Teilbarkeit ist eine mathematische Beziehung zwischen zwei ganzen Zahlen. Eine ganze Zahl ist durch eine andere ganze Zahl teilbar, wenn bei der Division kein Rest verbleibt, also die „Geteilt-Rechnung aufgeht“. So ist beispielsweise die Zahl 8 durch 4 teilbar, da 8 : 4 genau 2 ergibt; somit ist 4, aber auch 2, Teiler von 8. Dagegen ist die Zahl 9 nicht durch 4 teilbar, weil die 4 zweimal in die 9 „geht“, aber ein Rest von 1 übrig bleibt. Einen Sonderfall bildet die 0, die ein Teiler von sich selbst ist, obwohl Division durch 0 im Allgemeinen nicht definiert ist.
Die Zahl 11 hat nur zwei Teiler: 1 und die Zahl 11 selbst. Solche Zahlen nennt man Primzahlen. Die Zahl 12 dagegen hat viele Teiler: 1, 2, 3, 4, 6 und 12. Solche Zahlen nennt man hochzusammengesetzte Zahlen.
Die Funktion, die einer natürlichen Zahl
die Anzahl ihrer Teiler zuordnet, ist eine zahlentheoretische Funktion (die Teileranzahlfunktion). In der elementaren Zahlentheorie ist der Begriff Teilbarkeit auf natürliche Zahlen beschränkt. In der Algebra dagegen wird der Begriff Teilbarkeit auf Integritätsringe, kommutative Ringe und nicht-kommutative Ringe erweitert.
Eine ganze Zahl
teilt eine ganze Zahl
genau dann, wenn es eine ganze Zahl
gibt, so dass
ist. Man sagt dann „
ist Teiler von
“, „
teilt
“, „
ist teilbar durch
“, oder „
ist ein Vielfaches von
“. Man schreibt dafür
![{\displaystyle a\mid b}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70ab1c16db0f00b6cc26bcd7dae49514f5aadfff)
und nennt
die Teilerrelation. Für das Gegenteil, wenn es also keine ganze Zahl
gibt mit
, schreibt man:
.
Insbesondere für Primzahlpotenzen gibt es die Sprechweise:
teilt die ganze Zahl
exakt, geschrieben
![{\displaystyle p^{n}\parallel b,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13f22a5a8d1aa5e47a10f61c8796d8d56340d05f)
wenn
die größte Potenz der Primzahl
ist, die
teilt, in Formeln:
; Beispiel:
Die exakte Teilbarkeit von
durch
hat die Teilerfremdheit von
und
zur Folge:
[1] Die Definition der exakten Teilbarkeit ist auch auf andere Zahlen als Primzahlpotenzen anwendbar; Beispiel: ![{\displaystyle 40\parallel 120.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73e939f61c66ea618b68d82da196db8d6c68862e)
Da
für alle
gilt, ist
ein Teiler von
und, da
für jedes
von keiner anderen Zahl.
Schreibt man denselben Sachverhalt in der Form
, so erkennt man, dass jede Zahl
ein Teiler von
ist.
Die
ist das neutrale Element der Multiplikation, d. h. die Multiplikation mit
ändert einen Ausgangswert nicht. Zu den Elementen
gibt es ein multiplikatives Inverses, nämlich ein Element
mit
. Solche Elemente werden Einheiten des Rings genannt. Einheiten sind triviale Teiler einer jeden ganzen Zahl. Die Einheiten des Rings
der ganzen Zahlen sind gerade die Zahlen
. (Die Einheiten eines Rings bilden eine multiplikative Gruppe.)
Es gelte
und
. Ist
keiner der trivialen Teiler
, so nennt man
einen nichttrivialen Teiler oder echten Teiler von
. Eine ganze Zahl, die nicht Einheit ist und die nur die trivialen Teiler besitzt, nennt man Primelement und, wenn sie
ist, Primzahl. Ist
eine Primzahl, so heißt
Primteiler oder Primfaktor von
.
Die Menge aller Teiler einer natürlichen Zahl
nennt man die „Teilermenge von
“. Die Quasiordnung der Teilbarkeit induziert auf ihr die Struktur eines Verbandes, man spricht deshalb auch vom „Teilerverband von
“.
Die Menge aller Vielfachen einer natürlichen Zahl
heißt entsprechend Vielfachenmenge. Bei den ganzen Zahlen
ist die Mächtigkeit dieser Menge abzählbar unendlich.
- Jede Zahl besitzt mindestens ihre trivialen Teiler, insbesondere sind die Einheiten
Teiler einer jeden ganzen Zahl.
- Jede ganze Zahl ist ein (trivialer) Teiler der
.
- Jede ganze Zahl teilt sich selbst (Reflexivität der Quasiordnung).
- Der kleinste positive Teiler
einer ganzen Zahl ist ein Primteiler.
Seien
,
,
und
ganze Zahlen.
- Gilt
, so gilt auch
und
. Man kann sich also bei der Untersuchung des Teilbarkeitsbegriffs auf natürliche Zahlen beschränken.
- Gilt
und
, so folgt
(Transitivität der Quasiordnung).
- Für
gilt:
.
- Gilt
und
, so gilt auch
.
- Gilt
und
, so gilt auch
für alle ganzen Zahlen
und
.
- Gilt
und
so ist
oder
.
Die natürlichen Zahlen
sind mit der Teilbarkeitsrelation eine quasigeordnete Menge, sogar ein vollständiger distributiver Verband, dessen Verknüpfungen durch kgV und ggT gegeben sind. Das kleinste Element ist die
(
teilt jedes andere), das größte ist die
(
wird von jedem anderen geteilt).
Zweier-Potenzen
- Eine Zahl ist genau dann durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer gerade ist (0, 2, 4, 6 oder 8).
- Eine Zahl ist genau dann durch 4 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten beiden Ziffern gebildet wird, durch 4 teilbar ist.
- Eine Zahl ist genau dann durch 8 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten drei Ziffern gebildet wird, durch 8 teilbar ist.
- Allgemein ist eine Zahl genau dann durch
teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten
Ziffern gebildet wird, durch
teilbar ist.
Fünfer-Potenzen
- Eine Zahl ist genau dann durch 5 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer durch 5 teilbar ist (0 oder 5).
- Eine Zahl ist genau dann durch 25 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten beiden Ziffern gebildet wird, durch 25 teilbar ist (00, 25, 50 oder 75).
- Eine Zahl ist genau dann durch 125 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten drei Ziffern gebildet wird, durch 125 teilbar ist.
- Allgemein ist eine Zahl genau dann durch
teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten
Ziffern gebildet wird, durch
teilbar ist.
Zehner-Potenzen
- Eine Zahl ist genau dann durch 10 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 ist.
- Eine Zahl ist genau dann durch 100 teilbar, wenn die Zahl mit 00 endet.
- Eine Zahl ist genau dann durch 1000 teilbar, wenn die Zahl mit 000 endet.
- Allgemein ist eine Zahl genau dann durch
teilbar, wenn ihre letzten
Ziffern jeweils 0 sind.
Produkte aus Zweier- und Fünfer-Potenzen
- Eine Zahl ist genau dann durch 20 teilbar, wenn ihre vorletzte Ziffer gerade ist (0, 2, 4, 6 oder 8) und ihre letzte Ziffer 0 ist.
- Eine Zahl ist genau dann durch 40 teilbar, wenn die Zahl, die aus der drittletzten und vorletzten Ziffer gebildet wird, durch 4 teilbar ist und die letzte Ziffer eine 0 ist.
- Eine Zahl ist genau dann durch 50 teilbar, wenn die Zahl auf 00 oder 50 endet.
- Allgemein ist eine Zahl genau dann durch
teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten
Ziffern gebildet wird, durch
teilbar ist.
Teilbarkeitsregeln basierend auf Quersummen
Will man für eine Zahl
eine Teilbarkeitsregel mit Quersummen aufstellen, so sucht man nach einem Vielfachen, das entweder
oder
für ein beliebiges
ist. Im ersten Fall kann die Teilbarkeit mit der nichtalternierenden
-Quersumme, im zweiten Fall mit der alternierenden
-Quersumme überprüft werden.
Entsprechende Faktoren existieren für alle Zahlen, die mit 10 teilerfremd sind. Allerdings ist die Prüfung zum Teil schon für relativ kleine Zahlen unpraktisch (siehe zum Beispiel die unten angegebenen Regeln für Teilbarkeit durch 17 und 19).
Für die Teilbarkeit von Zahlen unter 10 kann man noch ausnutzen, dass eine Ziffer, die größer gleich der Zahl ist, um diese verringert werden kann. So ist bei der Teilbarkeit durch 7 und dem Beispiel 3815 die Ziffer 8 größer gleich 7, also kann man auch direkt 3115 prüfen. Der Grund ist hier, dass 700 natürlich auch durch 7 teilbar ist (allgemein
).
Teilbarkeitsregeln basierend auf nichtalternierenden Quersummen
Ist
ein Vielfaches der betrachteten Zahl
, dann gilt die Teilbarkeitsregel: „Eine Zahl ist genau dann durch
teilbar, wenn ihre nichtalternierende
-Quersumme durch
teilbar ist.“
Beispielsweise ist
ein Vielfaches von 3, so dass die Teilbarkeit durch 3 anhand der (1er-)Quersumme geprüft werden kann.
- Eine Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
- Eine Zahl ist genau dann durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist.
- Eine Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
- Eine Zahl ist genau dann durch 11 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 2er-Quersumme durch 11 teilbar ist. Es gibt auch eine Teilbarkeitsregel mit der alternierenden Quersumme (siehe unten).
- Eine Zahl ist genau dann durch 21 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 6er-Quersumme durch 21 teilbar ist.
- Eine Zahl ist genau dann durch 27 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 3er-Quersumme durch 27 teilbar ist.
- Eine Zahl ist genau dann durch 33 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 2er-Quersumme durch 33 teilbar ist.
- Eine Zahl ist genau dann durch 37 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 3er-Quersumme durch 37 teilbar ist.
- Eine Zahl ist genau dann durch 41 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 5er-Quersumme durch 41 teilbar ist.
- Eine Zahl ist genau dann durch 99 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 2er-Quersumme durch 99 teilbar ist.
- Eine Zahl ist genau dann durch 111 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 3er-Quersumme durch 111 teilbar ist.
- Eine Zahl ist genau dann durch 333 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 3er-Quersumme durch 333 teilbar ist.
- Eine Zahl ist genau dann durch 999 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 3er-Quersumme durch 999 teilbar ist.
- Allgemein ist eine Zahl genau dann durch
teilbar, wenn ihre nichtalternierende
-Quersumme durch
teilbar ist.
- Allgemein ist eine Zahl genau dann durch
(Repunitzahl) teilbar, wenn ihre nichtalternierende
-Quersumme durch
teilbar ist.
Die Quersumme muss nicht vollständig berechnet werden, sondern es genügt, den Rest einer Ziffer (oder Zifferngruppe) bei Division durch
zu berücksichtigen. Es kann auch nach jeder Addition der Rest bei Division durch
berechnet werden. Um z. B. zu ermitteln, ob 7654 durch 3 teilbar ist, kann man rechnen:
- Ziffer 7: Rest bei Division durch 3 ist 1: Summe 1 (Quersumme
)
- Ziffer 6: Rest bei Division durch 3 ist 0: Summe 1 ändert sich nicht (Quersumme
)
- Ziffer 5: diesmal ohne Bestimmung des Rests: Summe 1+5=6, Rest bei Division durch 3 ist 0 (Quersumme
)
- Ziffer 4: Summe 0+4=4, Rest bei Division durch 3 ist 1 (Quersumme
)
Da der im letzten Schritt berechnete Rest nicht Null ist, ist 7654 nicht durch 3 teilbar.
Herleitung: ist
die Dezimaldarstellung der Zahl
, dann gilt
![{\displaystyle {\begin{aligned}Z&=a_{0}\cdot 10^{0}+a_{1}\cdot 10^{1}+a_{2}\cdot 10^{2}+\cdots +a_{k}\cdot 10^{k}\\&=\sum _{i=0}^{n-1}a_{0\cdot n+i}\cdot 10^{0\cdot n+i}+\sum _{i=0}^{n-1}a_{1\cdot n+i}\cdot 10^{1\cdot n+i}+\cdots +\sum _{i=0}^{n-1}a_{\left\lfloor {\frac {k}{n}}\right\rfloor \cdot n+i}\cdot 10^{\left\lfloor {\frac {k}{n}}\right\rfloor \cdot n+i}\\&=\sum _{i=0}^{n-1}a_{0\cdot n+i}\cdot \left(10^{0\cdot n+i}-10^{i}\right)+\sum _{i=0}^{n-1}a_{1\cdot n+i}\cdot \left(10^{1\cdot n+i}-10^{i}\right)+\cdots +\sum _{i=0}^{n-1}a_{\left\lfloor {\frac {k}{n}}\right\rfloor \cdot n+i}\cdot \left(10^{\left\lfloor {\frac {k}{n}}\right\rfloor \cdot n+i}-10^{i}\right)+\sum _{i=0}^{n-1}a_{0\cdot n+i}\cdot 10^{i}+\sum _{i=0}^{n-1}a_{1\cdot n+i}\cdot 10^{i}+\cdots +\sum _{i=0}^{n-1}a_{\left\lfloor {\frac {k}{n}}\right\rfloor \cdot n+i}\cdot 10^{i}\\&=\left(10^{0\cdot n}-1\right)\cdot \sum _{i=0}^{n-1}a_{0\cdot n+i}\cdot 10^{i}+\left(10^{1\cdot n}-1\right)\cdot \sum _{i=0}^{n-1}a_{1\cdot n+i}\cdot 10^{i}+\cdots +\left(10^{\left\lfloor {\frac {k}{n}}\right\rfloor \cdot n}-1\right)\cdot \sum _{i=0}^{n-1}a_{\left\lfloor {\frac {k}{n}}\right\rfloor \cdot n+i}\cdot 10^{i}+q_{10}(Z,n)\\&=\left(10^{n}-1\right)\cdot 0\cdot \sum _{i=0}^{n-1}a_{0\cdot n+i}\cdot 10^{i}+\left(10^{n}-1\right)\cdot 10^{0}\cdot \sum _{i=0}^{n-1}a_{1\cdot n+i}\cdot 10^{i}+\cdots +\left(10^{n}-1\right)\cdot \left(10^{0\cdot n}+10^{1\cdot n}+\cdots +10^{\left(\left\lfloor {\frac {k}{n}}\right\rfloor -1\right)\cdot n}\right)\cdot \sum _{i=0}^{n-1}a_{\left\lfloor {\frac {k}{n}}\right\rfloor \cdot n+i}\cdot 10^{i}+q_{10}(Z,n)\\&=\left(10^{n}-1\right)\cdot \left(0\cdot \sum _{i=0}^{n-1}a_{0\cdot n+i}\cdot 10^{i}+10^{0}\cdot \sum _{i=0}^{n-1}a_{1\cdot n+i}\cdot 10^{i}+\cdots +\left(10^{0\cdot n}+10^{1\cdot n}+\cdots +10^{\left(\left\lfloor {\frac {k}{n}}\right\rfloor -1\right)\cdot n}\right)\cdot \sum _{i=0}^{n-1}a_{\left\lfloor {\frac {k}{n}}\right\rfloor \cdot n+i}\cdot 10^{i}\right)+q_{10}(Z,n)\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7830b288b5869084378fcd1361b1dd97dc9d8880)
Dabei bezeichnet
die
-Quersumme von
. Diese Quersumme ist also genau dann durch
teilbar, wenn
durch
teilbar ist. Also ist diese Quersumme genau dann durch
teilbar, wenn
durch
teilbar ist.
Teilbarkeitsregeln basierend auf alternierenden Quersummen
Ist hingegen
ein Vielfaches der betrachteten Zahl
, dann gilt die Teilbarkeitsregel: „Eine Zahl ist genau dann durch
teilbar, wenn ihre alternierende
-Quersumme durch
teilbar ist.“
Betrachtet man beispielsweise die Zahl 7, so kann man durch Ausprobieren sehen, dass
. Daraus ergibt sich dann die Teilbarkeitsregel mit einer alternierenden 3er-Quersumme.
- Eine Zahl ist genau dann durch 7 teilbar, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 7 teilbar ist.
- Eine Zahl ist genau dann durch 11 teilbar, wenn ihre alternierende Quersumme durch 11 teilbar ist. Es gibt auch eine Teilbarkeitsregel mit der nichtalternierenden 2er-Quersumme (siehe oben).
- Eine Zahl ist genau dann durch 13 teilbar, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 13 teilbar ist.
- Eine Zahl ist genau dann durch 17 teilbar, wenn ihre alternierende 8er-Quersumme durch 17 teilbar ist.
- Eine Zahl ist genau dann durch 19 teilbar, wenn ihre alternierende 9er-Quersumme durch 19 teilbar ist.
- Eine Zahl ist genau dann durch 23 teilbar, wenn ihre alternierende 11er-Quersumme durch 23 teilbar ist.
- Eine Zahl ist genau dann durch 73 teilbar, wenn ihre alternierende 4er-Quersumme durch 73 teilbar ist.
- Eine Zahl ist genau dann durch 77 teilbar, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 77 teilbar ist.
- Eine Zahl ist genau dann durch 91 teilbar, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 91 teilbar ist.
- Eine Zahl ist genau dann durch 101 teilbar, wenn ihre alternierende 2er-Quersumme durch 101 teilbar ist.
- Eine Zahl ist genau dann durch 137 teilbar, wenn ihre alternierende 4er-Quersumme durch 137 teilbar ist.
- Eine Zahl ist genau dann durch 143 teilbar, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 143 teilbar ist.
- Eine Zahl ist genau dann durch 1001 teilbar, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 1001 teilbar ist.
- Allgemein ist eine Zahl genau dann durch
teilbar, wenn ihre alternierende
-Quersumme durch
teilbar ist.
Herleitung: ist
die Dezimaldarstellung der Zahl
, dann gilt
![{\displaystyle {\begin{aligned}Z&=a_{0}\cdot 10^{0}+a_{1}\cdot 10^{1}+a_{2}\cdot 10^{2}+\cdots +a_{k}\cdot 10^{k}\\&=\sum _{i=0}^{n-1}a_{0\cdot n+i}\cdot 10^{0\cdot n+i}+\sum _{i=0}^{n-1}a_{1\cdot n+i}\cdot 10^{1\cdot n+i}+\cdots +\sum _{i=0}^{n-1}a_{\left\lfloor {\frac {k}{n}}\right\rfloor \cdot n+i}\cdot 10^{\left\lfloor {\frac {k}{n}}\right\rfloor \cdot n+i}\\&=\sum _{i=0}^{n-1}a_{0\cdot n+i}\cdot \left(10^{0\cdot n+i}-10^{i}\right)+\sum _{i=0}^{n-1}a_{1\cdot n+i}\cdot \left(10^{1\cdot n+i}+10^{i}\right)+\cdots +\sum _{i=0}^{n-1}a_{\left\lfloor {\frac {k}{n}}\right\rfloor \cdot n+i}\cdot \left(10^{\left\lfloor {\frac {k}{n}}\right\rfloor \cdot n+i}\mp 10^{i}\right)+\sum _{i=0}^{n-1}a_{0\cdot n+i}\cdot 10^{i}-\sum _{i=0}^{n-1}a_{1\cdot n+i}\cdot 10^{i}+\cdots \pm \sum _{i=0}^{n-1}a_{\left\lfloor {\frac {k}{n}}\right\rfloor \cdot n+i}\cdot 10^{i}\\&=\left(10^{0\cdot n}-1\right)\cdot \sum _{i=0}^{n-1}a_{0\cdot n+i}\cdot 10^{i}+\left(10^{1\cdot n}+1\right)\cdot \sum _{i=0}^{n-1}a_{1\cdot n+i}\cdot 10^{i}+\cdots +\left(10^{\left\lfloor {\frac {k}{n}}\right\rfloor \cdot n}\mp 1\right)\cdot \sum _{i=0}^{n-1}a_{\left\lfloor {\frac {k}{n}}\right\rfloor \cdot n+i}\cdot 10^{i}+aqs_{10}(Z,n)\\&=\left(10^{n}+1\right)\cdot 0\cdot \sum _{i=0}^{n-1}a_{0\cdot n+i}\cdot 10^{i}+\left(10^{n}+1\right)\cdot 10^{0}\cdot \sum _{i=0}^{n-1}a_{1\cdot n+i}\cdot 10^{i}-\cdots \mp \left(10^{n}+1\right)\cdot \left(10^{0\cdot n}-10^{1\cdot n}+\cdots \mp 10^{\left(\left\lfloor {\frac {k}{n}}\right\rfloor -1\right)\cdot n}\right)\cdot \sum _{i=0}^{n-1}a_{\left\lfloor {\frac {k}{n}}\right\rfloor \cdot n+i}\cdot 10^{i}+aqs_{10}(Z,n)\\&=\left(10^{n}+1\right)\cdot \left(0\cdot \sum _{i=0}^{n-1}a_{0\cdot n+i}\cdot 10^{i}+10^{0}\cdot \sum _{i=0}^{n-1}a_{1\cdot n+i}\cdot 10^{i}-\cdots \mp \left(10^{0\cdot n}-10^{1\cdot n}+\cdots \mp 10^{\left(\left\lfloor {\frac {k}{n}}\right\rfloor -1\right)\cdot n}\right)\cdot \sum _{i=0}^{n-1}a_{\left\lfloor {\frac {k}{n}}\right\rfloor \cdot n+i}\cdot 10^{i}\right)+aqs_{10}(Z,n)\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e75c78816549809f6e2a087e1e550d244cd690db)
Dabei bezeichnet
die alternierende
-Quersumme von
. Diese alternierende Quersumme ist also genau dann durch
teilbar, wenn
durch
teilbar ist. Also ist diese alternierende Quersumme genau dann durch
teilbar, wenn
durch
teilbar ist.
Teilbarkeit durch 7
Neben der schon genannten Teilbarkeitsregel mittels der alternierenden 3er-Quersumme gibt es für die 7 weitere, teils einfachere, Teilbarkeitsregeln. Diese ergeben sich aus der Betrachtung von Vielfachen der Zahl, die nah an 10er-Potenzen liegen, also beispielsweise im nächsten Beispiel
. Man zieht wiederholt 98 ab, wodurch sich die Hunderter um 1 verringern, die Einer aber um zwei erhöhten (
). Im Babylonischen Talmud findet sich die Teilbarkeitsregel, bei der man letztlich nur überprüfen muss, ob eine zweistellige Zahl durch 7 teilbar ist, in folgender Form:[2][3] Eine Zahl wird an der vorletzten Stelle in zwei Teile aufgespalten. Die Ziffern vor der vorletzten Stelle bilden die Zahl
und die letzten beiden Ziffern die Zahl
. 3815 wird beispielsweise in die Zahlen
und
zerlegt. Nun zählt man
und das Doppelte von
zusammen. Ist die Summe durch 7 teilbar, so ist auch die ursprüngliche Zahl durch 7 teilbar. Für 3815 erhält man so
. Da 91 durch 7 teilbar ist, ist auch 3815 durch 7 teilbar. Bei sehr großen Zahlen kann man dieses Verfahren solange wiederholen, bis man irgendwann eine zweistellige Zahl erhält. Um die Gültigkeit der Teilbarkeitsregel zu zeigen, betrachtet man die Gleichung
![{\displaystyle n=100\cdot a+b=98\cdot a+2\cdot a+b}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81ab787c63c6cd93a69513412d2ef44a300845dc)
Da 98 und damit auch
durch 7 teilbar ist, ist
genau dann durch 7 teilbar, wenn
durch 7 teilbar ist.
Für eine weitere Teilbarkeitsregel spaltet man eine Zahl in ihre letzte Ziffer
und den Rest
auf. Zum Beispiel 3815 in die Zahlen
und
. Dann gilt folgender Satz:
- Eine Zahl
ist genau dann durch 7 teilbar, wenn ihr Doppeltes
durch 7 teilbar ist, weswegen man lediglich die Teilbarkeit von
prüfen muss.
Für 3815 muss man also überprüfen, ob
durch 7 teilbar ist. Dazu kann man 371 wieder in 37 und 1 zerlegen. Da
durch 7 teilbar ist, sind auch 371 und 3815 durch 7 teilbar.[4] Die Begründung dieser Methode ist, dass 21 durch 7 teilbar ist und um die Einer am Ende der Zahl auf 0 zu bringen, für jeden Einer zwei Zehner abgezogen werden müssen. Danach teilt man die entstehende Zahl dann noch durch Zehn. Ist die Zahl durch 21 teilbar, so ist der Rest bei dieser Methode also 0.
Man kann eine Zahl
auch vor der drittletzten Ziffer spalten, so dass die letzten drei Ziffern die Zahl
und die Ziffern davor die Zahl
bilden. Dann zieht man
von
ab und prüft, ob diese Differenz durch 7 teilbar ist. Da
![{\displaystyle n=1000\cdot b+a=1001\cdot b+(a-b)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ac8d0bf7864b768093fadf5909b063fc7a24563)
und
durch 7 teilbar ist, ist
genau dann durch 7 teilbar, wenn
durch 7 teilbar ist.
Man kann auch die jeweiligen Reste für die einzelnen 10er-Potenzen bestimmen und erhält so folgende Teilbarkeitsregel: Man beginne mit der ersten Ziffer der Zahl von rechts und multipliziere sie mit 1, die zweite Ziffer mit 3, die dritte mit 2, die vierte mit -1, die fünfte mit -3, die sechste mit -2 und dann die nächsten wieder von vorne mit 1, 3, 2, -1, -3, -2 und so weiter. Man berechne dann die Summe dieser Zahlen. Ist sie durch 7 teilbar, so ist es auch die Zahl. Das liegt daran, dass bei 7 noch drei zur 10 fehlen, bei 98 zwei zur 100, bei 1001 jedoch 1 zu viel ist, bei 10003 3 zu viel, bei 100002 2 zu viel und so weiter. Die Wiederholung ergibt sich aus der Überlegung, dass
und somit für 100 gilt
und somit
. Das wird für die weiteren Potenzen fortgeführt (Multiplikation des Restes mit 3), wodurch sich das Muster ergibt. Für 3815 wird also beispielsweise gerechnet:
. Die Zahl ist also durch 7 teilbar, da auch 21 durch 7 teilbar ist.
Teilbarkeit durch 37
Bei 37 kann man interessanterweise wieder eine vergleichsweise einfache Regel anwenden: Man beginnt rechts und nimmt die ersten beiden Ziffern als Zahl und zieht 11 mal die nächste Ziffer von rechts ab. Das wiederholt man mit den weiteren Ziffern, also wieder die nächsten zwei als Zahl abtrennen und die dritte 11 mal abziehen. Ist die Summe der Ergebnisse durch 37 teilbar, so ist es auch die Zahl. Beispiel 19758:
. Die Zahl ist also durch 37 teilbar.
Teilbarkeitsregeln für beliebige Primzahlen
Für eine beliebige Primzahl
bestimmt man die Reste
für die Zehnerpotenzen
. Es gilt also
![{\displaystyle {\begin{matrix}10^{0}&\equiv &r_{0}{\pmod {p}}\\10^{1}&\equiv &r_{1}{\pmod {p}}\\10^{2}&\equiv &r_{2}{\pmod {p}}\\&\vdots &\\10^{p-2}&\equiv &r_{p-2}{\pmod {p}}\end{matrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e597c335503eb2d3eb3b46f7844871269b6fb0e)
Daraus ergibt sich folgende Teilbarkeitsregel: Die Dezimaldarstellung einer Zahl
sei
. Man beginnt mit der ersten Ziffer
der Zahl von rechts und multipliziert sie mit
, die zweite Ziffer
mit
, die dritte Ziffer
mit
, ..., die
-te Ziffer
mit
und dann die nächsten Ziffern wieder von vorne mit
und so weiter. Man berechnet dann die Summe
dieser Zahlen. Wenn diese Summe durch
teilbar ist, dann ist auch die Zahl
durch
teilbar.
Herleitung: Es gilt
![{\displaystyle {\begin{aligned}Z&=a_{0}\cdot 10^{0}+a_{1}\cdot 10^{1}+a_{2}\cdot 10^{2}+\cdots +a_{k}\cdot 10^{k}\\&=a_{0}\cdot (10^{0}-r_{0})+a_{1}\cdot (10^{1}-r_{1})+a_{2}\cdot (10^{2}-r_{2})+\cdots +a_{k}\cdot (10^{k}-r_{k-\left\lfloor {\frac {k}{p-1}}\right\rfloor \cdot (p-1)})+a_{0}\cdot r_{0}+a_{1}\cdot r_{1}+a_{2}\cdot r_{2}+\cdots +a_{k}\cdot r_{k-\left\lfloor {\frac {k}{p-1}}\right\rfloor \cdot (p-1)}\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fef9b33641a558e04750291156e91362a84551d)
Nach dem kleinen fermatschen Satz ist
, also gilt
genau dann, wenn
und
bei Division durch
denselben Rest haben. Daraus folgt, dass die Faktoren
alle durch
teilbar sind.
Die Zahl
ist also genau dann durch
teilbar, wenn die Summe
durch
teilbar ist.
Teilbarkeitsregeln für die Zahlen von 1 bis 20
Für die Teilbarkeit durch die Zahlen von 1 bis 20 gelten folgende Regeln:[6]
Weitere Informationen Teiler, Teilbarkeitsregel ...
Teiler |
Teilbarkeitsregel |
1 |
Keine Bedingung |
2 |
Die letzte Ziffer ist gerade. |
3 |
Die Quersumme ist durch 3 teilbar. |
4 |
Die Zahl, die aus den letzten zwei Ziffern gebildet wird, ist durch 4 teilbar. |
5 |
Die letzte Ziffer ist durch 5 teilbar. |
6 |
Die Zahl ist durch 2 und 3 teilbar. |
7 |
Die alternierende 3er-Quersumme ist durch 7 teilbar. |
Multipliziere die Ziffern von rechts nach links in dieser Reihenfolge mit folgenden Zahlen: 1, 3, 2, −1, −3, −2. Wiederhole dies für alle weiteren Ziffern. Die Summe der Ergebnisse ist durch 7 teilbar. |
8 |
Die Zahl, die aus den letzten drei Ziffern gebildet wird, ist durch 8 teilbar. |
9 |
Die Quersumme ist durch 9 teilbar. |
10 |
Die letzte Ziffer ist 0. |
11 |
Die 2er-Quersumme ist durch 11 teilbar. |
Die alternierende Quersumme ist durch 11 teilbar. |
12 |
Die Zahl ist durch 3 und 4 teilbar. |
13 |
Die alternierende 3er-Quersumme ist durch 13 teilbar. |
Multipliziere die Ziffern von rechts nach links in dieser Reihenfolge mit folgenden Zahlen: 1, −3, −4, −1, 3, 4. Wiederhole dies für alle weiteren Ziffern. Die Summe der Ergebnisse ist durch 13 teilbar. |
14 |
Die Zahl ist durch 2 und 7 teilbar. |
15 |
Die Zahl ist durch 3 und 5 teilbar. |
16 |
Die Zahl, die aus den letzten vier Ziffern gebildet wird, ist durch 16 teilbar. |
17 |
Die alternierende 8er-Quersumme ist durch 17 teilbar. |
Multipliziere die Ziffern von rechts nach links in dieser Reihenfolge mit folgenden Zahlen: 1, −7, −2, −3, 4, 6, −8, 5, −1, 7, 2, 3, −4, −6, 8, −5. Wiederhole dies für alle weiteren Ziffern. Die Summe der Ergebnisse ist durch 17 teilbar. |
18 |
Die Zahl ist durch 2 und 9 teilbar. |
19 |
Die alternierende 9er-Quersumme ist durch 19 teilbar. |
Multipliziere die Ziffern von rechts nach links in dieser Reihenfolge mit folgenden Zahlen: 1, −9, 5, −7, 6, 3, −8, −4, −2, −1, 9, −5, 7, −6, −3, 8, 4, 2. Wiederhole dies für alle weiteren Ziffern. Die Summe der Ergebnisse ist durch 19 teilbar. |
20 |
Die letzte Ziffer ist 0 und die vorletzte Ziffer ist gerade. |
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In einem Zahlensystem zur Basis
lassen sich Teilbarkeitsregeln für Teiler
finden, die sich in eine teilerfremde Faktorenzerlegung möglichst kleiner Zahlen zerlegen lässt, die Teiler von
,
oder
sind.
sollte dabei möglichst klein sein, für Kopfrechnen sind nur Werte bis maximal 4 sinnvoll.
: Teiler 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 15, 16, 17, 21, 31, 32, 33, 63, 64, 65, …
: Teiler 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 13, 14, 16, 20, 26, 27, 28, 40, 41, 80, 81, 82, …
: siehe ![{\displaystyle B=2}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a46dbc619c25f03bb05880f1c44bdcf0753d52d)
: Teiler 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 14, 18, 24, 25, 26, 31, 39, 62, 63, 78, 124, 125, 126, 156, 312, 313, 624, 625, 626, …
Die folgenden Teilbarkeitsregeln benutzen andere Stellenwertsysteme:
- Eine Zahl ist durch eine Zahl der Form
teilbar genau dann, wenn bei der Darstellung zur Basis
die Quersumme durch
teilbar ist. Die Darstellung zur Basis
ergibt sich leicht aus der Darstellung der Zahl im Dualsystem. Dazu wird die Zahl rechts beginnend in Gruppen von
Stellen eingeteilt, der Dezimalwert der einzelnen Gruppen entspricht nun den Werten der Ziffern in der Darstellung zur Basis
. Zum Beispiel ist
durch
teilbar, weil
im Oktalsystem (Basis
) die Quersumme
hat.
- Eine Zahl ist durch 27 teilbar genau dann, wenn ihre Quersumme zur Basis 1000 durch 27 teilbar ist. Diese Quersumme kann man erhalten, indem man ihre dezimale Darstellung rechts beginnend in Dreierblöcke einteilt und die Summe dieser Blöcke bildet.
- Eine Zahl ist durch
teilbar genau dann, wenn ihre Darstellung als
-basische Zahl mit einer 0 endet.
Weitere Teilbarkeitseigenschaften findet man im Artikel Kongruenz (Zahlentheorie).
Nicht-kommutative Ringe
Bei nicht-kommutativen Ringen
muss man bei der Teiler- und Vielfachen-Eigenschaft die Seitigkeit (linke, rechte oder zweiseitige) mit angeben. Dies lässt sich mit dem einfachen Teilbarkeitssymbol „
“ (dessen symmetrische Gestalt schon einer Spiegelung mit inverser Bedeutung im Wege steht) des kommutativen Falls nicht mehr ausdrücken.
Von zwei Elementen
heißt
linker Teiler von
, falls ein
mit
existiert. Dann ist auch
rechtes Vielfaches von
. Diese Teilbarkeit entspricht der Inklusion der Rechtsideale
. Entsprechend definiert man rechten Teiler, linkes Vielfaches und, wenn für links wie rechts gültig, auch zweiseitigen Teiler, zweiseitiges Vielfaches.
Körper
In Strukturen, in denen auch eine allgemeine Division als Umkehr der Multiplikation möglich ist (Körper und Schiefkörper), wie beispielsweise in den reellen Zahlen, ist die Theorie der Teilbarkeit trivial: Jede Zahl (bzw. jedes Körper-Element) ist durch jede andere Zahl außer
teilbar, d. h. auch: alle von 0 verschiedenen Elemente sind Einheiten.