菲魯茲巴赫特猜想

在數論中，菲魯茲巴赫特猜想（Firoozbakht's conjecture 或 Firoozbakht conjecture^[1][2]）是數學上關於質數分布的一個猜想。該猜想以伊朗女數學家法麗德·菲魯茲巴赫特（英語：Farideh Firoozbakht）的名字命名，她於1982年提出此猜想。

質數間隙函數

該猜想聲稱，${\displaystyle p_{n}^{1/n}}$是一個嚴格遞減函數（其中${\displaystyle p_{n}}$是第${\displaystyle n}$個質數），也就是說

${\displaystyle {\sqrt[{n+1}]{p_{n+1}}}<{\sqrt[{n}]{p_{n}}}\qquad {\text{ for all }}n\geq 1.}$

或等價地

${\displaystyle p_{n+1}<p_{n}^{1+{\frac {1}{n}}}\qquad {\text{ for all }}n\geq 1,}$

相關內容可見A182134及A246782。

藉由使用最大質數間隙（maximal gap）表，法麗德·菲魯茲巴赫特確認她的猜想對大到${\displaystyle 4.444\times 10^{12}}$的數都成立。^[2]利用廣度更大的最大質數間隙表，目前已知該猜想對任何小於${\displaystyle 2^{64}\sim 1.84\times 10^{19}}$的質數都成立。^[3][4]

若此猜想成立，那麼質數間隙函數${\displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n}}$會滿足下列關係：^[5]

${\displaystyle g_{n}<(\log p_{n})^{2}-\log p_{n}\qquad {\text{ for all }}n>4.}$

此外，^[6]

${\displaystyle g_{n}<(\log p_{n})^{2}-\log p_{n}-1\qquad {\text{ for all }}n>9,}$

對此可見A111943。

該猜想是對質數間隙上界最強的猜想之一，甚至比克拉梅爾猜想和尚克斯猜想（Shanks' Conjecture）還強。^[4]從該猜想可推出強克拉梅爾猜想，而這與安德魯·格蘭維爾（英語：Andrew Granville）、平茨·亞諾什（匈牙利語：Pintz János）^[7][8][9]和赫爾穆特·邁爾（英語：Helmut Maier）等人的直觀猜測不一致。^[10][11]而這些人的直觀猜測認為，對任意的${\displaystyle \varepsilon >0}$下式對無限多的數成立：

${\displaystyle g_{n}>{\frac {2-\varepsilon }{e^{\gamma }}}(\log p_{n})^{2}\approx 1.1229(\log p_{n})^{2},}$

其中${\displaystyle \gamma }$是歐拉-馬斯刻若尼常數。

兩個相關的猜想（可見A182514的討論）如下：

比菲魯茲巴赫特猜想來得弱的猜想：

${\displaystyle \left({\frac {\log(p_{n+1})}{\log(p_{n})}}\right)^{n}<e,}$

比菲魯茲巴赫特猜想來得強的猜想：

${\displaystyle \left({\frac {p_{n+1}}{p_{n}}}\right)^{n}<n\log(n)\qquad {\text{ for all }}n>5,}$

參見

• 質數定理
• 安德里卡猜想
• 勒讓德猜想
• 奧珀曼猜想
• 克拉梅爾猜想

註解

1. Ribenboim, Paulo. The Little Book of Bigger Primes Second Edition. Springer-Verlag. 2004: 185. ISBN 9780387201696.
2. Rivera, Carlos. Conjecture 30. The Firoozbakht Conjecture. [22 August 2012].
3. Gaps between consecutive primes
4. Kourbatov, Alexei. Prime Gaps: Firoozbakht Conjecture.
5. Sinha, Nilotpal Kanti, On a new property of primes that leads to a generalization of Cramer's conjecture, 2010, arXiv:1010.1399  [math.NT].
6. Kourbatov, Alexei, Upper bounds for prime gaps related to Firoozbakht's conjecture, Journal of Integer Sequences, 2015, 18 (Article 15.11.2), MR 3436186, Zbl 1390.11105, arXiv:1506.03042 .
7. Granville, A., Harald Cramér and the distribution of prime numbers (PDF), Scandinavian Actuarial Journal, 1995, 1: 12–28, MR 1349149, Zbl 0833.01018, doi:10.1080/03461238.1995.10413946, （原始內容 (PDF)存檔於2016-05-02）.
8. Granville, Andrew, Unexpected irregularities in the distribution of prime numbers (PDF), Proceedings of the International Congress of Mathematicians, 1995, 1: 388–399, ISBN 978-3-0348-9897-3, Zbl 0843.11043, doi:10.1007/978-3-0348-9078-6_32.
9. Pintz, János, Cramér vs. Cramér: On Cramér's probabilistic model for primes, Funct. Approx. Comment. Math., 2007, 37 (2): 232–471, MR 2363833, S2CID 120236707, Zbl 1226.11096, doi:10.7169/facm/1229619660 
10. Leonard Adleman（英語：Leonard Adleman） and Kevin McCurley, "Open Problems in Number Theoretic Complexity, II" (PS), Algorithmic number theory (Ithaca, NY, 1994), Lecture Notes in Comput. Sci. 877: 291–322, Springer, Berlin, 1994. doi:10.1007/3-540-58691-1_70. ISBN 978-3-540-58691-3.
11. Maier, Helmut, Primes in short intervals, The Michigan Mathematical Journal, 1985, 32 (2): 221–225, ISSN 0026-2285, MR 0783576, Zbl 0569.10023, doi:10.1307/mmj/1029003189 

參考資料

• Ribenboim, Paulo. The Little Book of Bigger Primes Second Edition. Springer-Verlag. 2004. ISBN 0-387-20169-6.
• Riesel, Hans. Prime Numbers and Computer Methods for Factorization, Second Edition. Birkhauser. 1985. ISBN 3-7643-3291-3.