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In der Zahlentheorie ist eine doppelte Mersenne-Zahl eine Zahl der Form , wobei eine natürliche Zahl und die -te Mersenne-Zahl ist.
Die ersten fünf doppelten Mersenne-Zahlen sind die folgenden (Folge A077585 in OEIS):
Jede doppelte Mersenne-Zahl ist ist definitionsgemäß selbst Mersenne-Zahl, nämlich die -te.
Ist eine doppelte Mersenne-Zahl eine Primzahl, nennt man sie doppelte Mersenne-Primzahl.
Die ersten vier doppelten Mersenne-Primzahlen sind die folgenden (Folge A077586 in OEIS):
Mehr als diese vier sind momentan nicht bekannt.
Sei mit natürlichem . Dann gilt:
Die Umkehrung gilt nicht: Wenn eine Primzahl ist, kann eine Primzahl sein, muss es aber nicht.
Die folgende Tabelle zeigt an, welche doppelten Mersenne-Zahlen mit prim sind, welche nicht und von welchen noch nicht einmal bekannt ist, ob es sich um Primzahlen handelt oder nicht. Dabei ist eine -stellige zusammengesetzte Zahl und ein -stelliger Restfaktor:
Anzahl der Stellen von | Primzahl? | Faktorisierung von | |||
---|---|---|---|---|---|
2 | 1 | prim | |||
3 | 3 | prim | |||
5 | 10 | prim | |||
7 | 39 | prim | |||
11 | 617 | nicht prim | |||
13 | 2.466 | nicht prim | |||
17 | 39.457 | nicht prim | |||
19 | 157.827 | nicht prim | |||
23 | 2.525.223 | nicht prim | |||
29 | 161.614.249 | nicht prim | |||
31 | 646.456.993 | nicht prim | |||
37 | 41.373.247.568 | nicht prim | unbekannt | ||
41 | 661.971.961.084 | nicht prim | unbekannt | ||
43 | 2.647.887.844.335 | nicht prim | unbekannt | ||
47 | 42.366.205.509.364 | nicht prim | unbekannt | ||
53 | 2.711.437.152.599.296 | nicht prim | unbekannt | ||
59 | 173.531.977.766.354.911 | nicht prim | unbekannt | ||
61 | 694.127.911.065.419.642 | unbekannt | kein Primfaktor [1][2] |
Die doppelte Mersenne-Zahl ist viel zu groß, als dass man einen bekannten Primzahltest (vor allem den auf Mersenne-Zahlen zugeschnittenen Lucas-Lehmer-Test) auf sie anwenden könnte. Daher weiß man nicht einmal, ob sie zusammengesetzt ist oder nicht. Für alle anderen Primzahlen weiß man ebenfalls noch nicht, ob prim ist oder nicht. Es wird allerdings vermutet, dass es keine anderen doppelten Mersenne-Primzahlen gibt mit Ausnahme der ersten vier.[3][4]
Die folgenden rekursiv definierten Zahlen nennt man Catalan-Mersenne-Zahlen (Folge A007013 in OEIS):
Schon von weiß man nicht, ob sie prim ist oder nicht, weil sie viel zu groß ist (viel größer als , welche für bekannte Primzahltests schon viel zu groß ist; sie hat 51.217.599.719.369.681.875.006.054.625.051.616.350 Stellen). Bekannt ist lediglich, dass sie keinen Primfaktor hat. Allerdings wird vermutet, dass diese Zahl zusammengesetzt ist. Wenn aber zusammengesetzt ist, wären alle weiteren mit ebenfalls zusammengesetzt, weil schon weiter oben gezeigt wurde, dass (und ist eine doppelte Mersenne-Zahl) nur dann eine Primzahl ist, wenn auch eine Primzahl ist.[5][6]
Der Mathematiker Eugène Charles Catalan hat sich erstmals mit diesen Zahlen beschäftigt, nachdem die Primalität von von Édouard Lucas im Jahr 1876 bewiesen wurde.[3][7] Er behauptete als erster, dass diese Zahlen bis zu einem gewissen oberen Limit allesamt prim sind und danach alle weiteren zusammengesetzt.
Die Menge der Catalan-Mersenne-Zahlen sind eine Teilmenge der Menge der doppelten Mersenne-Zahlen.[5] Mit anderen Worten: Jede Catalan-Mersenne-Zahl ist auch gleichzeitig eine doppelte Mersenne-Zahl.
In der Serie Futurama kommt die doppelte Mersenne-Zahl in der Folge Die Ära des Tentakels (2008) vor. Sie taucht kurz im Hintergrund auf einer Tafel in einem „elementaren Beweis der Goldbachschen Vermutung“ auf (welche in Wirklichkeit noch nicht bewiesen ist). In dieser Episode wird diese Zahl als martian prime bezeichnet.[5][8]
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