雙曲複數
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雙曲複數(英語:hyperbolic numbers或Split-complex number),是異於複數而對實數所做的推廣。
此條目没有列出任何参考或来源。 (2020年6月9日) |
各种各样的数 |
基本 |
延伸 |
其他 |
× | 1 | j |
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1 | 1 | j |
j | j | 1 |
考慮數,其中是實數,而量不是實數,但是實數。
選取,得到一般複數。取的話,便得到雙曲複數。
定義雙曲複數的加法和乘法如下,使之符合交換律、結合律和分配律:
對於,其共軛值。對於任何雙曲複數,
可見它是自同構的。
定義內積為 。若 ,說(雙曲)正交。
雙曲複數的平方範數就取自己和自己的內積,即自身和其共軛值之乘積(閔可夫斯基範數):
這個範數非正定,其Metric signature是(1,1)。它在乘法下不變:。
除了0之外,也不是每個雙曲複數都有乘法逆元。
由此可見,雙曲複數可逆若且唯若其平方範數非零。其形式均為,其中是實數。
雙曲複數的冪等元有:
列方程。有四個解:。
s和s^*都是不可逆的。它們可以作雙曲複數的基。 。
若將表示成,雙曲複數的乘法可表示成 。因此,在這個基裏,雙曲複數的加法和乘法和直和R⊕R同構。
共軛可表示為,範數。
有閔可夫斯基內積的二維實向量空間稱為1+1閔可夫斯基空間,表示為R1,1。正如歐几里得平面R2的幾何學可以複數表示,閔可夫斯基空間的幾何學可以雙曲複數表示。
在R,對於非零的,點集 是雙曲線。左邊和右邊的會經過和。稱為單位雙曲線。
共軛雙曲線是 ,會分別經過和。雙曲線和共軛雙曲線會被成直角的兩條漸近線 分開。
歐拉公式的相應版本是。
1848年James Cockle提出了双复数。1882年威廉·金頓·克利福德以雙曲複數表示自旋和。
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