在量子力學裏,動量算符(英語:momentum operator)是一種算符,可以用來計算一個或多個粒子的動量。對於一個不帶電荷、沒有自旋的粒子,作用於波函數
的動量算符可以寫為
;
其中,
是動量算符,
是約化普朗克常數,
是虛數單位,
是位置。
給予一個粒子的波函數
,這粒子的動量期望值為
;
其中,
是動量。
導引 1
對於一個非相對論性的自由粒子,位勢
,不含時薛丁格方程式表達為
。
其中,
是約化普朗克常數,
是粒子的質量,
是粒子的波函數,
是粒子的位置,
是粒子的能量。
這薛丁格方程式的解答
是一個平面波:
;
其中,
是波數,
。
根據德布羅意假說,自由粒子所表現的物質波,其波數與自由粒子動量的關係是
。
自由粒子具有明確的動量
,給予一個系綜許多相同的自由粒子系統。每一個自由粒子系統的量子態都一樣。標記粒子的動量算符為
。假若,對於這系綜內,每一個自由粒子系統的動量所作的測量,都得到同樣的測量值
,那麼,不確定性
,這自由粒子的量子態是確定態,是
的本徵態,在位置空間(position space)裏,本徵函數為
,本徵值為
:
。
換句話說,在位置空間裏,動量算符的本徵函數必須是自由粒子的波函數
[1]。
為了要達到此目標,勢必要令
。
所以,可以認定動量算符的形式為
。
導引 2
在古典力學裏,動量是質量乘以速度:
。
在量子力學裏,由於粒子的位置不是明確的,而是機率性的。所以,猜想這句話是以期望值的方式來實現[2]:
。
那麼,用積分方程式來表達,
;
其中,
是波函數。
取微分於積分號下,
。
由於
只是一個位置的統計參數,不跟時間有關,
。(1)
含時薛丁格方程式為
;
其中,
是位勢。
其共軛複數為
。
將上述兩個方程式代入方程式 (1),可以得到
。
使用分部積分法,并利用当x趋于无穷大时波函数
趋于零的特性,有
,(2)
。(3)
方程式 (2) 與 (3) 的減差(使用分部積分法,并利用当x趋于无穷大时波函数
趋于零的特性)
。
所以,
。
對於任意波函數
,這方程式都成立。因此,可以認定動量算符
為
。
厄米算符
由於每一種經過測量而得到的物理量都是實值的。所以,可觀察量
的期望值是實值的:
。
對於任意量子態
,這關係都成立:
。
根據伴隨算符的定義,假設
是
的伴隨算符,則
。因此,
。
這正是厄米算符的定義。所以,表示可觀察量的算符
,都是厄米算符。
動量是一個可觀察量,動量算符應該也是厄米算符:選擇位置空間,量子態
的波函數為
,
。
對於任意量子態
,
。所以,動量算符確實是一個厄米算符。
本徵值與本徵函數
假設,動量算符
的本徵值為
的本徵函數是
:
。
這方程式的一般解為,
;
其中,
是常數。
假設
的定義域是一個有限空間,從
到
,那麼,可以將
歸一化:
。
的值是
。動量算符的本徵函數歸一化為
。
假設
的定義域是無窮大空間,則
不是一個平方可積函數:
。
動量算符的本徵函數不存在於希爾伯特空間內,不能直接地積分
於無窮大空間,來使
歸一化。
換另一種方法,設定
。那麼,
;
其中,
是狄拉克δ函數。
這性質不是普通的正交歸一性。稱這性質為狄拉克正交歸一性。因為這性質,動量算符的本徵函數是完備的。也就是說,任意波函數
都可以表達為本徵函數的線性組合:
;
其中,係數
是
。
正則對易關係
位置算符與動量算符的交換算符,當作用於一個波函數時,有一個簡單的結果:
。
所以,
。這關係稱為位置算符與動量算符的正則對易關係。由於兩者的正則對易關係不等於 0 ,位置與動量彼此是不相容可觀察量。
與
絕對不會有共同的基底量子態。一般而言,
的本徵態與
的本徵態不同。
根據不確定性原理,
。
由於
與
是兩個不相容可觀察量,
。所以,
的不確定性與
的不確定性的乘積
,必定大於或等於
。
參考文獻
A. P. French, An Introduction to Quantum Phusics, W. W. Norton, Inc.: pp. 443–444, 1978, ISBN 978-0393091069 (英语)
Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall: pp. 15–18, 97–116, 2004, ISBN 0-13-111892-7