海森堡繪景(Heisenberg picture)是量子力學的一種表述,因物理學者维尔纳·海森堡而命名。在海森堡繪景裏,對應於可觀察量的算符會隨著時間流易而演化,而描述量子系統的態向量則與時間無關。使用海森堡繪景,可以很容易地觀察到量子系統與經典系統之間的動力學關係。[1]:第2章第25頁
维尔纳·海森堡
海森堡繪景與薛丁格繪景、狄拉克繪景不同。在薛丁格繪景裏,描述量子系統的態向量隨著時間流易而演化,而像位置、動量一類的對應於可觀察量的算符則不會隨著時間流易而演化。[註 1]在狄拉克繪景裏,態向量與對應於可觀察量的算符都會隨著時間流易而演化。
這三種繪景殊途同歸,所獲得的結果完全一致。這是必然的,因為它們都是在表達同樣的物理現象。[2]:80-84[3][4]
為了便利分析,位於下標的符號
、
分別標記海森堡繪景、薛丁格繪景。
在量子力學的海森堡繪景裏,態向量
不含時,而可觀察量的算符
則含時,並且滿足「海森堡運動方程式」:[2]:80-84
;
其中,
是約化普朗克常數,
是哈密頓量,
是
與
的對易算符。
從某種角度來看,海森堡繪景比薛丁格繪景顯得更為自然,更具有基礎性,因為,經典力學分析物體運動所使用的物理量是可觀察量,例如,位置、動量等等,而海森堡繪景專注的就是這些可觀察量隨著時間流易的演化。進一步來看,海森堡繪景表述的量子力學與經典力學的相似可以很容易的觀察到:只要將對易算符改為帕松括號,海森堡方程式立刻就變成了哈密頓力學裏的運動方程式,其形式表示為[5]:396-397
;
其中,
是帕松括號。
通過狄拉克量子化條件,可以從哈密頓力學的運動方程式得到海森堡運動方程式:
。
史東-馮諾伊曼理論證明海森堡繪景與薛丁格繪景是等價的。
在薛丁格繪景裏,負責時間演化的算符是一種么正算符,稱為時間演化算符。假設時間從
流易到
,而經過這段時間間隔,態向量
演化為
,這時間演化過程以方程式表示為
;
其中,
是時間從
流易到
的時間演化算符。
時間演化算符是么正算符[註 2]:
。
假設系統的哈密頓量
不含時,則時間演化算符為[2]:69-71[註 3]
,
而且,時間演化算符與哈密頓量相互對易:[註 4]
。
注意到指數函數
必須通過其泰勒級數計算。
在海森堡繪景裏,態向量
、算符
分別定義為
、
。
由於
、
對於時間的偏導數分別為
、
。
所以,算符
對於時間的導數是[註 5]
。
由於不含時哈密頓量在海森堡繪景的形式與在薛丁格繪景相同,可以忽略下標:[註 6]
。
將算符的定義式納入考量,就可以得到海森堡運動方程式:
。
算符
的定義式涉及到指數函數
,必須通過其泰勒級數計算,這是個很繁雜的過程,可以利用貝克-豪斯多夫引理來計算[2]:95
。
對於算符
,可以得到
。
由於帕松括號與對易算符的關係,在哈密頓力學裏,這方程式也成立。
本節運算只涉及海森堡繪景,為了簡便起見,忽略下標
。設想自由粒子系統,其哈密頓量為[2]:85-86
。
動量
的海森堡運動方程式為
。
這是因為
與
對易。所以,動量
是個常數:
。
位置
的海森堡運動方程式為
。
所以,位置與時間的關係式為
。
換另一種方法,算符隨著時間流易而演化的方程式為
。
利用貝克-豪斯多夫引理,
。
注意到以下兩個對易關係式:
、
。
將這兩個對易關係式代入,可以得到同樣的位置與時間的關係式:
。
注意到位置在不同時間的對易子不等於零:
。
本節運算只涉及海森堡繪景,為了簡便起見,忽略下標
。設想諧振子系統,其哈密頓量為[2]:89, 94-97
;
其中,
為諧振子頻率。
動量算符
、位置算符
的海森堡運動方程式分別為
、
。
再求這兩個方程式對於時間的導數,
、
。
設定動量算符、位置算符的初始條件分別為
、
。
則在初始時間,
、
。
所以,二次微分方程式的解答分別是
、
。
稍加運算,可以得到海森堡繪景裏的對易關係:
、
、
。
假若
,則立刻會得到熟悉的正則對易關係。
換另一種方法,算符隨著時間流易而演化的方程式為
。
利用貝克-豪斯多夫引理,
。
注意到以下兩個對易關係式:
、
。
將這兩個對易關係式代入,可以得到同樣的位置與時間的關係式:
。
類似地,也可以得到同樣的動量與時間的關係式。
Sakurai, J. J.; Napolitano, Jim, Modern Quantum Mechanics 2nd, Addison-Wesley, 2010, ISBN 978-0805382914
Y. Peleg, R. Pnini, E. Zaarur, E. Hecht. Quantum mechanics. Schuam's outline series 2nd. McGraw Hill. 2010: 70. ISBN 9-780071-623582.
Goldstein, Herbert, Classical Mechanics 3rd, United States of America: Addison Wesley, 1980, ISBN 0201657023 (英语)
- Cohen-Tannoudji, Claude; Bernard Diu, Frank Laloe. Quantum Mechanics (Volume One). Paris: Wiley. 1977: 312–314. ISBN 047116433X.