在數學中,泰勒級數 (英語:Taylor series )用無限項連加式——級數 來表示一個函數,這些相加的項由函數在某一點的導數 求得。泰勒級數是以於1715年發表了泰勒公式 的英國 數學家 布魯克·泰勒 (Sir Brook Taylor )來命名的。通過函數在自變數零點的導數求得的泰勒級數又叫做馬克勞林級數 ,以蘇格蘭數學家科林·馬克勞林 的名字命名。
拉格朗日 在1797年之前,最先提出帶有餘項的現在形式的泰勒定理。實際應用中,泰勒級數需要截斷,只取有限項,可以用泰勒定理 估算這種近似的誤差。一個函數的有限項的泰勒級數叫做泰勒多項式 。一個函數的泰勒級數是其泰勒多項式的極限 (如果存在極限)。即使泰勒級數在每點都收斂,函數與其泰勒級數也可能不相等。在開區間(或複平面 上的開區間)上,與自身泰勒級數相等的函數稱為解析函數 。
由無窮遞縮等比數列求和式:
1
1
−
x
=
∑
n
=
0
∞
x
n
=
1
+
x
+
x
2
+
⋯
+
x
n
+
⋯
∀
x
:
|
x
|
<
1
{\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+\cdots +x^{n}+\cdots \quad \forall x:\left|x\right|<1}
(
1
+
x
)
α
=
∑
n
=
0
∞
(
α
n
)
x
n
=
1
+
α
x
+
α
(
α
−
1
)
2
!
x
2
+
⋯
+
α
(
α
−
1
)
⋯
(
α
−
n
+
1
)
n
!
x
n
+
⋯
{\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{n}}x^{n}=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2!}}x^{2}+\cdots +{\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}x^{n}+\cdots }
∀
x
:
|
x
|
<
1
,
∀
α
∈
C
{\displaystyle \forall x:\left|x\right|<1,\forall \alpha \in \mathbb {C} }
二項式係數
(
α
n
)
=
∏
k
=
1
n
α
−
k
+
1
k
=
α
(
α
−
1
)
⋯
(
α
−
n
+
1
)
n
!
{\displaystyle {\binom {\alpha }{n}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}}
。
sinh
x
=
∑
n
=
0
∞
1
(
2
n
+
1
)
!
x
2
n
+
1
∀
x
{\displaystyle \sinh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\quad \forall x}
cosh
x
=
∑
n
=
0
∞
1
(
2
n
)
!
x
2
n
∀
x
{\displaystyle \cosh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}\quad \forall x}
tanh
x
=
∑
n
=
1
∞
B
2
n
4
n
(
4
n
−
1
)
(
2
n
)
!
x
2
n
−
1
∀
x
:
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle \tanh x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad \forall x:\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}
sinh
−
1
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
4
n
(
n
!
)
2
(
2
n
+
1
)
x
2
n
+
1
∀
x
:
|
x
|
<
1
{\displaystyle \sinh ^{-1}x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad \forall x:\left|x\right|<1}
tanh
−
1
x
=
∑
n
=
0
∞
1
2
n
+
1
x
2
n
+
1
∀
x
:
|
x
|
<
1
{\displaystyle \tanh ^{-1}x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}x^{2n+1}\quad \forall x:\left|x\right|<1}
tanh
(
x
)
{\displaystyle \tanh(x)}
展開式中的B k 是伯努利數 。
W
0
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
(
−
n
)
n
−
1
n
!
x
n
∀
x
:
|
x
|
<
1
e
{\displaystyle W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n}\quad \forall x:\left|x\right|<{\frac {1}{e}}}
泰勒級數可以推廣到有多個變量 的函數 :
∑
n
1
=
0
∞
⋯
∑
n
d
=
0
∞
∂
n
1
+
⋯
+
n
d
∂
x
1
n
1
⋯
∂
x
d
n
d
f
(
a
1
,
⋯
,
a
d
)
n
1
!
⋯
n
d
!
(
x
1
−
a
1
)
n
1
⋯
(
x
d
−
a
d
)
n
d
{\displaystyle \sum _{n_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{d}=0}^{\infty }{\frac {\partial ^{n_{1}+\cdots +n_{d}}}{\partial x_{1}^{n_{1}}\cdots \partial x_{d}^{n_{d}}}}{\frac {f(a_{1},\cdots ,a_{d})}{n_{1}!\cdots n_{d}!}}(x_{1}-a_{1})^{n_{1}}\cdots (x_{d}-a_{d})^{n_{d}}}
希臘哲學家芝諾 在考慮了利用無窮級數求和來得到有限結果的問題,得出不可能的結論 - 芝諾悖論 。後來,亞里斯多德 對芝諾悖論在哲學上進行了反駁,但德謨克利特 以及後來的阿基米德 進行研究,此部分數學內容才得到解決。 正是用了阿基米德的窮竭法 才使得一個無窮級數被逐步的細分,得到了有限的結果。[ 2] 幾個世紀之後,中國數學家劉徽 也獨立提出了類似的方法。[ 3]
進入14世紀,馬德哈瓦 最早使用了泰勒級數以及相關的方法[ 4] 。儘管他的數學著作沒有流傳下來,但後來印度數學家的著作表明他發現了一些特殊的泰勒級數,這些級數包括正弦 、餘弦 、正切 、和反正切 三角函數等等。之後,喀拉拉學派 在他的基礎上進行了一系列的延伸與合理逼近,這些工作一直持續到16世紀。
到了17世紀,詹姆斯·格雷果里 同樣繼續著這方面的研究並且發表了若干馬克勞林級數 。但是直到1715年,布魯克·泰勒 [ 5] 提出了一個通用的方法來構建適用於所有函數的此類列級數。這就是後來被人們所熟知的泰勒級數。
馬克勞林級數是泰勒級數的特例,是愛丁堡大學 的科林·馬克勞林 教授在18世紀發表的,並以其名字命名。
《自然哲學的數學原理 》的第三編「宇宙體系」的引理五的圖例。這裡在橫坐標上有6個點H,I,K,L,M,N,對應著6個值A,B,C,D,E,F,生成一個多項式函數對這6個點上有對應的6個值,計算任意點S對應的值R。牛頓給出了間距為單位值和任意值的兩種情況。
牛頓插值公式 也叫做牛頓級數 ,由「牛頓前向差分方程式 」的項組成,得名於伊薩克·牛頓 爵士,最早發表為他在1687年出版的《自然哲學的數學原理 》中第三編「宇宙體系」的引理五[ 6] ,此前詹姆斯·格雷果里 於1670年和牛頓於1676年已經分別獨立得出這個成果。一般稱其為連續「泰勒展開」的離散對應。
對於x值間隔為非一致步長,牛頓計算均差 ,對x 值間隔為單位步長1或一致但非單位量的情況,計算差分 ,前向差分的定義為:
Δ
h
1
[
f
]
(
x
)
=
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
Δ
h
n
[
f
]
(
x
)
=
Δ
h
n
−
1
[
f
]
(
x
+
h
)
−
Δ
h
n
−
1
[
f
]
(
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{h}^{1}[f](x)&=f(x+h)-f(x)\\\Delta _{h}^{n}[f](x)&=\Delta _{h}^{n-1}[f](x+h)-\Delta _{h}^{n-1}[f](x)\\\end{aligned}}}
牛頓前向差分插值公式為:
f
(
x
)
=
f
(
a
)
+
x
−
a
h
(
Δ
h
1
[
f
]
(
a
)
+
x
−
a
−
h
2
h
(
Δ
h
2
[
f
]
(
a
)
+
⋯
)
)
=
f
(
a
)
+
∑
k
=
1
n
Δ
h
k
[
f
]
(
a
)
k
!
h
k
∏
i
=
0
k
−
1
(
(
x
−
a
)
−
i
h
)
{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=f(a)+{\frac {x-a}{h}}\left(\Delta _{h}^{1}[f](a)+{\frac {x-a-h}{2h}}\left(\Delta _{h}^{2}[f](a)+\cdots \right)\right)\\&=f(a)+\sum _{k=1}^{n}{\frac {\Delta _{h}^{k}[f](a)}{k!h^{k}}}\prod _{i=0}^{k-1}((x-a)-ih)\\\end{aligned}}}
這成立於任何多項式 函數和大多數但非全部解析函數 。
Kline, M. (1990) Mathematical Thought from Ancient to Modern Times . Oxford University Press. pp. 35-37
Taylor, Brook, Methodus Incrementorum Directa et Inversa [Direct and Reverse Methods of Incrementation] (London, 1715), pages 21-23 (Proposition VII, Theorem 3, Corollary 2). Translated into English in D. J. Struik, A Source Book in Mathematics 1200-1800 (Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, 1969), pages 329-332.