漸近分析

漸近分析（asymptotic analysis、asymptotics），在數學分析中是一種描述函數在極限附近的行為的方法。有多個科學領域應用此方法。例子如下：

• 在計算機科學中，算法分析考慮給定算法在輸入非常大的數據集時候的性能。
• 當實體系統的規模變得非常大的時候，分析它的行為。

最簡單的例子如下：考慮一個函數${\displaystyle f(n)}$，我們需要了解當${\displaystyle n}$變得非常大的時候${\displaystyle f(n)}$的性質。

令${\displaystyle f(n)=n^{2}+3n}$，在${\displaystyle n}$特別大的時候，第二項${\displaystyle 3n}$比起第一項${\displaystyle n^{2}}$要小很多。

於是對於這個函數，有如下斷言：「${\displaystyle f(n)}$在${\displaystyle n\rightarrow \infty }$的情況下與${\displaystyle n^{2}}$漸近等價」，記作${\displaystyle f(n)\sim n^{2}}$。

漸近等價

定義：給定關於自然數${\displaystyle n}$的複函數${\displaystyle f}$和${\displaystyle g}$，

命題${\displaystyle f(n)\sim g(n){\mbox{ }}(n\rightarrow \infty )}$表明（使用小o符號）

${\displaystyle f(n)=g(n)+o(g(n)){\mbox{ }}(n\rightarrow \infty )}$

或（等價記法）

${\displaystyle f(n)=(1+o(1))g(n){\mbox{ }}(n\rightarrow \infty )}$。

這說明，對所有正常數${\displaystyle \epsilon }$，存在常量${\displaystyle N}$，使得對於所有的${\displaystyle n\geqslant N}$有

${\displaystyle |f(n)-g(n)|\leqslant \epsilon |g(n)|}$。

當${\displaystyle g(n)}$不是0或者趨於無窮大時，該命題可等價記作

${\displaystyle \lim _{n{\rightarrow }\infty }{\frac {f(n)}{g(n)}}=1}$。

漸近等價是一個關於${\displaystyle n}$的函數的集合上的等價關係。非正式地，函數${\displaystyle f}$的等價類包含所有在極限情況下近似等於${\displaystyle f}$的函數${\displaystyle g}$。

漸近展開

主條目：漸近展開

函數${\displaystyle f(x)}$的漸近展開是它的一種級數展開。這種展開的部分和未必收斂，但每一個部分和都表示${\displaystyle f(x)}$的一個漸近表示式。例子：斯特靈公式。

相關條目

• 漸近運算複雜度（英語：Asymptotic computational complexity）
• 漸近理論（英語：Asymptotic theory）

參考注釋

外部連結

• J. P. Boyd, "The Devil's Invention: asymptotic, superasymptotic and hyperasymptotic series", Acta Applicandae Mathematicae, 56: 1-98 (1999). Preprint （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）.