約翰·馮諾伊曼

約翰·馮諾伊曼（John von Neumann，德語發音：[joːn.fɔn.ˈnɔɪ̯man]，1903年12月28日—1957年2月8日），原名諾伊曼·亞諾什·拉約什（Neumann János Lajos，匈牙利語發音：[ˈnɒjmɒn ˈjaːnoʃ ˈlɒjoʃ]），出生於匈牙利的美國籍猶太人數學家，理論電腦科學與賽局理論的奠基者，在泛函分析、遍歷理論、幾何學、拓撲學和數值分析等眾多數學領域及電腦科學、量子力學和經濟學中都有重大貢獻。

約翰·馮諾伊曼 John von Neumann
20世紀40年代的馮諾伊曼
出生	(1903-12-28)1903年12月28日  奧匈帝國布達佩斯
逝世	1957年2月8日(1957歲—02—08)（53歲）  美國華盛頓特區
居住地	美國
國籍	匈牙利  美國
母校	羅蘭大學 蘇黎世聯邦理工學院
知名於	阿貝爾-馮諾伊曼代數（英語：Abelian von Neumann algebra） Affiliated operator 可均群 代數邏輯單位元素 Artificial viscosity 正則公理 大小限制公理 逆向歸納（英語：Backward induction） 爆炸波（英語：Blast wave） 有界集 (拓撲向量空間)（英語：Bounded set (topological vector space)） 類 (集合論) 去相干理論 電腦病毒 Commutation theorem 連續幾何（英語：Continuous geometry） 直積分（英語：Direct integral） Doubly stochastic matrix Duality Theorem 密度矩陣 杜賓-瓦特森統計量 博弈論 Hyperfinite type II factor 平均遍歷定理 EDVAC explosive lenses 格理論 Lifting theory 內模型 Interior point method（英語：内点法） 希爾伯特第五問題 Mutual assured destruction 歸併排序 平方取中法 極小化定理 蒙地卡羅方法 正則形式博弈 無點拓撲（英語：Pointless topology） 極化恆等式 偽隨機性 PRNG Quantum mutual information 輻射聚爆（英語：Radiation implosion） Rank ring 算子理論 Operation Greenhouse Self-replication Software whitening Standard probability space Stochastic computing Subfactor 馮諾伊曼代數 馮諾伊曼架構 Von Neumann bicommutant theorem Von Neumann cardinal assignment 馮諾伊曼細胞自動機（英語：Von Neumann cellular automaton） von Neumann constant (two of them) 馮諾伊曼詮釋 馮諾伊曼測量方案 馮諾伊曼基數（英語：Von Neumann Ordinals） Von Neumann universal constructor 馮諾伊曼熵 馮諾伊曼方程式 馮諾伊曼鄰域（英語：Von Neumann neighborhood） 馮諾伊曼方程式悖論（英語：Von Neumann paradox） 馮諾伊曼常規環（英語：Von Neumann regular ring） Von Neumann–Bernays–Gödel set theory 馮諾伊曼譜論 馮諾伊曼宇宙 馮諾伊曼猜想（英語：Von Neumann conjecture） 馮諾伊曼不等式（英語：Von Neumann's inequality） 斯通-馮諾伊曼定理（英語：Stone–von Neumann theorem） 馮諾伊曼跡不等式（英語：Von Neumann's trace inequality） 馮諾伊曼穩定性分析 量子統計力學 Von Neumann extractor 極強拓撲（英語：Ultrastrong topology） 馮諾伊曼-摩根斯騰有用性定理（英語：Von Neumann–Morgenstern utility theorem） ZND detonation model
獎項	博修紀念獎 (1938年) 恩里科·費米獎 (1956年)
科學生涯
研究領域	數學，量子力學，電腦學，經濟學
機構	柏林大學 普林斯頓大學 普林斯頓高等研究院 洛斯阿拉莫斯國家實驗室
博士導師	費耶爾·利波特
博士生	唐納·B·吉利斯（英語：Donald B. Gillies） 以色列·霍爾珀林（英語：Israel Halperin）
其他著名學生	保羅·哈爾莫斯 克里福·休·竇克爾（英語：Clifford Hugh Dowker） 伯努瓦·曼德勃羅[1]

馮諾伊曼從小就以過人的智力與記憶力而聞名。馮諾伊曼一生中發表了大約150篇論文，其中有60篇純數學論文，20篇物理學以及60篇應用數學論文。他最後的作品是一個在醫院未完成的手稿，後來以書名《電腦與人腦》（The Computer and the Brain）發布，表現了他生命最後時光的興趣方向。他先後任職於美國普林斯頓大學、美國普林斯頓高等研究院等機構。^[2][3]

「諾依曼」和「諾伊曼」兩種同音不同字的德音漢譯寫法都較為常見。另外也有資料誤以英音譯作「馮紐曼」。^[4]

生平

馮諾伊曼出生在布達佩斯一個富裕的猶太家庭，是諾依曼·米克薩（Neumann Miksa）和坎恩·瑪吉特（Kann Margit）3個孩子中最大的一個。他小時候外號「揚奇」（Jancsi，即János的暱稱），當時已經顯出驚人的記憶力。他6歲時已能用古希臘語同父親閒談，還可以心算8位數除法，8歲時自學微積分學。年少時的他不但對數學很有興趣，亦喜歡閱讀歷史和社會方面的書籍，讀過的書籍和論文能很快一句不漏地將內容複述出來，而且多年以後仍是如此。1913年，他的父親馬克斯·諾伊曼被授予世襲貴族頭銜，這樣在德國他的後代可以以「馮諾伊曼」為姓^[5]，馮諾伊曼晉身貴族。約翰加上頭銜後的全名成為「Margittai Neumann János」。後來約翰把名字改成德語名「Johann von Neumann」。其名「John」（約翰）意為「主是仁慈的」，姓氏中的「von」是德語介詞，而「Neumann」意為「neu」（新）+「Mann」（人），即「嶄新之人」。

1926年，馮諾伊曼以22歲的年齡獲得了布達佩斯大學數學博士學位，相繼在柏林洪堡大學和漢堡大學擔任數學講師。

1930年，馮諾伊曼接受了普林斯頓大學客座教授的職位。初到美國時，他在紐約對當地居民表演過默記電話簿的驚人記憶力。1931年，馮諾伊曼成為普林斯頓大學終身教授。1933年轉入普林斯頓高等研究院，與愛因斯坦等人成為該院最初的四位教授之一，不須上課。這一年，他部分解決了希爾伯特第五問題，證明了局部歐幾里得緊群是李群。1937年成為美國公民，1938年獲博修獎。

1954年，馮諾伊曼任美國原子能委員會委員。1954年夏天，右肩受傷，手術時發現患有骨癌，治療期間，依然參加每週三次的原子能委員會會議，甚至美國國防部長，陸、海、空三軍參謀長聚集在病房開會。晚年，有學生請教他做事的方法，他說：「簡單（simple）。」

1957年2月8日，馮諾伊曼因癌症在華盛頓瓦爾特·立德軍醫中心（英語：Walter Reed Army Medical Center）去世，享年53歲。他死後葬於新澤西州默瑟縣的普林斯頓公墓 (Princeton Cemetery)。

學術成就

數學

集合論

遍歷論

遍歷論主要涉及動態系統和不變測度（英語：invariant measure）。1932年，馮諾伊曼發表了一系列有關遍歷論的論文，為遍歷論的理論基礎做出了貢獻。^[6]保羅·哈爾莫斯在1932年的一篇遍歷論文章中指出「假使馮諾伊曼在其它領域沒有成就，光這些也足以讓他在數學史上留下不朽之名」("if von Neumann had never done anything else, they would have been sufficient to guarantee him mathematical immortality")。^[7]馮諾伊曼當時已完成了涉及算子理論的著名論文，並將其成果用作證明馮諾伊曼平均遍歷定理的工具。^[7]

算子理論

主條目：馮諾伊曼代數

馮諾伊曼在「馮諾伊曼代數」中提出了「算子環」的概念。馮諾伊曼代數是一種定義於希爾伯特空間的有界算子的星代數（英語：*-algebra），近似於弱算子拓撲，且包含有恆等算子。^[8]以他命名的馮諾伊曼二重交換元定理(von Neumann bicommutant theorem)表明弱算子拓撲中閉包的分析學定義會與其二重交換元（英語：bicommutant）所成集合的純代數學定義等價。^[9]自1936年起，馮諾伊曼開始研究馮諾伊曼代數中的因子分類，期間還與法蘭西斯·穆瑞(Francis Joseph Murray)有過部分合作。1936年至1940年，他發表了6篇有代表性的論文，「位列20世紀分析學傑作名錄」("rank among the masterpieces of analysis in the twentieth century")。^[10]1949年，馮諾伊曼又提出了直積分（英語：direct integral）的概念。^[11]

測度論

測度論的目的是為各種不規則物體的長度、面積、體積等概念建立嚴格化的理論基礎，並將其推廣到比歐幾里德空間更抽象的空間中。20世紀初，有關測度論的研究發展迅速，但各種特定的測度理論都存在一些不夠盡善盡美的地方。從若爾當測度到勒貝格測度，新出現的測度論一個比一個的適用範圍更廣，以往理論中被認為是不可測的集合變得越來越少。但是一直沒有找出一個測度理論能保證任何集合在其測度標準下都可測。在測度論中，n維歐幾里德空間Rⁿ上的「測度問題」（problem of measure）可粗率地表述為「是否存在一個可從Rⁿ的任意子集映射到實數集的正定（即取值非負）、規範（normalized）、不變與加性（additive）的集合映射？」^[7]費利克斯·郝斯多夫與斯特凡·巴拿赫的工作成果暗示此測度問題當n = 1或n = 2時是存在滿足要求的方案的，但對於所有其它情形則不存在可取方案（因為巴拿赫-塔斯基悖論的存在）。馮諾伊曼的工作則指出「問題本質在於相關的群的性質」^[7]：判斷此種測度的存在性可通過考察相關空間中轉換群的性質而得出。空間維度數不超過2時此問題的可解性和維度數更高時此問題的不可解性，都來源於歐幾里德群僅在空間維度數不超過2時才是可解群這一性質。「由此，馮諾伊曼說，引起不同情形下之差異的根源是群的改變，而不是空間的改變。」^[7]

幾何學

馮諾伊曼利用他以前在測度論方面的工作，對拓撲群的理論做出了一些貢獻。從一篇關於群上的幾乎週期函數的論文開始，馮諾伊曼將波耳的概週期函數理論擴展到任意的群。 ^[12] 他繼續這項工作，與博赫納一起發表了另一篇論文，該論文改進了幾乎週期函數的理論，將函數包含在向量空間的元素中作為值而不是數字。^[13] 1938年，他因與有關的數學分析工作而被授予博謝紀念獎。^[14][15]

在1933年的一篇論文中，他將新發現的哈爾測度用於解決在緊群情況下的希爾伯特第五問題。^[16] 這背後的基本想法是在幾年前發現的，當時馮諾伊曼發表了一篇關於線性映射群的分析特性的論文，發現一般矩陣群的封閉子群是李群。 ^[17] 這後來被埃利·嘉當以閉子群定理的形式擴展到任意李群。^[18][19]

函數分析

運算符代數

格子理論

數理統計

其他數學貢獻

物理

量子力學

馮諾伊曼認為，量子理論是普遍有效的，不僅適用於微觀粒子世界，也適用於現實的測量儀器。1932年約翰·馮諾伊曼將量子力學的最重要的基礎嚴謹地公式化。按照馮諾伊曼的一個物理系統有三個主要部分：其量子態、其可觀察量和其動力學（即其發展趨勢），此外物理對稱性(比鏡像對稱的含義更廣)也是一個非常重要的特性。馮諾伊曼的量子力學教科書《量子力學的數學基礎》（thematische Grundlagen der Quantenmechanik）首次以數理分析清晰地提出了波函數的兩類演化過程：

• 瞬時的、非連續的波函數坍縮過程
• 波函數的連續演化過程，遵循薛丁格方程式

流體動力學

其他物理貢獻

計算機

參見：存儲程序型電腦

1945年6月，馮諾伊曼與戈德斯坦、勃克斯等人，聯名發表了一篇長達101頁紙的報告，即計算機史上著名的「101頁報告」，是現代電腦科學發展里程碑式的文獻。明確規定用二進制替代十進制運算，並將計算機分成5大組件，這一卓越的思想為電子電腦的邏輯結構設計奠定了基礎，已成為電腦設計的基本原則。1951年，EDVAC計算機宣告完成。

元胞自動機、DNA 和通用構造函數

科學計算與數值分析

天氣系統和全球暖化

技術奇異點

經濟學

在經濟學領域，1944年馮諾伊曼與奧斯卡·摩根斯騰合著的名作《博弈論與經濟行為》出版，標誌著現代系統博弈理論的初步形成。他被稱為「博弈論之父」。博弈論被認為是20世紀經濟學最偉大的成果之一。

博弈論

數理經濟學

線性規劃

軍事工作

曼哈頓計劃

二戰後

原子能委員會

相互確保毀滅

曾任的軍事顧問職

作品與著作

• John von Neumann. On the introduction of transfinite numbers [關於超限數的引入]. 1923 （英語）.
• John von Neumann. An axiomatization of set theory [集合論的一種公理化]. 1925 （英語）.
• John von Neumann. Mathematical Foundations of Quantum Mechanics [量子力學的數學基礎]. Beyer, R. T. (翻譯). Princeton University Press. 1996 [1932]. ISBN 978-0-691-02893-4 （英語）.
• John von Neumann; Morgenstern, O. Theory of Games and Economic Behavior [博弈論與經濟行為] (pdf). Princeton University Press. 2007 [1944]. ISBN 978-0-691-13061-3 （英語）.
• John von Neumann. First Draft of a Report on the EDVAC [就EDVAC的報告的首份手稿] (PDF). 1945. （原始內容 (pdf)存檔於2011年5月3日） （英語）.
• John von Neumann. Taub, A. H. , 編. Collected Works of John von Neumann [馮諾伊曼作品選集]. Pergamon Press. 1963. ISBN 978-0-08-009566-0 （英語）.
• John von Neumann. Burks, A. W.（英語：Arthur Burks） , 編. Theory of Self-Reproducing Automata [自複製自動機理論]. University of Illinois Press. 1966. ISBN 978-0-598-37798-2 （英語）.
• John von Neumann. Continuous geometry [連續幾何]. Princeton Landmarks in Mathematics. 普林斯頓大學出版社. 1998 [1960]. ISBN 978-0-691-05893-1. MR 0120174 （英語）.
• John von Neumann. Israel Halperin , 編. Continuous geometries with a transition probability [連續幾何與轉移機率]. Memoirs of the American Mathematical Society. 1981, 34 (252) [1937]. ISBN 9780821822524. MR 0634656 （英語）.
• John von Neumann. The Computer and the Brain [電腦與人腦（英語：The Computer and the Brain）]. 1958 （英語）. (去世後出版)

認知與記憶能力

馮諾伊曼有著過目不忘的記憶。赫爾曼·古達斯汀(Herman Goldstine)寫下：「他的一個出眾能力是他絕對精準的回憶。就我所知，馮諾伊曼能夠僅僅讀過一次某段文字，接著一字不差地背誦出來，甚至在多年之後也可以流暢做到。他還可以將原本的語言翻譯成英語，速度絲毫不減。有一次我想測試他的能力於是問他雙城記是如何開始的。接著他沒有任何停頓，他立即背誦起第一章，一直到十分鐘後我要他停止才停止。」^{[來源請求]}

若爾福·蘭茲霍夫(Rolf Landshoff)曾回憶，有一次馮諾伊曼、恩里科·費米和理查·費曼都在泰勒的辦公室一起討論和計算問題。他們每隔幾分鐘就會暫停討論並開始一輪計算。費米使用計算尺，費曼使用手搖式電腦，而馮諾伊曼只憑心算。馮諾伊曼幾乎能在相差不大的時間內得到與其他二人相似的計算結果。^[20]

私人生活

馮諾伊曼有著廣泛的文化興趣。6歲時，他能流利地使用拉丁文和古希臘文，他對古代歷史抱著終身的熱情。

馮諾伊曼有不善於處理人際關係的一面，後來有所改變。^[21]他不會與情緒偏頗或政治觀點自負的人爭辯，他覺得爭論並不能說服對方改變觀點，即使是規勸也容易引起對方厭煩。^[22]他內心是個悲觀主義者，但是他脾氣好，平時愛對人笑，不喜歡與別人過不去，不愛結交愁眉苦臉的人。^[22]

馮諾伊曼在美國交情最深厚的朋友是斯塔尼斯拉夫·烏拉姆。烏拉姆的朋友技安卡羅羅塔寫道「他們會花好幾個小時談笑聊八卦，交換猶太笑話，時常在其中穿插數學話題。」除了烏拉姆以外，馮諾伊曼也與恩里科·費米和理查·費曼等有幽默感的學者關係很好。^[23]由於政治見解不合，他和想法相對單純的愛因斯坦逐漸疏遠。^[24]

馮諾伊曼經常只睡很少的覺，但是仍然能夠在剩餘的約20個小時內保持精力。^[25]

婚姻

逸聞

• 馮諾伊曼在女性不多的場合，會流露出無節操的一面，愛講黃色笑話融洽數學研討會氣氛。^[26]記性好和語言天賦高的他，儲備的色情段子數量也相當豐富^[26]。愛德華·泰勒說馮諾伊曼是自己唯一見過的一個能隨時切換3種不同語言講黃色笑話的人。^[26]馮諾伊曼早在讀蘇黎世聯邦工業大學期間，就會在同學聚會時講述下流笑話，其表現力甚至與他的數學才能相當。^[27]

• 他的父親馬克思·馮諾伊曼身材不好，為阻止身體發福而積極鍛鍊身體，並帶領全家人向一位師傅學擊劍。這位擊劍師傅自稱為教授。小約翰尼沒有學會擊劍，而且從那時起就對「教授」稱呼開始反感，以至於他長大成名之後也不喜歡別人叫他教授。約翰尼成年後也為身材變胖而鬱悶，但與父親不同，他即使變胖也仍然不愛運動。^[28]

• 馮諾伊曼小時候學鋼琴也以失敗收場，一直停留在練習基本指法的階段而沒有長進。這令他的家人們十分失望。更不好的是，他從那時起養成了在彈琴的時候也要時不時分心看一眼邊上放著的數學或歷史書籍的習慣。多年以後，他在開車的時候也喜歡分神去想別的事情，導致他成為經常危險駕駛的一代馬路殺手。^[28]

• 由於做事經常三心二意，馮諾伊曼在蘇黎世聯邦工業大學化工系讀書時經常打碎玻璃器皿，被罰了不少錢，甚至創下賠償記錄。^[27]

• 1926年，沃納·海森堡在哥廷根開講座，宣傳他和埃爾溫·薛丁格在量子論中的分歧。年老的希爾伯特向助手諾德海姆(Lothar Nordheim)打聽海森堡的講座內容是什麼，諾德海姆拿來了一篇論文，但是希爾伯特沒有看懂。馮諾伊曼得知此事後，親自用了幾天時間把論文改寫成了希爾伯特喜聞樂見的公理化的組織形式，還特意用上了希爾伯特本人的研究成果中常用的名詞和概念，令希爾伯特樂開了花。^[29]

名言

• 「若人們不相信數學簡單，只因他們未意識到生命之複雜。」^[30]

• 「當一門數學學科遠離它的經驗來源，或者甚至它只是由來自『實際』的思想間接激發產生的第二代和第三代，這門學科就危機四伏了。它會越來越走向純美學化，越來越純粹地為藝術而藝術......現在有一種巨大的危險：這門學科將沿著那條阻力最小的路線發展......將會分崩離析，成為許多無足輕重的分支......無論如何，我覺得唯一的補救辦法就是恢復到青春回到起源，重新注入多少是直接經驗的思想。」

傳記

• Norman Macrae. John von Neumann: The Scientific Genius Who Pioneered the Modern Computer, Game Theory, Nuclear Deterrence, and Much More [約翰·馮諾伊曼：開拓現代電腦、博弈論、核武器等等諸多事物的科學天才] 1. American Mathematical Soc. 1999 [1992]. ISBN 9780821826768 （英語）.
  • 漢譯版：Norman Macrae. John von Neumann: The Scientific Genius Who Pioneered the Modern Computer, Game Theory, Nuclear Deterrence, and Much More [天才的拓荒者：馮·諾伊曼傳]. 哲人石叢書. 范秀華 (翻譯), 朱朝暉 (翻譯), 劉麗曼 (責任編輯) 1. 中國上海冠生園路393號: 上海科技教育出版社. 2008 [1992]. ISBN 978-7-5428-4773-7 （中文（中國大陸））.
• Nicholas A. Vonneuman. John Von Neumann As Seen by His Brother [弟弟眼中的約翰·馮諾伊曼] 1. 賓夕法尼亞州Meadowbrook地區: 私人印刷. 1988. ISBN 9780096198102 （英語）.

評價

榮譽

1994年被授予美國國家基礎科學獎。^{[來源請求]}

有2個獎項以他為名：

• 運籌研究與管理學機構(Institute for Operations Research and the Management Sciences, INFORMS)的馮·諾伊曼理論獎（英語：John von Neumann Theory Prize） (授予在作業研究與管理學方面有基礎性和持續性貢獻的人)
• IEEE的IEEE馮·諾伊曼獎

參考資料

文內引用

1. Dempster, M. A. H. Benoit B. Mandelbrot (1924–2010): a father of Quantitative Finance [本華·曼德博(1924–2010)：量化金融學之父] (PDF). Quantitative Finance. February 2011, 11 (2): 155–156 [2016-01-07]. （原始內容存檔 (PDF)於2021-03-08） （英語）.
2. John von Neumann: Life, Work, and Legacy. Institute for Advanced Study. [2019-10-17]. （原始內容存檔於2016-11-22） （英語）.
3. John von Neumann. Atomic Heritage Foundation. [2019-10-17]. （原始內容存檔於2021-04-02） （英語）.
4. 囚犯的兩難：賽局理論、數學天才馮紐曼，以及原子彈的謎題. 左岸文化. [2019-06-12]. （原始內容存檔於2021-04-02） （中文）.
5. 見Cannell 2001，第56頁 harvnb模板錯誤: 無指向目標: CITEREFCannell2001 (幫助) (位於第2章「布達佩斯優越的學前時光」)。
6. Eberhard Hopf. Statistik der geodätischen Linien in Mannigfaltigkeiten negativer Krümmung [負曲率流形中的測地線統計]. Leipzig Ber. Verhandl. Sächs. Akad. Wiss.. 1939, 91: 261–304 （德語）.
   列舉2篇著名論文：John von Neumann. Proof of the Quasi-ergodic Hypothesis [擬遍歷性假設的證明]. Proc Natl Acad Sci USA. 1932, 18 (1): 70–82. Bibcode:1932PNAS...18...70N. PMC 1076162 . PMID 16577432. doi:10.1073/pnas.18.1.70 （英語）. John von Neumann. Physical Applications of the Ergodic Hypothesis [遍歷猜想的物理學應用]. Proc Natl Acad Sci USA. 1932, 18 (3): 263–266. Bibcode:1932PNAS...18..263N. JSTOR 86260. PMC 1076204 . PMID 16587674. doi:10.1073/pnas.18.3.263 （英語）.
7. Halmos, Paul R. Von Neumann on measure and ergodic theory [馮諾伊曼在測度論與遍歷論的工作] (pdf). Bull. Amer. Math. Soc.（英語：Bulletin of the American Mathematical Society）. 1958, 64 (3, Part 2): 86–94 [2018-05-31]. doi:10.1090/S0002-9904-1958-10203-7. （原始內容存檔 (PDF)於2021-04-19） （英語）.
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15. Bochner 1958，第440頁. sfn模板錯誤: 無指向目標: CITEREFBochner1958 (幫助)
16. von Neumann, J. Die Einfuhrung Analytischer Parameter in Topologischen Gruppen. 數學年刊. 2. 1933, 34 (1): 170–190. JSTOR 1968347. doi:10.2307/1968347 （German）. 引文格式1維護：未識別語文類型 (link)
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18. Bochner 1958，第441頁. sfn模板錯誤: 無指向目標: CITEREFBochner1958 (幫助)
19. ^ 引用錯誤：沒有為名為Dieudonne21的參考文獻提供內容
20. 羅伯特·容克. Heller als tausend Sonnen [比一千個太陽還亮]. 世界原子彈氫彈秘史叢書. 鍾毅 (翻譯), 何緯 (翻譯). 中國北京: 中國原子能出版社. 1991: 201. ISBN 7-5022-0479-2 （中文（中國大陸））. 有一個從柏林來到美國的、在戰爭時期參加過特勒小組的若爾福·蘭茲霍夫(Rolf Landshoff)對於這種『比賽』回憶說：『有一次費米、馮諾伊曼和費恩曼都在特勒辦公室里。我也在座，因為當時要我在那裡進行一個擬定好了的計算。當時產生了又推翻了很多不同的想法。每隔幾分鐘費米和特勒就得進行一次快速的數字驗算。這時，科學家們就都開始行動起來，費恩曼用手搖電腦，費米用他經常隨身攜帶的小計算尺，而馮諾伊曼是心算。心算一般比較快，並且使人驚奇的是三個答案很接近。』
21. 見Cannell 2001，第142-143頁 harvnb模板錯誤: 無指向目標: CITEREFCannell2001 (幫助) (位於第7章「動盪年代，結婚，移民」)。
22. 見Cannell 2001，第144頁 harvnb模板錯誤: 無指向目標: CITEREFCannell2001 (幫助) (位於第7章「動盪年代，結婚，移民」)。
23. 見Cannell 2001，第95頁 harvnb模板錯誤: 無指向目標: CITEREFCannell2001 (幫助) (位於第5章「從嚴謹到放鬆」)。
24. 見Cannell 2001，第96頁 harvnb模板錯誤: 無指向目標: CITEREFCannell2001 (幫助) (位於第5章「從嚴謹到放鬆」)。
25. 見Cannell 2001，第140頁 harvnb模板錯誤: 無指向目標: CITEREFCannell2001 (幫助) (位於第7章「動盪年代，結婚，移民」)。
26. 見Cannell 2001，第142-143頁 harvnb模板錯誤: 無指向目標: CITEREFCannell2001 (幫助) (位於第7章「動盪年代，結婚，移民」)。
27. 見Cannell 2001，第93頁 harvnb模板錯誤: 無指向目標: CITEREFCannell2001 (幫助) (位於第4章「初露鋒芒的本科生」)。
28. 見Cannell 2001，第46頁 harvnb模板錯誤: 無指向目標: CITEREFCannell2001 (幫助) (位於第2章「布達佩斯優越的學前時光」)。
29. 見Cannell 2001，第123頁 harvnb模板錯誤: 無指向目標: CITEREFCannell2001 (幫助) (位於第6章「量子躍遷」)。
30. Source of John von Neumann quote [馮諾伊曼語錄來源]. 艾奧瓦大學. [2012-04-26]. （原始內容存檔於2011-01-02） （英語）.

補充來源

• Eugene Wigner; Andrew Szanton. The Recollections of Eugene P. Wigner as told to Andrew Szanton [亂世學人——維格納自傳]. 哲人石叢書. 關洪 (翻譯), 匡志強 (責任編輯) 1. 中國上海冠生園路393號: 上海科學技術出版社. 2001: 6–8 [1992]. ISBN 7-5428-2681-6 （中文（中國大陸））.

外部連接

• 約翰·J·奧康納; 埃德蒙·F·羅伯遜, Von_Neumann, MacTutor數學史檔案 （英語）
• von Neumann's profile （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） at Google Scholar
• Oral history interview with Alice R. Burks and Arthur W. Burks （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, Charles Babbage Institute, University of Minnesota, Minneapolis. Alice Burks and Arthur Burks describe ENIAC, EDVAC, and IAS computers, and John von Neumann's contribution to the development of computers.
• Oral history interview with Eugene P. Wigner （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, Charles Babbage Institute, University of Minnesota, Minneapolis.
• Oral history interview with Nicholas C. Metropolis （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, Charles Babbage Institute, University of Minnesota.
• Von Neumann vs. Dirac （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） – from Stanford Encyclopedia of Philosophy