在數論中,質數定理(英語:Prime number theorem)描述質數在自然數中分布的漸進情況,給出隨著數字的增大,質數的密度逐漸降低的直覺的形式化描述。1896年法國數學家雅克·阿達馬和比利時數學家德·拉·瓦萊布桑先後獨立給出證明。證明用到了複分析,尤其是黎曼ζ函數。
此條目需要補充更多來源。 (2011年3月29日) |
質數的出現規律一直困惑著數學家。一個個地看,質數在正整數中的出現沒有什麼規律。可是母體地看,質數的個數竟然有規可循。對正實數x,定義π(x)為質數計數函數,亦即不大於x的質數個數。數學家找到了一些函數來估計π(x)的增長。以下是第一個這樣的估計。
其中 ln x 為 x 的自然對數。上式的意思是當 x 趨近無限,π(x)與x/ln x的比值趨近 1。但這不表示它們的數值隨著 x 增大而接近。
下面是對π(x)更好的估計:
- ,當x 趨近∞。
敘述
定義 π(x) 為質數計數函數,也就是小於等於x 的質數個數。例如 π(10)=4,因為共有 4 個質數小於等於 10,分別是 2、3、5、7。質數定理的敘述為:當 x 趨近無限,π(x) 和 的比值趨近 1。其數學式寫做
- 。
淺白的說,當 x 很大的時候,π(x) 差不多等於 。該定理被認為是質數的漸進分布定律,以漸進符號可簡化為
- 。
注意到,上式並不是說指隨著 x 趨近無限, 與 的差趨近於 0。而是隨著 x 趨近無限, 與 的相對誤差趨近於 0。
因此,質數定理也可以被想像成描述從正整數中抽到質數的機率:從不大於 n 的正整數中隨機選出一個數,它是質數的機率大約是。
質數定理有一個相關的定理,是關於第個質數 的下界,也就所謂的Rosser定理:
關於 .mw-parser-output .serif{font-family:Times,serif}π(x)、x / ln x 和 li(x) 的數值
下表比較了π(x),x/ln x和Li(x):
[1] | [2] | [3] | |||
---|---|---|---|---|---|
10 | 4 | −0.3 | 0.921 | 2.2 | 2.500 |
102 | 25 | 3.3 | 1.151 | 5.1 | 4.000 |
103 | 168 | 23 | 1.161 | 10 | 5.952 |
104 | 1,229 | 143 | 1.132 | 17 | 8.137 |
105 | 9,592 | 906 | 1.104 | 38 | 10.425 |
106 | 78,498 | 6,116 | 1.084 | 130 | 12.740 |
107 | 664,579 | 44,158 | 1.071 | 339 | 15.047 |
108 | 5,761,455 | 332,774 | 1.061 | 754 | 17.357 |
109 | 50,847,534 | 2,592,592 | 1.054 | 1,701 | 19.667 |
1010 | 455,052,511 | 20,758,029 | 1.048 | 3,104 | 21.975 |
1011 | 4,118,054,813 | 169,923,159 | 1.043 | 11,588 | 24.283 |
1012 | 37,607,912,018 | 1,416,705,193 | 1.039 | 38,263 | 26.590 |
1013 | 346,065,536,839 | 11,992,858,452 | 1.034 | 108,971 | 28.896 |
1014 | 3,204,941,750,802 | 102,838,308,636 | 1.033 | 314,890 | 31.202 |
1015 | 29,844,570,422,669 | 891,604,962,452 | 1.031 | 1,052,619 | 33.507 |
1016 | 279,238,341,033,925 | 7,804,289,844,393 | 1.029 | 3,214,632 | 35.812 |
1017 | 2,623,557,157,654,233 | 68,883,734,693,281 | 1.027 | 7,956,589 | 38.116 |
1018 | 24,739,954,287,740,860 | 612,483,070,893,536 | 1.025 | 21,949,555 | 40.420 |
1019 | 234,057,667,276,344,607 | 5,481,624,169,369,960 | 1.024 | 99,877,775 | 42.725 |
1020 | 2,220,819,602,560,918,840 | 49,347,193,044,659,701 | 1.023 | 222,744,644 | 45.028 |
1021 | 21,127,269,486,018,731,928 | 446,579,871,578,168,707 | 1.022 | 597,394,254 | 47.332 |
1022 | 201,467,286,689,315,906,290 | 4,060,704,006,019,620,994 | 1.021 | 1,932,355,208 | 49.636 |
1023 | 1,925,320,391,606,803,968,923 | 37,083,513,766,578,631,309 | 1.020 | 7,250,186,216 | 51.939 |
1024 | 18,435,599,767,349,200,867,866 | 339,996,354,713,708,049,069 | 1.019 | 17,146,907,278 | 54.243 |
1025 | 176,846,309,399,143,769,411,680 | 3,128,516,637,843,038,351,228 | 1.018 | 55,160,980,939 | 56.546 |
OEIS | A006880 | A057835 | A057752 |
歷史
1797年至1798年間,法國數學家勒讓德根據上述的質數表猜測,大約等於 ,其中、是未知的函數。勒讓德於1808年出版一本關於數論的書的第二版,書中他給出更精確的猜測:,。根據高斯自己在1849年的回憶,他在15歲或16歲(1792或1793年)的時候就已經考慮過類似的問題了[4]。1832年,狄利克雷經過跟高斯的交流之後,給出了一個新的逼近函數 ,(事實上他是用一個有點不一樣的級數表達式)。勒讓德和狄利克雷的式子皆等價於現在的版本,但如果考慮逼近式與 的差,而不是比值的話,狄利克雷的式子是準確許多的。
俄國數學家柴比雪夫參考了歐拉在1731年的工作,引進了定義在實數軸上黎曼ζ函數,企圖證明質數分布的漸進式,並將他所得到的結果寫成兩篇論文,分別在1848和1850年發表。柴比雪夫可以證明,如果存在且有限,則它一定是1[5]。此外,在沒有假設任何結果之下,他也證明當 x 足夠大,會界在兩個很靠近 1 的數字之間[6]。雖然柴比雪夫的論文沒辦法證明質數定理,但它對 已經可以推論出伯特蘭-柴比雪夫定理:對任何大於的正整數,存在一個質數介於和之間。
1859年,黎曼提交了一篇關於質數分布的非常重要的報告《論小於給定數值的質數個數》,這也是黎曼在這個領域的唯一一篇文章。黎曼在報告中使用了創新的想法,將函數的定義解析延拓到整個複數平面,並且將質數的分布與函數的零點緊密的聯繫起來。因此,這篇報告是歷史上首次用複分析的方法研究實函數 。1896年法國數學家雅克·阿達馬和比利時數學家夏爾-讓·德拉瓦萊·普桑先後獨立給出證明。兩個證明延著黎曼的思路繼續拓展,且都使用複分析的工具,其中的關鍵步驟是證明如果複數可以寫成 的形式,且 ,則 [7]。
進入20世紀之後,阿達馬和普桑證明的定理經常被稱作質數定理,定理的其他不同證明也陸陸續續被發現,這之中包括1949年阿特勒·塞爾伯格和艾狄胥·帕爾發現的「初等證明」。原本的證明是既冗長,又複雜,於是有很多後面發現的證明使用了陶伯定理讓證明變得比較簡短,但卻變得讓人比較難以消化。1980年,美國數學家唐納德·J·紐曼發現了一個簡潔的證明[8][9],這可能是目前已知最簡單的證明。不過,證明中使用了柯西積分公式,因此一般不被視為是為初等的證明。
因為黎曼ζ函數與關係密切,關於黎曼函數的黎曼猜想對數論很重要。一旦猜想獲證,便能大大改進質數定理誤差的估計。1901年瑞典數學家海里格·馮·科赫證明出,假設黎曼猜想成立,以上關係式誤差項的估計可改進為
至於大O項的常數則還未知道。[來源請求]
初等證明
質數定理有些初等證明只需用數論的方法。第一個初等證明於1949年由匈牙利數學家保羅·艾狄胥和挪威數學家阿特利·西爾伯格合作得出。
在此之前一些數學家不相信能找出不需藉助艱深數學的初等證明。像英國數學家哈代便說過質數定理必須以複分析證明,顯出定理結果的「深度」。他認為只用到實數不足以解決某些問題,必須引進複數來解決。