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令為巴拿赫空間X上的線性算子序列。考慮這樣的陳述:收斂到X上某算子T,這可能有歧義:
除上述拓撲外,上還可定義許多拓撲,大多最初只是為希爾伯特空間時才被定義,儘管很多時候都有適當的推廣。 下列拓撲都是局部凸的,即由一族半範數定義。
在數學分析中,若拓撲有很多開集,則稱強拓撲;若有較少的開集,稱為弱拓撲。因此,相應的收斂模式分別是強收斂和弱收斂(拓撲學中可能有相反的含義,或改稱細拓撲與粗拓撲)。 右圖是這些關係的簡單總結,箭頭從強指向弱。
若H是希爾伯特空間,則希爾伯特空間有(唯一)預對偶,由跡類算子組成,其對偶是。預對偶中,w為正的半範數定義為。
若B是向量空間A上線性映射的向量空間,則被定義為A上最弱的拓撲,使B中所有元素都連續。
弱、強、強*(算子)拓撲的上的連續線性泛函是相同的,都是線性泛函的有限線性組合。超弱、超強、超強*、Arens-麥基拓撲的上的連續線性泛函是相同的,都是預對偶的元素。
由定義,範數拓撲中的連續線性泛函與弱巴拿赫空間拓撲中的相同。這對偶是個相當大的空間,其中有很多病態元素。
在的規範有界集上,弱(算子)、超強拓撲是重合的。比如,這可以從巴拿赫-阿勞格魯定理看出來。出於基本相同的原因,超強拓撲與的任何(規範)有界子集上的強拓撲相同。 Arens-麥基、超強*、強*拓撲也如此。
在局部凸空間中,凸集的封閉性可由連續線性泛函來表徵。因此,對的凸子集 K,在超強*、超強、超弱拓撲中封閉的條件都等價,且也等價於:在強*、強、弱(算子)拓撲中,,K與半徑為r的閉球有閉交集。 範數拓撲是可度量化的,其他的則不行。實際上,它們都不是第一可數空間。
H可分時,限制在單位球(或任何範數有界子集)上的所有拓撲都可度量化。
最常用的拓撲是範數拓撲、強、弱算子拓撲。弱算子拓撲對關於緊性證明非常好用,因為據巴拿赫-阿勞格魯定理,單位球是緊的。 範數拓撲是基本拓撲,因為它使稱為巴拿赫空間,但它對很多目的來說太強了。例如在這拓撲中是不可分的。 強算子拓撲可能是最常用的拓撲。
超弱、超強拓撲比弱、強算子拓撲的性質更好,但定義也更複雜,所以除非真的需要這更好的性質,否則通常不會使用。例如,弱、強算子拓撲中的對偶空間太小,沒有什麼解析內容物。
強算子、超強拓撲中,伴隨映射不連續,而強*、超強*拓撲經過修改後則可使伴隨映射連續。它們並不常用。
Arens–麥基拓撲和弱巴拿赫空間拓撲相對少用。
總之,上的3個基本拓撲是範數拓撲、超強拓撲和超弱拓撲。強、弱算子拓撲分別作為後兩者的便捷近似,使用廣泛。其他拓撲則較為少見。
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