安德里卡猜想

安德里卡猜想（Andrica's conjecture）是關於質數間的間隙的猜想^[1]，以羅馬尼亞數學家多林·安德里卡（西班牙語：Dorin Andrica）的名字命名。

(a) ${\displaystyle A_{n}}$對最初100個質數的值

(b) ${\displaystyle A_{n}}$對最初200個質數的值

(c) ${\displaystyle A_{n}}$對最初500個質數的值

安德里卡猜想對最初(a)100個、(b)200個和(c)500個質數的圖像化證明。猜想的內容指稱，${\displaystyle A_{n}}$總小於一。

該猜想認為，對於任意的${\displaystyle n}$，下述不等式成立：

${\displaystyle {\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}<1}$

其中${\displaystyle p_{n}}$是第${\displaystyle n}$個質數。若${\displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n}}$是第${\displaystyle n}$個質數間隙，那麼安德里卡猜想可表述如下：

${\displaystyle g_{n}<2{\sqrt {p_{n}}}+1}$

實證證據

伊姆蘭·戈里（Imran Ghory）用了大質數間隙的資料，證實了該猜想對大到${\displaystyle 1.3002\times 10^{16}}$的${\displaystyle n}$都成立。^[2]利用最大質數間隙（maximal gap）和質數間隙不等式，可將此結果推廣到大到${\displaystyle 4\times 10^{18}}$的${\displaystyle n}$之上。

離散方城${\displaystyle A_{n}={\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}}$呈遞減，其中${\displaystyle A_{n}}$的「高水位」標記，出現在${\displaystyle n=1,2,4}$之處，其中${\displaystyle A_{4}\sim 0.670873...}$，而對於最初的${\displaystyle 10^{5}}$個質數而言，沒有比這更大的值。由於${\displaystyle A_{n}}$該方程對${\displaystyle n}$呈現非病態遞減之故，因此若要在${\displaystyle n}$不斷變大的情況下使得這個差變大，一個不斷增長的質數間隙是必要的。故該猜想非常可能是正確的，但目前還沒有證明。

推廣

廣義安德里卡猜想對最初100個質數的x的值，並標出x的最小可能解${\displaystyle x_{min}}$的推測位置。

安德里卡猜想的推廣會論及以下等式：

${\displaystyle p_{n+1}^{x}-p_{n}^{x}=1,}$

其中${\displaystyle p_{n}}$是第${\displaystyle n}$個質數，而x是任意正實數。

易證x的最大可能解出現於${\displaystyle n=1}$處，在此處，${\displaystyle x_{max}=1}$；而有猜想認為，x的最小可能解出現於${\displaystyle n=30}$處，在此處，${\displaystyle x_{min}\sim 0.567148...}$。（OEIS數列A038458）

該猜想也可以不等式表述，因此廣義安德里卡猜想可表述如下：

對於${\displaystyle x<x_{\min }}$而言，${\displaystyle p_{n+1}^{x}-p_{n}^{x}<1}$

參見

• 克拉梅爾猜想
• 勒讓德猜想
• 菲魯茲巴赫特猜想

參考和註解

1. Andrica, D. Note on a conjecture in prime number theory. Studia Univ. Babes–Bolyai Math. 1986, 31 (4): 44–48. ISSN 0252-1938. Zbl 0623.10030.
2. Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math, John Wiley & Sons, Inc., 2005, p. 13.

• Guy, Richard K. Unsolved problems in number theory 3rd. Springer-Verlag. 2004. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001.

外部連結

• Andrica's Conjecture at PlanetMath
• Generalized Andrica conjecture （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） at PlanetMath
• 埃里克·韋斯坦因. Andrica's Conjecture. MathWorld.