在
上装备了度量後,可以讨论极限的概念。极限描述了一个数列在下标趋于无穷时的趋势,是分析学的基础。如果一个有理数列在下标趋于无穷时,数列的项与某个数
的距离可以小于任意给定的正有理数,就称
为此数列的极限。拥有极限的数列的项在下标趋于无穷时相互无限“靠近”。但反过来,这样的数列不一定拥有有理数极限。比如说以下数列:
![{\displaystyle {\frac {1}{2}},{\frac {2}{3}},{\frac {3}{5}},{\frac {5}{8}},{\frac {8}{13}},\cdots }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b81cf51c04dfb88767e80b8ee1ac77883b5deb4)
这说明有理数在表示长度和距离的时候是不完备的,存在着无法用有理数表达的长度[2]。为此需要对有理数进行扩展,称为完备化[3]。
将
完备化的拓扑方法由格奥尔格·康托提出。康托的方法依赖于现称为柯西数列的概念。柯西数列是一种可以用任意“小”的“圆盘”覆盖从某项起所有项的无穷数列。某个有理数数列
是柯西数列,当且仅当对任意有理数
,都存在自然数
,使得对任意
,都有
。康托承认每个这样的有理数数列都收敛到某个极限,将实数定义为某个柯西数列的极限[2]。显然,对于所有有理数,都能找到一个以它为极限的柯西数列,比如常数数列。如果当两个柯西数列
和
的差:
收敛于
,就称这两个数列等价,这样就可以在所有的柯西数列中建立等价关系。而康托将所有的等价类的集合定义为实数集
。四则运算、绝对值度量和序关系“
”都可以从有理数域自然诱导到
上。最重要的是,可以证明,所有
中元素构成的柯西数列都收敛到
中。这说明
是一个有序完备数域[3]。
实数
作为
的完备化是建立在绝对值度量上的,这种度量与日常现实中的欧几里德式的“距离”概念吻合,符合直观经验。实数也因此成为描述现实世界的有力数学工具。
进数与实数的不同在于,它是将绝对值度量改为另一种非直观的度量对有理数进行完备化後得到的完备数域[4]:8[5]:50-51。
用代数的方法,首先定义
进整数环
,然后构造其分式域,也可以得到
进数域[6]:92。
首先考虑由整数模
的同余类构成的环:
。
与
之间存在自然的环同态[8]:
[N 2][8]
考察逆向链:
![{\displaystyle \cdots \;{\xrightarrow {\varphi _{n+1}}}\;\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} \;{\xrightarrow {\varphi _{n}}}\;\mathbb {Z} /p^{n-1}\mathbb {Z} \;{\xrightarrow {\varphi _{n-1}}}\;\cdots \;{\xrightarrow {\varphi _{3}}}\;\mathbb {Z} /p^{2}\mathbb {Z} \;{\xrightarrow {\varphi _{2}}}\;\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d21daf1723d07b6f028a6ab40f458348edc163b8)
定义
为其逆向极限:
[7]:56[8]。
也就是说,每个
进整数
被定义为以下的序列[8]:
![{\displaystyle a=\{a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n},\cdots \;\}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22a33097e82c1208b73363ae1aea5ee6de3afb20)
其中
。可以证明,这样定义的
进整数环
与拓扑方法构造的
中通过
定义的
进整数环是同构的[6]:91-92。
在以上的定义下,整数
可以自然地嵌入
中,每个整数都可以依照它在
的同余类,唯一表示为一个
进整数[6]:91[8]。例如在
时,整数3629在
中对应的3进整数可以表示为:
![{\displaystyle 3629_{3}=\{2,2,11,65,227,713,1442,3629,3629,3629,\cdots \;\}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28106ea4133d2079432dba02bf7a9e0717cdb950)
从上面的例子可以看到,对于正整数,
将收敛于
本身,对于负整数情况则复杂一些,例如,
![{\displaystyle -1_{3}=\{2,8,26,80,242,\cdots \;\}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28e9ef5b68c7253f10fc408a1b66dcd4f97f5b06)
由于环同态
良好地保持了环的结构,所以这种结构自然地延伸到逆向极限
中。直观上可以理解为,
是
结构的极限。
越大,
和
就越“相似”。
进整数环
中的单位元显然是
一个
进整数
是(乘法)可逆元当且仅当
是
中的可逆元[6]:91[8]。非可逆元的元素都可以表达为:
![{\displaystyle a=p^{v_{p}(a)}u=\{p^{v_{p}(a)}u_{1},p^{v_{p}(a)}u_{2},\cdots ,p^{v_{p}(a)}u_{n},\cdots \;\},}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abf53f22543dc59020f32b190f569088935c6512)
其中
是
中的可逆元,
称为
进整数
的(代数)赋值[8]。可以看出,这个赋值和拓扑构造时的赋值是等价的。可以证明
是特征为0的整环[8]。构造
的分式域,可以证明其分式域(在恰当的拓扑同构的意义上[N 3])等于前面用拓扑方法构造的
[6]:92[8]。
每个
进数
都有唯一的展开式[7]:57:
![{\displaystyle x={\frac {\alpha _{-k}}{p^{k}}}+{\frac {\alpha _{-k+1}}{p^{k-1}}}+\cdots +\alpha _{0}+\alpha _{1}p+\cdots +\alpha _{i}p^{i}+\cdots =\sum _{i=-k}^{\infty }\alpha _{i}p^{i}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bccb15d5db7f7a56531eef4a2b8b4f6b2bd22124)
其中
就是
的
进赋值
,
,
。这一展开式在度量
下收敛到
[4]:14。代数构造中
进整数的数列表示的第
项,等于其展开式前
项的部分和。设
进整数
的数列表示为
,其展开式为
,则
![{\displaystyle a_{N}=\sum _{i=0}^{N-1}\alpha _{i}p^{i}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19f9dc2a977d07c101b48a7cf8b67a4369cde0fd)
这说明
进整数数列表示中,随着项数增大,数列的项在
下收敛到
进整数自身。
仿照有理数中
进制的记数法,可以将
进数
记为:
[6]:92,
称为
进数的
进记法。
按
的定义,
的“大小”(范数)为
[6]:92。也就是说,一个
进数小数点后位数越多则越大。这个性质与实数正好相反。
上的范数
是一个超度量的范数。它不仅满足三角不等式,而且满足更强的关系:
![{\displaystyle |x+y|_{p}\leqslant \max\{|x|_{p},|y|_{p}\}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/389ff763fef8aa73cda9c02892f63592a983020a)
这说明,如果将
想象成一个几何空间,那么其中的三角形的一边长度总小于等于另外两边中较长者,也就是说所有的三角形都是锐角等腰三角形。这与实际中的欧式几何空间完全不同。由此
与
具有截然不同的拓扑性质[6]:90。另外可證明說超度量中的不等號可以等號取代。
- 在
中,一个数列
收敛当且仅当
趋于0。一个无穷级数![{\displaystyle \scriptstyle \sum _{n\in \mathbb {N} }}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0878247259d313e09f27a2c725cbd845c479b6a4)
收敛当且仅当
趋于0。
- 考虑
中的一个“球”:
。这个球即是开集,也是闭集。这个球中每一个点,都是球的球心。两个球之间或者完全不相交,或者一个完全在另一个里面[6]:90。
上的拓扑是完全不连通的豪斯多夫空间:设有元素
,则包含
的连通单元只有
.[6]:90-91
是由
完备化而得,因此
在
中稠密。不仅如此,任意给定有限个质数
和正有理数
,并在相应的
进数域中各选定一个数:
後,都可找到有理数
,它与任一个
之间的距离都小于
[N 4][11]。
进整数
定义为所有范数不大于1的
进数:
。这说明
就是
的单位球[7]:61[5]:60。其“球面”为所有范数等于1的
进整数集合:
,亦即
中所有可逆元的集合[7]:61。
是紧致的[6]:93[5]:64。所有的整数都是
进整数,整数集合
在
中稠密[7]:61[5]:60。
中的任一个球
都可以表达为
,其中的
是使得
的最小整数[6]:93[5]:63。
是局部紧致的[6]:93[5]:64。
進數對於同餘信息有一種獨特的編碼方法,這在數論裏作用很大。例如,困擾數學家長達三百多年的費馬最後定理,終於在1994年由安德魯·懷爾斯使用
進數理論證明,這是數學上的重大突破。懷爾斯因此獲得2005年度邵逸夫獎[10]。
进数的数列展开表示可以被用于信息的编码。因此
进数可以被用来描述很多信息处理的过程,在认知科学、心理学和社会学研究中出现[10]。
此处指
对四则运算封闭等条件,具体参见域条目中的定义。
其中自变量
为
的元素,而映射符号右侧的“
”表示一个
中元素,其中的
指
在整数中的自然对应元素。例如当
时,
将同余类
映射到
,也就是
。正文中为了叙述简便,使用混淆的表达方式。
与
间的距离小于
指的是在相应的度量
下的距离:
。
实数中任两个数都能比较大小(有全序),而
上面没有全序。
Eric Gossett. Discrete Mathematics with Proof. John Wiley & Sons(插图版). 2009. ISBN 9780470457931 (英语).,附录A3
Koblitz, Neal. P-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions 2nd. Springer. 1996. ISBN 0-387-96017-1 (英语).
Fernando Q. Gouvêa. p-adic Numbers : An Introduction 2nd. Springer. 2000. ISBN 3-540-62911-4 (英语).
Pierre Colmez. Éléments d'analyse et d'algèbre. Paris: Édition École Polytechnique. 2011. ISBN 978-2-7302-1587-9 (法语).
Vladimir Anashin, Andrei Khrennikov. Applied Algebraic Dynamics. Walter de Gruyter. 2009. ISBN 9783110203011 (英语).,前言XV.