在量子力學 裏，密度算符 （英語：density operator 密度矩陣 （英語：density matrix 態向量
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
量子態 ，混合態則是由幾種純態依照統計機率 組成的量子態。假設一個量子系統處於純態
|
ψ
1
⟩
{\displaystyle |\psi _{1}\rangle }
|
ψ
2
⟩
{\displaystyle |\psi _{2}\rangle }
|
ψ
3
⟩
{\displaystyle |\psi _{3}\rangle }
w
1
{\displaystyle w_{1}}
w
2
{\displaystyle w_{2}}
w
3
{\displaystyle w_{3}}
ρ
{\displaystyle \rho }
ρ
=
∑
i
w
i
|
ψ
i
⟩
⟨
ψ
i
|
{\displaystyle {\rho }=\sum _{i}w_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|}
從白熾燈 （1）發射出的光子處於完全隨機偏振混合態（2），密度矩陣為
[
0.5
0
0
0.5
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}0.5&0\\0&0.5\\\end{bmatrix}}}
。 垂直平面偏振器 （3）之後，光子處於垂直偏振純態（4），密度矩陣為
[
1
0
0
0
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&0\\\end{bmatrix}}}
。 注意到所有機率的總和為1：
∑
i
w
i
=
1
{\displaystyle \sum _{i}w_{i}=1}
假設
{
|
b
i
⟩
,
i
=
1
,
2
,
3
,
…
,
n
}
{\displaystyle \{|b_{i}\rangle ,\quad i=1,2,3,\dots ,n\}}
規範正交基 ，則對應於密度算符的密度矩陣
ϱ
{\displaystyle \varrho }
ϱ
i
j
{\displaystyle \varrho _{ij}}
ϱ
i
j
=
⟨
b
i
|
ρ
|
b
j
⟩
=
∑
k
w
k
⟨
b
i
|
ψ
k
⟩
⟨
ψ
k
|
b
j
⟩
{\displaystyle \varrho _{ij}=\langle b_{i}|\rho |b_{j}\rangle =\sum _{k}w_{k}\langle b_{i}|\psi _{k}\rangle \langle \psi _{k}|b_{j}\rangle }
對於這量子系統，可觀察量
A
{\displaystyle A}
期望值 為
⟨
A
⟩
=
∑
i
w
i
⟨
ψ
i
|
A
|
ψ
i
⟩
=
∑
i
⟨
b
i
|
ρ
A
|
b
i
⟩
=
tr
(
ρ
A
)
{\displaystyle \langle A\rangle =\sum _{i}w_{i}\langle \psi _{i}|{A}|\psi _{i}\rangle =\sum _{i}\langle b_{i}|{\rho }{A}|b_{i}\rangle =\operatorname {tr} ({\rho }{A})}
是可觀察量
A
{\displaystyle A}
⟨
ψ
i
|
A
|
ψ
i
⟩
{\displaystyle \langle \psi _{i}|{A}|\psi _{i}\rangle }
權值
w
i
{\displaystyle w_{i}}
混合態量子系統出現的案例包括，處於熱力學平衡 或化學平衡 的系統、製備歷史不確定或隨機 變化的系統（因此不知道到底系統處於哪個純態）。假設量子系統處於由幾個糾纏 在一起的子系統所組成的純態，則雖然整個系統處於純態，每一個子系統仍舊可能處於混合態。在量子退相干 理論裏，密度算符是重要理論工具。
密度算符是一種線性算符 ，是自伴算符 、非負算符 （英語：nonnegative operator ）、跡數 為1的算符。關於密度算符的數學形式論是由約翰·馮·諾伊曼 與列夫·郎道 各自獨立於1927年給出。[ 1] [ 2] :48-55 [ 3]
假設一個量子系統的量子態是純態，則這量子態可以用態向量表示為
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
[ 4] :309-313
ρ
=
d
e
f
|
ψ
⟩
⟨
ψ
|
{\displaystyle \rho \ {\stackrel {def}{=}}\ |\psi \rangle \langle \psi |}
從密度算符的形式，可以推論密度算符是自伴算符 ：
ρ
†
=
(
|
ψ
⟩
⟨
ψ
|
)
†
=
|
ψ
⟩
⟨
ψ
|
=
ρ
{\displaystyle \rho ^{\dagger }=(|\psi \rangle \langle \psi |)^{\dagger }=|\psi \rangle \langle \psi |=\rho }
假設，物理量
A
{\displaystyle A}
可觀察量 ，其本徵值 為
a
i
{\displaystyle a_{i}}
本徵態
|
a
i
⟩
,
i
=
1
,
2
,
3
,
⋯
,
n
{\displaystyle |a_{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots ,n}
規範正交基
{
|
a
i
⟩
}
{\displaystyle \{|a_{i}\rangle \}}
A
{\displaystyle A}
a
i
{\displaystyle a_{i}}
P
(
a
i
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(a_{i})}
[ 5] :96-99
P
(
a
i
)
=
d
e
f
|
⟨
a
i
|
ψ
⟩
|
2
=
⟨
a
i
|
ψ
⟩
⟨
ψ
|
a
i
⟩
=
∑
k
⟨
a
k
|
a
i
⟩
⟨
a
i
|
ψ
⟩
⟨
ψ
|
a
k
⟩
=
∑
k
⟨
a
k
|
Λ
(
a
i
)
ρ
|
a
k
⟩
=
tr
(
Λ
(
a
i
)
ρ
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {P}}(a_{i})&\ {\stackrel {def}{=}}\ |\langle a_{i}|\psi \rangle |^{2}=\langle a_{i}|\psi \rangle \langle \psi |a_{i}\rangle \\&=\sum _{k}\langle a_{k}|a_{i}\rangle \langle a_{i}|\psi \rangle \langle \psi |a_{k}\rangle \\&=\sum _{k}\langle a_{k}|\Lambda (a_{i})\rho |a_{k}\rangle \\&={\hbox{tr}}(\Lambda (a_{i})\rho )\\\end{aligned}}}
； 其中，
Λ
(
a
i
)
=
d
e
f
|
a
i
⟩
⟨
a
i
|
{\displaystyle \Lambda (a_{i})\ {\stackrel {def}{=}}\ |a_{i}\rangle \langle a_{i}|}
|
a
i
⟩
{\displaystyle |a_{i}\rangle }
投影算符 ，[ 註 1]
tr
(
)
{\displaystyle {\hbox{tr}}()}
跡數 。
做實驗測量可觀察量
A
{\displaystyle A}
期望值 為
⟨
A
⟩
=
d
e
f
∑
i
a
i
P
(
a
i
)
=
∑
i
a
i
⟨
a
i
|
ψ
⟩
⟨
ψ
|
a
i
⟩
=
∑
i
a
i
⟨
a
i
|
ρ
|
a
i
⟩
=
∑
i
⟨
a
i
|
A
ρ
|
a
i
⟩
=
tr
(
A
ρ
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\langle A\rangle &\ {\stackrel {def}{=}}\ \sum _{i}a_{i}{\mathcal {P}}(a_{i})=\sum _{i}a_{i}\langle a_{i}|\psi \rangle \langle \psi |a_{i}\rangle \\&=\sum _{i}a_{i}\langle a_{i}|\rho |a_{i}\rangle =\sum _{i}\langle a_{i}|A\rho |a_{i}\rangle ={\hbox{tr}}(A\rho )\\\end{aligned}}}
。 這種可觀察量的期望值與跡數運算之間的關係稱為跡定則 （trace rule）。[ 6] :36 對於不同的規範正交基，跡數是個不變量。採用任何規範正交基，都可以計算出同樣跡數。[ 註 2] 線性 ，這是很優良的性質，這意味著機率公式與期望值公式也適用於幾個密度算符的線性組合。
由於
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
tr
(
ρ
)
=
tr
(
|
ψ
⟩
⟨
ψ
|
)
=
∑
i
⟨
a
i
|
ψ
⟩
⟨
ψ
|
a
i
⟩
=
∑
i
⟨
ψ
|
a
i
⟩
⟨
a
i
|
ψ
⟩
=
⟨
ψ
|
ψ
⟩
=
1
{\displaystyle {\begin{aligned}{\hbox{tr}}(\rho )&={\hbox{tr}}(|\psi \rangle \langle \psi |)=\sum _{i}\langle a_{i}|\psi \rangle \langle \psi |a_{i}\rangle \\&=\sum _{i}\langle \psi |a_{i}\rangle \langle a_{i}|\psi \rangle =\langle \psi |\psi \rangle =1\\\end{aligned}}}
。 對於任意歸一化量子態
ϕ
{\displaystyle \phi }
0
≤
⟨
ϕ
|
ρ
|
ϕ
⟩
=
⟨
ϕ
|
ψ
⟩
⟨
ψ
|
ϕ
⟩
=
|
⟨
ϕ
|
ψ
⟩
|
2
≤
1
{\displaystyle 0\leq \langle \phi |\rho |\phi \rangle =\langle \phi |\psi \rangle \langle \psi |\phi \rangle =|\langle \phi |\psi \rangle |^{2}\leq 1}
所以，密度算符是非負算符 （nonnegative operator）。
將先前純態密度算符的定義式加以延伸，假設在一個量子系統處於純態
|
ψ
1
⟩
{\displaystyle |\psi _{1}\rangle }
|
ψ
2
⟩
{\displaystyle |\psi _{2}\rangle }
|
ψ
3
⟩
{\displaystyle |\psi _{3}\rangle }
w
1
{\displaystyle w_{1}}
w
2
{\displaystyle w_{2}}
w
3
{\displaystyle w_{3}}
ρ
{\displaystyle \rho }
[ 4] :311-313
ρ
=
d
e
f
∑
i
w
i
|
ψ
i
⟩
⟨
ψ
i
|
{\displaystyle {\rho }\ {\stackrel {def}{=}}\ \sum _{i}w_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|}
每一個機率都是非負實值，所有機率的總和為1：
0
≤
w
i
≤
1
{\displaystyle 0\leq w_{i}\leq 1}
∑
i
w
i
=
1
{\displaystyle \sum _{i}w_{i}=1}
按照「無知詮釋」，這種量子系統確定是處於某個純態
ψ
i
{\displaystyle \psi _{i}}
[ 7] [ 註 3]
回想在純態段落裏，機率公式與期望值公式對於密度算符都具有線性 ，這意味著對於混合態的密度算符，這些公式也都適用。加以延伸後的密度算符，也具有先前純態的密度算符所擁有的性質：
密度算符是自伴算符：
ρ
=
ρ
†
{\displaystyle \rho =\rho ^{\dagger }}
密度算符的跡數為1：
tr
(
ρ
)
=
1
{\displaystyle {\hbox{tr}}(\rho )=1}
對可觀察量
A
{\displaystyle A}
a
i
{\displaystyle a_{i}}
P
(
a
i
)
=
tr
(
Λ
(
a
i
)
ρ
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(a_{i})={\hbox{tr}}(\Lambda (a_{i})\rho )}
做實驗測量可觀察量
A
{\displaystyle A}
期望值 為
⟨
A
⟩
=
tr
(
A
ρ
)
{\displaystyle \langle A\rangle ={\hbox{tr}}(A\rho )}
密度算符是非負算符：
0
≤
⟨
ϕ
|
ρ
|
ϕ
⟩
≤
1
{\displaystyle 0\leq \langle \phi |\rho |\phi \rangle \leq 1}
由於密度算符
ρ
{\displaystyle \rho }
譜表示
ρ
=
∑
i
a
i
|
a
i
⟩
⟨
a
i
|
{\displaystyle \rho =\sum _{i}a_{i}|a_{i}\rangle \langle a_{i}|}
其中，
|
a
i
⟩
{\displaystyle |a_{i}\rangle }
本徵值 為
a
i
{\displaystyle a_{i}}
本徵態 ，所有
|
a
i
⟩
{\displaystyle |a_{i}\rangle }
規範正交基 。
按照自伴算符的定義，每一個本徵值
a
i
{\displaystyle a_{i}}
a
i
=
a
i
∗
{\displaystyle a_{i}=a_{i}^{*}}
由於密度算符
ρ
{\displaystyle \rho }
a
i
{\displaystyle a_{i}}
由於密度算符
ρ
{\displaystyle \rho }
∑
i
a
i
=
1
{\displaystyle \sum _{i}a_{i}=1}
給定一個量子系統，其所有可能的密度算符組成一個凸集 。假設
ρ
i
,
i
=
1
,
2
,
3
,
.
.
.
,
n
{\displaystyle \rho _{i},\quad i=1,2,3,...,n}
ρ
=
∑
i
c
i
ρ
i
{\displaystyle \rho =\sum _{i}c_{i}\rho _{i}}
0
≤
c
i
≤
1
{\displaystyle 0\leq c_{i}\leq 1}
∑
i
c
i
=
1
{\displaystyle \sum _{i}c_{i}=1}
[ 2] :51
由於純態的密度算符定義式為[ 4] :311-313
ρ
=
d
e
f
|
ψ
⟩
⟨
ψ
|
{\displaystyle \rho \ {\stackrel {def}{=}}\ |\psi \rangle \langle \psi |}
所以純態的密度算符具有特徵
ρ
2
=
ρ
{\displaystyle \rho ^{2}=\rho }
tr
(
ρ
2
)
=
tr
(
ρ
)
=
1
{\displaystyle {\hbox{tr}}(\rho ^{2})={\hbox{tr}}(\rho )=1}
否則，非純態的密度算符遵守關係式
tr
(
ρ
2
)
<
tr
(
ρ
)
=
1
{\displaystyle {\hbox{tr}}(\rho ^{2})<{\hbox{tr}}(\rho )=1}
另外，將純態的密度矩陣
ϱ
{\displaystyle \varrho }
[ 8] :178-183
ϱ
=
[
0
0
0
⋯
0
0
1
0
⋯
0
0
0
0
⋯
0
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
0
0
0
⋯
0
]
{\displaystyle \varrho ={\begin{bmatrix}0&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &0\\\end{bmatrix}}}
。 量子態的純度
γ
{\displaystyle \gamma }
γ
=
tr
(
ρ
2
)
{\displaystyle \gamma ={\hbox{tr}}(\rho ^{2})}
純態的純度為1。處於N維希爾伯特空間、完全混合的混合態，其對角元素的數值為
1
/
N
{\displaystyle 1/N}
1
/
N
{\displaystyle 1/N}
[ 6] :40-41
馮諾伊曼熵 是另一種描述量子態混合程度的量度。
態向量：
|
z
+
⟩
=
[
1
0
]
{\displaystyle |z+\rangle ={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}
密度矩陣：
ϱ
z
+
=
|
z
+
⟩
⟨
z
+
|
=
[
1
0
]
[
1
0
]
=
[
1
0
0
0
]
{\displaystyle \varrho _{z+}=|z+\rangle \langle z+|={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}}
。 態向量：
|
z
−
⟩
=
[
0
1
]
{\displaystyle |z-\rangle ={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}}
密度矩陣：
ϱ
z
−
=
|
z
−
⟩
⟨
z
−
|
=
[
0
1
]
[
0
1
]
=
[
0
0
0
1
]
{\displaystyle \varrho _{z-}=|z-\rangle \langle z-|={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}}}
。
態向量：
|
x
+
⟩
=
[
1
2
1
2
]
{\displaystyle |x+\rangle ={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}}
密度矩陣：
ϱ
x
+
=
|
x
+
⟩
⟨
x
+
|
=
[
1
2
1
2
]
[
1
2
1
2
]
=
[
1
2
1
2
1
2
1
2
]
{\displaystyle \varrho _{x+}=|x+\rangle \langle x+|={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}
。 態向量：
|
x
−
⟩
=
[
1
2
−
1
2
]
{\displaystyle |x-\rangle ={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}}
密度矩陣：
ϱ
x
−
=
|
x
−
⟩
⟨
x
−
|
=
[
1
2
−
1
2
]
[
1
2
−
1
2
]
=
[
1
2
−
1
2
−
1
2
1
2
]
{\displaystyle \varrho _{x-}=|x-\rangle \langle x-|={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}
。
態向量：
|
y
+
⟩
=
[
1
2
i
2
]
{\displaystyle |y+\rangle ={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}}
密度矩陣：
ϱ
y
+
=
|
y
+
⟩
⟨
y
+
|
=
[
1
2
i
2
]
[
1
2
−
i
2
]
=
[
1
2
−
i
2
i
2
1
2
]
{\displaystyle \varrho _{y+}=|y+\rangle \langle y+|={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {i}{2}}\\{\frac {i}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}
。 態向量：
|
y
−
⟩
=
[
1
2
−
i
2
]
{\displaystyle |y-\rangle ={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}}
密度矩陣：
ϱ
y
−
=
|
y
−
⟩
⟨
y
−
|
=
[
1
2
−
i
2
]
[
1
2
i
2
]
=
[
1
2
i
2
−
i
2
1
2
]
{\displaystyle \varrho _{y-}=|y-\rangle \langle y-|={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {i}{2}}\\-{\frac {i}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}
。
對於本徵態
|
a
i
⟩
{\displaystyle |a_{i}\rangle }
Λ
(
a
i
)
{\displaystyle \Lambda (a_{i})}
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
|
a
i
⟩
{\displaystyle |a_{i}\rangle }
機率幅 的乘積：
Λ
(
a
i
)
|
ψ
⟩
=
|
a
i
⟩
⟨
a
i
|
ψ
⟩
=
c
i
|
a
i
⟩
{\displaystyle \Lambda (a_{i})|\psi \rangle =|a_{i}\rangle \langle a_{i}|\psi \rangle =c_{i}|a_{i}\rangle }
c
i
{\displaystyle c_{i}}
|
a
i
⟩
{\displaystyle |a_{i}\rangle }
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
機率幅 。 給定兩個規範正交基
{
|
a
i
⟩
}
,
{
|
b
i
⟩
}
{\displaystyle \{|a_{i}\rangle \},\{|b_{i}\rangle \}}
W
{\displaystyle W}
tr
(
W
)
=
∑
i
⟨
a
i
|
W
|
a
i
⟩
=
∑
i
,
j
⟨
a
i
|
b
j
⟩
⟨
b
j
|
W
|
a
i
⟩
=
∑
i
,
j
⟨
b
j
|
W
|
a
i
⟩
⟨
a
i
|
b
j
⟩
=
∑
j
⟨
b
j
|
W
|
b
j
⟩
{\displaystyle \operatorname {tr} (W)=\sum _{i}\langle a_{i}|W|a_{i}\rangle =\sum _{i,j}\langle a_{i}|b_{j}\rangle \langle b_{j}|W|a_{i}\rangle =\sum _{i,j}\langle b_{j}|W|a_{i}\rangle \langle a_{i}|b_{j}\rangle =\sum _{j}\langle b_{j}|W|b_{j}\rangle }
在量子退相干 裏，約化密度算符 代表的是反常混合物，它不能被視為處於某個未知的純態；它是依賴環境與系統之間的相互作用使得所有的非對角元素趨於零，實際而言，這些非對角元素所表現的量子相干性 已被遷移至環境，只有從整個密度算符才能查覺到這量子相干性的存在。[ 6] :48-49 在薛丁格繪景裏，純態隨著時間而演化的形式為
|
ψ
i
(
t
)
⟩
=
e
−
i
H
(
t
−
t
0
)
|
ψ
i
(
t
0
)
⟩
{\displaystyle |\psi _{i}(t)\rangle =e^{-iH(t-t_{0})}|\psi _{i}(t_{0})\rangle }
ρ
(
t
)
=
∑
i
w
i
|
ψ
i
(
t
)
⟩
⟨
ψ
i
(
t
)
|
=
∑
i
w
i
(
|
ψ
i
(
t
0
)
⟩
e
i
H
(
t
−
t
0
)
e
−
i
H
(
t
−
t
0
)
⟨
ψ
i
(
t
0
)
|
)
=
∑
i
w
i
(
|
ψ
i
(
t
0
)
⟩
⟨
ψ
i
(
t
0
)
|
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\rho (t)&=\sum _{i}w_{i}|\psi _{i}(t)\rangle \langle \psi _{i}(t)|\\&=\sum _{i}w_{i}\left(|\psi _{i}(t_{0})\rangle e^{iH(t-t_{0})}e^{-iH(t-t_{0})}\langle \psi _{i}(t_{0})|\right)\\&=\sum _{i}w_{i}\left(|\psi _{i}(t_{0})\rangle \langle \psi _{i}(t_{0})|\right)\\\end{aligned}}}
。 矩陣對數 （logarithm of a matrix）也是矩陣；後者的矩陣指數 等於前者。這是純對數 的推廣。這運算是矩陣指數的反函數 。並不是所有矩陣都有對數，有些矩陣有很多個對數。
von Neumann, John, Wahrscheinlichkeitstheoretischer Aufbau der Quantenmechanik, Göttinger Nachrichten, 1927, 1 : 245–272
Laloe, Franck, Do We Really Understand Quantum Mechanics, Cambridge University Press, 2012, ISBN 978-1-107-02501-1 Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-111892-7 Maximilian A. Schlosshauer. Decoherence: And the Quantum-To-Classical Transition. Springer Science & Business Media. 1 January 2007. ISBN 978-3-540-35773-5 Bernard d' Espagnat. Conceptual Foundations of Quantum Mechanics. Advanced Book Program, Perseus Books. 1999. ISBN 978-0-7382-0104-7 Sakurai, J. J.; Napolitano, Jim, Modern Quantum Mechanics 2nd, Addison-Wesley, 2010, ISBN 978-0805382914 Breuer, Heinz; Petruccione, Francesco, The theory of open quantum systems: 110, ISBN 9780198520634 Bengtsson, Ingemar; Zyczkowski, Karol. Geometry of Quantum States: An Introduction to Quantum Entanglement 1st.
Everett, Hugh, The Theory of the Universal Wavefunction (1956) Appendix I. "Monotone decrease of information for stochastic processes" , The Many-Worlds Interpretation of Quantum Mechanics, Princeton Series in Physics, Princeton University Press: 128–129, 1973, ISBN 978-0-691-08131-1 
![{\displaystyle \varrho ={\frac {1}{2}}\varrho _{z+}+{\frac {1}{2}}\varrho _{z-}={\frac {1}{2}}\left[{\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}}\right]={\begin{bmatrix}0.5&0\\0&0.5\end{bmatrix}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34c29e8809c629b2b19bde448e9bfcb23fb949c2)
![{\displaystyle \varrho ={\frac {1}{2}}\varrho _{x+}+{\frac {1}{2}}\varrho _{x-}={\frac {1}{2}}\left[{\begin{bmatrix}0.5&0.5\\0.5&0.5\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0.5&-0.5\\-0.5&0.5\end{bmatrix}}\right]={\begin{bmatrix}0.5&0\\0&0.5\end{bmatrix}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf82133b90059117eb8c11b1c7b306ea7da4a309)
![{\displaystyle {\begin{aligned}i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\rho (t)&=\sum _{i}w_{i}(H|\psi _{i}(t)\rangle \langle \psi _{i}(t)|-|\psi _{i}(t)\rangle \langle \psi _{i}(t)|H)\\&=-[\rho ,H]\\\end{aligned}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60452008b85f24c7584f76aaea11b7710d13017f)
![{\displaystyle {\frac {dA^{(H)}}{dt}}=-\ {\frac {i}{\hbar }}[A^{(H)},H]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dfe80e3826a3a92d1cddca20ad2255896015f35)
