Stefan Kurt absolvierte eine Ausbildung zum Primarschullehrer. Danach studierte er Schauspiel am Konservatorium für Musik und Theater Bern (heutiger Name: Hochschule der Künste Bern).[1]
Von 1985 bis 1993 war er Ensemble-Mitglied des Hamburger Thalia-Theaters und arbeitete mit Regisseuren wie Jürgen Flimm und Robert Wilson zusammen (The Black Rider). Für seine Darstellung des Silvio in Der Diener zweier Herren erhielt er 1987 den Boy-Gobert-Preis.
2003 spielte er den Valerio in Robert Wilsons Inszenierung von Leonce und Lena von Georg Büchner am Berliner Ensemble, wo er auch in weiteren Hauptrollen wie z.B. in Ein Wintermärchen von Shakespeare und 10 Jahre als Mackie Messer in der Dreigroschenoper von Bertolt Brecht zu sehen war. Weiter spielte Kurt am Zürcher Schauspielhaus in mehreren Inszenierungen von Barbara Frey: Drei Schwestern, Meer und Jakob von Gunten. Ausserdem spielte Kurt verschiedene musikalische Rollen an der Komischen Oper Berlin, im Casinotheater Winterthur spielte Kurt den Frosch (Regie: Stefan Huber) und an der Oper Basel 2019 die Zaza im Käfig voller Narren in der Regie von Martin Berger. Seit 1993 wirkte Stefan Kurt in zahlreichen Fernseh- und Kinoproduktionen mit. Wiederholt stand er dabei unter der Regie von Oliver Storz vor der Kamera. Für Der Schattenmann und Gegen Ende der Nacht wurde er 1997 und 1999 jeweils mit dem Adolf-Grimme-Preis ausgezeichnet. Für seine darstellerische Leistung in Dreileben – Eine Minute Dunkel wurde Stefan Kurt 2011 in der Kategorie Bester Schauspieler mit einer Nominierung für den Deutschen Fernsehpreis bedacht. Bereits 1996 hatte er für Der Schattenmann dessen Vorläufer, den Telestar erhalten. In den Kinofilmen Pettersson und Findus – Das schönste Weihnachten überhaupt (2016) und Pettersson und Findus – Findus zieht um (2018) war er als „Pettersson“ besetzt.