sind definiert durch:

${\displaystyle C_{n}=n\cdot 2^{n}+1,n\in \mathbb {N} }$

Infolge gilt:

${\displaystyle C_{n}-W_{n}=2}$.

Aufgrund dieser Ähnlichkeit werden Woodall-Zahlen auch als Cullen-Zahlen 2. Ordnung bezeichnet.^[2]

Woodall-Primzahlen

Eine Woodall-Zahl, die gleichzeitig Primzahl ist, wird als Woodall-Primzahl bezeichnet. Die ersten Exponenten ${\displaystyle n}$, für die Woodall-Zahlen solche Woodall-Primzahlen darstellen, sind:

${\displaystyle n}$ = 2, 3, 6, 30, 75, 81, 115, 123, 249, 362, 384, 462, 512, 751, 822, 5312, 7755, 9531, 12379, 15822, 18885, 22971, 23005, 98726, 143018, 151023, 667071, 1195203, 1268979, 1467763, 2013992, 2367906, 3752948, 17016602, … (Folge A002234 in OEIS)

${\displaystyle W_{n}}$ = 7, 23, 383, 32212254719, 2833419889721787128217599, … (Folge A050918 in OEIS)

Vor allem die größeren Woodall-Primzahlen wurden durch das BOINC-Projekt PrimeGrid gefunden.

Die bisher größte Woodall-Primzahl wurde am 22. März 2018 berechnet und lautet:

${\displaystyle W_{17016602}=17016602\cdot 2^{17016602}-1=8508301\cdot 2^{17016603}-1}$

Diese Zahl hat 5.122.515 Stellen und wurde vom Italiener Diego Bertolotti, einem Teilnehmer des Internet-Projekts PrimeGrid, entdeckt.^[3][4]

Es ist bekannt, dass es keine weiteren primen Woodall-Zahlen bis ${\displaystyle n<14508061}$ gibt.^[5] Es wird aber vermutet, dass es unendlich viele Woodall-Primzahlen gibt.

Eigenschaften von Woodall-Zahlen

• Fast alle Woodall-Zahlen sind zusammengesetzte Zahlen (bewiesen von Christopher Hooley im Jahr 1976).^[6][7]
• Die Primzahl ${\displaystyle p}$ teilt die Woodall-Zahl ${\displaystyle W_{\frac {p+1}{2}}}$, wenn das Jacobi-Symbol ${\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)=+1}$ ist.^[6]
• Die Primzahl ${\displaystyle p}$ teilt die Woodall-Zahl ${\displaystyle W_{\frac {3p-1}{2}}}$, wenn das Jacobi-Symbol ${\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)=-1}$ ist.^[6]
• Es gilt:

${\displaystyle W_{4}=4\cdot 2^{4}-1=63}$ und ${\displaystyle W_{5}=5\cdot 2^{5}-1=159}$ sind beide durch drei teilbar.

Jede weitere sechste Woodall-Zahl ${\displaystyle W_{n}}$ ist ebenfalls durch ${\displaystyle 3}$ teilbar. Somit ist ${\displaystyle W_{n}}$ nur dann möglicherweise eine Woodall-Primzahl, wenn der Index ${\displaystyle n}$ nicht ein Vielfaches von 4 oder 5 (modulo 6) ist.

• Die einzigen beiden bekannten Primzahlen, die Woodall-Primzahlen und gleichzeitig Mersenne-Primzahlen darstellen, sind (Stand: Mai 2019):

${\displaystyle W_{2}=M_{3}=7}$ und ${\displaystyle W_{512}=M_{521}}$

Verallgemeinerte Woodall-Zahlen

Zahlen der Form ${\displaystyle n\cdot b^{n}-1}$ mit ${\displaystyle n+2>b}$ bezeichnet man als verallgemeinerte Woodall-Zahlen.

Ist diese Zahl eine Primzahl, so nennt man sie verallgemeinerte Woodall-Primzahl.

Die Bedingung ${\displaystyle n+2>b}$ ist notwendig, denn ohne diese Bedingung wäre jede Primzahl ${\displaystyle p}$ eine verallgemeinerte Woodall-Primzahl, weil ${\displaystyle p=1\cdot (p+1)^{1}-1}$ wäre.^[6]

Die kleinsten ${\displaystyle n}$, für die ${\displaystyle n\cdot b^{n}-1}$ prim ist, sind für aufsteigendes ${\displaystyle b}$ = 1, 2, …:

3, 2, 1, 1, 8, 1, 2, 1, 10, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 167, 2, 1, 12, 1, 2, 2, 29028, 1, 2, 3, 10, 2, 26850, 1, 8, 1, 42, 2, 6, 2, 24, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 140, 1, 2, 2, 22, 2, 8, 1, 2064, 2, 468, 6, 2, 1, 362, 1, 2, 2, 6, 3, 26, 1, 2, 3, 20, 1, 2, 1, 28, 2, 38, 5, 3024, 1, 2, 81, 858, 1, … (Folge A240235 in OEIS)

Es folgt eine Auflistung der ersten verallgemeinerten Woodall-Primzahlen für Basen von ${\displaystyle b}$ zwischen 1 und 30.^[8] Diese ${\displaystyle n}$ wurden zumindest bis 200000 untersucht. Wenn für ${\displaystyle n}$ die Bedingung ${\displaystyle n+2>b}$ nicht gilt, aber trotzdem die Zahl ${\displaystyle n\cdot b^{n}-1}$ prim ist, wird sie in Klammern gesetzt:

${\displaystyle b}$	${\displaystyle n}$, sodass ${\displaystyle n\cdot b^{n}-1}$ prim ist	untersucht bis	OEIS-Folge
1	3, 4, 6, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 48, 54, 60, 62, 68, 72, 74, 80, 84, 90, 98, 102, 104, 108, 110, 114, 128, 132, 138, 140, 150, 152, 158, 164, 168, 174, 180, 182, 192, 194, 198, 200, 212, 224, 228, 230, 234, 240, 242, 252, 258, 264, 270, 272, 278, 282, 284, 294, … (alle Primzahlen plus 1)	alle Primzahlen	Folge A008864 in OEIS
2	2, 3, 6, 30, 75, 81, 115, 123, 249, 362, 384, 462, 512, 751, 822, 5312, 7755, 9531, 12379, 15822, 18885, 22971, 23005, 98726, 143018, 151023, 667071, 1195203, 1268979, 1467763, 2013992, 2367906, 3752948, 17016602,…	14508061	Folge A002234 in OEIS
3	(1), 2, 6, 10, 18, 40, 46, 86, 118, 170, 1172, 1698, 1810, 2268, 4338, 18362, 72662, 88392, 94110, 161538, 168660, 292340, 401208, 560750, 1035092, …	1058000	Folge A006553 in OEIS
4	(1, 2), 3, 5, 8, 14, 23, 63, 107, 132, 428, 530, 1137, 1973, 2000, 7064, 20747, 79574, 113570, 293912, …, 1993191, …	1000000	Folge A086661 in OEIS
5	8, 14, 42, 384, 564, 4256, 6368, 21132, 27180, 96584, 349656, 545082, …	1000000	Folge A059676 in OEIS
6	(1, 2, 3), 19, 20, 24, 34, 77, 107, 114, 122, 165, 530, 1999, 4359, 11842, 12059, 13802, 22855, 41679, 58185, 145359, 249987, …	876000	Folge A059675 in OEIS
7	(2), 18, 68, 84, 3812, 14838, 51582, …	350000	Folge A242200 in OEIS
8	(1, 2), 7, 12, 25, 44, 219, 252, 507, 1155, 2259, 2972, 4584, 12422, 13905, 75606, …	513000	Folge A242201 in OEIS
9	10, 58, 264, 1568, 4198, 24500, …	975000	Folge A242202 in OEIS
10	(2, 3, 8), 11, 15, 39, 60, 72, 77, 117, 183, 252, 396, 1745, 2843, 4665, 5364, …	500000	Folge A059671 in OEIS
11	(2, 8), 252, 1184, 1308, …	500000	Folge A299374 in OEIS
12	(1, 6), 43, 175, 821, 910, 1157, 13748, 27032, 71761, 229918, …	500000	Folge A299375 in OEIS
13	(2, 6), 563528, …	570008	Folge A299376 in OEIS
14	(1, 3, 7), 98, 104, 128, 180, 834, 1633, 8000, 28538, 46605, 131941, 147684, 433734, …	500000	Folge A299377 in OEIS
15	(2, 10), 14, 2312, 16718, 26906, 27512, 41260, 45432, 162454, 217606, …	500000	Folge A299378 in OEIS
16	167, 189, 639, …	500000	Folge A299379 in OEIS
17	(2), 18, 20, 38, 68, 3122, 3488, 39500, …	400000	Folge A299380 in OEIS
18	(1, 2, 6, 8, 10), 28, 30, 39, 45, 112, 348, 380, 458, 585, 17559, 38751, 43346, 46984, 92711, …	400000	Folge A299381 in OEIS
19	(12), 410, 33890, 91850, 146478, 189620, 280524, …	400000	Folge A299382 in OEIS
20	(1, 18), 44, 60, 80, 123, 429, 1166, 2065, 8774, 35340, 42968, 50312, 210129, …	250000	Folge A299383 in OEIS
21	(2, 18), 200, 282, 294, 1174, 2492, 4348, …	200000
22	(2, 5), 140, 158, 263, 795, 992, 341351, …	200000
23	29028, …	200000
24	(1, 2, 5, 12), 124, 1483, 22075, 29673, 64593, …	200000
25	(2), 68, 104, 450, …	500000
26	(3, 8), 79, 132, 243, 373, 720, 1818, 11904, 134778, …	200000
27	(10, 18, 20), 2420, 6638, 11368, 14040, 103444, …	450000
28	(2, 5, 6, 12, 20), 47, 71, 624, 1149, 2399, 8048, 30650, 39161, …	200000
29	26850, 237438, 272970, …	200000
30	(1), 63, 331, 366, 1461, 3493, 4002, 5940, 13572, 34992, 182461, 201038, …	200000

Die bisher größte bekannte verallgemeinerte Woodall-Primzahl ist ${\displaystyle 2740879\cdot 32^{2740879}-1=2740879\cdot 2^{13704395}-1}$. Sie hat 4.125.441 Stellen und wurde am 26. Oktober 2019 von Ryan Propper entdeckt.^[9][10]

Siehe auch

• Cullen-Zahl

Literatur

• J. Cullen: Question 15897, Educ. Times, (December 1905) 534.

Weblinks

• Cullen prime
• Woodall prime

Einzelnachweise

1. A. J. C Cunningham, H. J. Woodall: Factorisation of ${\displaystyle Q=(2^{q}\mp q)}$ and ${\displaystyle (q\cdot {2^{q}}\mp 1)}$. In: Messenger of Mathematics. 1917, S. 1 von 151.
2. Eric W. Weisstein: Woodall Number. Abgerufen am 25. Mai 2019 (englisch).
3. PrimeGrid’s Woodall Prime Search, 17016602·2^17016602 - 1. (PDF) PrimeGrid, abgerufen am 26. April 2018.
4. Chris K.Caldwell: The Top Twenty: Woodall Primes. Prime Pages, abgerufen am 26. April 2018.
5. Weisstein, Eric W.: Woodall Number. MathWorld, abgerufen am 1. Mai 2016.
6. Chris K.Caldwell: Woodall Prime. The Prime Glossary, abgerufen am 1. Mai 2016.
7. Graham Everest, Alf van der Poorten, Igor Shparlinski, Thomas Ward: Recurrence sequences. Mathematical Surveys and Monographs. In: RI: American Mathematical Society. 2003, ISBN 0-8218-3387-1, S. 94.
8. Liste der verallgemeinerten Woodall-Primzahlen mit Basis 3 bis 10000. Abgerufen am 1. Mai 2016.
9. Chris K.Caldwell: The Largest Known Primes! 2740879·32^2740879 - 1. Prime Pages, abgerufen am 15. Januar 2020.
10. Chris K.Caldwell: The Top Twenty: Generalized Woodall. Prime Pages, abgerufen am 15. Januar 2020.