a
m
×
a
n
=
a
m
+
n
{\displaystyle a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}}
a
m
÷
a
n
=
a
m
−
n
{\displaystyle a^{m}\div a^{n}=a^{m-n}}
同指數冪相除,指數不變,底數相除(
b
{\displaystyle b}
不為0):
a
n
b
n
=
(
a
b
)
n
{\displaystyle {\frac {a^{n}}{b^{n}}}=\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}}
x
m
n
=
x
m
n
{\displaystyle x^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{x^{m}}}}
x
−
m
=
1
x
m
(
x
≠
0
)
{\displaystyle x^{-m}={\frac {1}{x^{m}}}\qquad (x\neq 0)}
x
0
=
1
(
x
≠
0
)
{\displaystyle x^{0}=1\qquad (x\neq 0)}
x
1
=
x
{\displaystyle x^{1}=x\,\!}
x
−
1
=
1
x
(
x
≠
0
)
{\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}\qquad (x\neq 0)}
加法和乘法存在交換律 ,比如:
2
+
3
=
5
=
3
+
2
{\displaystyle 2+3=5=3+2}
,
2
×
3
=
6
=
3
×
2
{\displaystyle 2\times 3=6=3\times 2}
,但是冪的運算不存在交換律,
2
3
=
8
{\displaystyle 2^{3}=8}
,但是
3
2
=
9
{\displaystyle 3^{2}=9}
。
同樣,加法和乘法存在結合律 ,比如:
(
2
+
3
)
+
4
=
9
=
2
+
(
3
+
4
)
{\displaystyle (2+3)+4=9=2+(3+4)}
,
(
2
×
3
)
×
4
=
24
=
2
×
(
3
×
4
)
{\displaystyle (2\times 3)\times 4=24=2\times (3\times 4)}
。不過,冪運算沒有結合律:
(
2
3
)
4
=
8
4
=
4096
{\displaystyle (2^{3})^{4}=8^{4}=4096}
,而
2
(
3
4
)
=
2
81
=
2
,
417
,
851
,
639
,
229
,
258
,
349
,
412
,
352
{\displaystyle 2^{(3^{4})}=2^{81}=2,417,851,639,229,258,349,412,352}
,所以
(
2
3
)
4
≠
2
(
3
4
)
{\displaystyle (2^{3})^{4}\neq 2^{(3^{4})}}
。
但是冪運算仍然有其運算律,稱為指數律 :
a
m
⋅
a
n
=
a
m
+
n
{\displaystyle a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}}
a
m
a
n
=
a
m
−
n
{\displaystyle {\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}}
(
a
m
)
n
=
a
m
n
{\displaystyle (a^{m})^{n}=a^{mn}}
a
m
n
=
a
m
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{m}}}=a^{\frac {m}{n}}}
a
n
⋅
b
n
=
(
a
⋅
b
)
n
{\displaystyle a^{n}\cdot b^{n}=(a\cdot b)^{n}}
a
n
b
n
=
(
a
b
)
n
{\displaystyle {\frac {a^{n}}{b^{n}}}=\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}}
0
0
{\displaystyle 0^{0}}
其實還並未被數學家完整的定義,但部分看法是
0
0
=
1
{\displaystyle 0^{0}=1}
,在程式語言中(python)
0
∗
∗
0
=
1
{\displaystyle 0**0=1}
在這裡給出這一種極限的看法
lim
x
→
0
+
x
x
=
0
0
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=0^{0}}
於是,可以求出 x 取值從 1 到 0.0000001 計算得到的值,如圖
0的正數冪都等於0。
0的負數冪沒有定義。
任何非0之數的0次方都是1;而0的0次方 是懸而未決的,某些領域下常用的慣例是約定為1。[ 3] 但某些教科書表示0的0次方為無意義。[ 4] 也有人主張定義為1。
一個正實數的實數 冪可以通過兩種方法實現。
有理數 冪可以通過N次方根 定義,任何非0實數次冪都可以這樣定義
自然對數 可以被用來通過指數函數定義實數冪
從上到下:
x
1
8
,
x
1
4
,
x
1
2
,
x
1
,
x
2
,
x
4
,
x
8
{\displaystyle x^{\frac {1}{8}},\ x^{\frac {1}{4}},\ x^{\frac {1}{2}},\ x^{1},\ x^{2},\ x^{4},\ x^{8}}
一個數
a
{\displaystyle a}
的
n
{\displaystyle n}
次方根是
x
{\displaystyle x}
,
x
{\displaystyle x}
使
x
n
=
a
{\displaystyle x^{n}=a}
。
如果
a
{\displaystyle a}
是一個正實數,
n
{\displaystyle n}
是正整數,那麼方程式
x
n
=
a
{\displaystyle x^{n}=a}
只有一個正實數根 。
這個根被稱為
a
{\displaystyle a}
的
n
{\displaystyle n}
次方根,記作:
a
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}
,其中
{\displaystyle {\sqrt {\ }}}
叫做根號。或者,
a
{\displaystyle a}
的
n
{\displaystyle n}
次方根也可以寫成
a
1
n
{\displaystyle a^{\frac {1}{n}}}
.
例如
4
1
2
=
2
,
8
1
3
=
2
{\displaystyle 4^{\frac {1}{2}}=2,\ 8^{\frac {1}{3}}=2}
當指數是
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
時根號上的2可以省略,如:
4
=
4
1
2
=
4
2
=
2
{\displaystyle {\sqrt {4}}=4^{\frac {1}{2}}={\sqrt[{2}]{4}}=2}
有理數指數冪定義為
a
m
n
=
(
a
m
)
1
n
=
a
m
n
{\displaystyle a^{\frac {m}{n}}=(a^{m})^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}}
y = bx 對各種底數b的圖像,分別為綠色的10、紅色的e、藍色的2和青色的1/2。
因為所有實數 可以近似地表示為有理數,任意實數指數x 可以定義成[ 5] :
b
x
=
lim
r
→
x
b
r
,
{\displaystyle b^{x}=\lim _{r\to x}b^{r},}
例如:
x
≈
1.732
{\displaystyle x\approx 1.732}
於是
5
x
≈
5
1.732
=
5
433
250
=
5
433
250
≈
16.241
{\displaystyle 5^{x}\approx 5^{1.732}=5^{\frac {433}{250}}={\sqrt[{250}]{5^{433}}}\approx 16.241}
實數指數冪通常使用對數來定義,而不是近似有理數。
自然對數
ln
x
{\displaystyle \ln {x}}
是指數函數
e
x
{\displaystyle e^{x}}
的反函數 。
它的定義是:對於任意
b
>
0
{\displaystyle b>0}
,滿足
b
=
e
ln
b
{\displaystyle b=e^{\ln b}}
根據對數和指數運算的規則:
b
x
=
(
e
ln
b
)
x
=
e
x
⋅
ln
b
{\displaystyle b^{x}=(e^{\ln b})^{x}=e^{x\cdot \ln b}}
這就是實數指數冪的定義:
b
x
=
e
x
⋅
ln
b
{\displaystyle b^{x}=e^{x\cdot \ln b}\,}
實數指數冪
b
x
{\displaystyle b^{x}}
的這個定義和上面使用有理數指數和連續性的定義相吻合。對於複數,這種定義更加常用。
指數函數 e z 可以通過(1 + z /N )N 當N 趨於無窮大時的極限 來定義,那麼e iπ 就是(1 + iπ /N )N 的極限。在這個動畫中n 從1取到100。(1 + iπ /N )N 的值通過N 重複增加在複數平面上展示,最終結果就是(1 + iπ /N )N 的準確值。可以看出,隨著N 的增大,(1 + iπ /N )N 逐漸逼近極限-1。這就是歐拉公式 。
複數 運算的幾何意義和e 的冪 可以幫助我們理解
e
i
x
{\displaystyle e^{ix}}
(
x
{\displaystyle x}
是實數),即純虛數指數函數 。想像一個直角三角形
(
0
,
1
,
1
+
i
x
n
)
{\displaystyle (0,1,1+{\frac {ix}{n}})}
(括號內是複數平面內三角形的三個頂點 ),對於足夠大的
n
{\displaystyle n}
,這個三角形可以看作一個扇形 ,這個扇形的中心角就等於
x
n
{\displaystyle {\frac {x}{n}}}
弧度 。對於所有
k
{\displaystyle k}
,三角形
(
0
,
(
1
+
i
x
n
)
k
,
(
1
+
i
x
n
)
k
+
1
)
{\displaystyle (0,(1+{\frac {ix}{n}})^{k},(1+{\frac {ix}{n}})^{k+1})}
互為相似三角形 。所以當
n
{\displaystyle n}
足夠大時
(
1
+
i
x
n
)
n
{\displaystyle (1+{\frac {ix}{n}})^{n}}
的極限是複數平面上的單位圓 上
x
{\displaystyle x}
弧度的點。這個點的極坐標 是
(
r
,
θ
)
=
(
1
,
x
)
{\displaystyle (r,\theta )=(1,x)}
,直角坐標 是
(
cos
x
,
sin
x
)
{\displaystyle (\cos x,\sin x)}
。所以
e
i
x
=
cos
x
+
i
sin
x
{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}
,而這個函數可以稱為純虛數指數函數 。這就是歐拉公式 ,它通過複數 的意義將代數學 和三角學 聯繫起來了。
等式
e
z
=
1
{\displaystyle e^{z}=1}
的解是一個整數乘以
2
i
π
{\displaystyle 2i\pi }
[ 6] :
{
z
:
e
z
=
1
}
=
{
2
k
π
i
:
k
∈
Z
}
.
{\displaystyle \{z:e^{z}=1\}=\{2k\pi i:k\in \mathbb {Z} \}.}
更一般地,如果
e
b
=
a
{\displaystyle e^{b}=a}
,那麼
e
z
=
a
{\displaystyle e^{z}=a}
的每一個解都可以通過將
2
i
π
{\displaystyle 2i\pi }
的整數倍加上
b
{\displaystyle b}
得到:
{
z
:
e
z
=
a
}
=
{
b
+
2
k
π
i
:
k
∈
Z
}
.
{\displaystyle \{z:e^{z}=a\}=\{b+2k\pi i:k\in \mathbb {Z} \}.}
這個複指數函數是一個有週期
2
i
π
{\displaystyle 2i\pi }
的週期函數 。
更簡單的:
e
i
π
=
−
1
;
e
x
+
i
y
=
e
x
(
cos
y
+
i
sin
y
)
{\displaystyle e^{i\pi }=-1;\ e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\sin y)}
。
根據歐拉公式 ,三角函數 餘弦和正弦是:
cos
z
=
e
i
⋅
z
+
e
−
i
⋅
z
2
sin
z
=
e
i
⋅
z
−
e
−
i
⋅
z
2
⋅
i
{\displaystyle \cos z={\frac {e^{i\cdot z}+e^{-i\cdot z}}{2}}\qquad \sin z={\frac {e^{i\cdot z}-e^{-i\cdot z}}{2\cdot i}}}
歷史上,在複數發明之前,餘弦和正弦是用幾何的方法定義的。上面的公式將複雜的三角函數的求和公式轉換成了簡單的指數方程式
e
i
⋅
(
x
+
y
)
=
e
i
⋅
x
⋅
e
i
⋅
y
.
{\displaystyle e^{i\cdot (x+y)}=e^{i\cdot x}\cdot e^{i\cdot y}.\,}
使用了複數指數冪之後,很多三角學問題都能夠使用代數方法解決。
讓我們從一個簡單的例子開始:計算
(
1
+
i
)
i
{\displaystyle \left(1+i\right)^{i}}
。
(
1
+
i
)
i
=
[
2
(
2
2
+
2
2
i
)
]
i
=
(
2
e
π
4
i
)
i
=
e
−
π
4
2
i
=
e
−
π
4
cos
ln
2
2
+
i
e
−
π
4
sin
ln
2
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\left(1+i\right)^{i}&=\left[{\sqrt {2}}\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i\right)\right]^{i}\\&=\left({\sqrt {2}}e^{{\tfrac {\pi }{4}}i}\right)^{i}\\&=e^{-{\tfrac {\pi }{4}}}{\sqrt {2}}^{i}\\&=e^{-{\tfrac {\pi }{4}}}\cos {\frac {\ln 2}{2}}+ie^{-{\tfrac {\pi }{4}}}\sin {\frac {\ln 2}{2}}\\\end{aligned}}}
其中
2
i
{\displaystyle {\sqrt {2}}^{i}}
的得法參見上文正實數的複數冪
類似地,在計算複數的複數冪時,我們可以將指數的實部與虛部分開以進行冪計算。例如計算
(
1
+
i
)
2
+
i
{\displaystyle \left(1+i\right)^{2+i}}
:
(
1
+
i
)
2
+
i
=
(
1
+
i
)
2
(
1
+
i
)
i
=
2
i
e
−
π
4
(
cos
ln
2
2
+
i
sin
ln
2
2
)
=
−
2
e
−
π
4
sin
ln
2
2
+
2
i
e
−
π
4
cos
ln
2
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\left(1+i\right)^{2+i}&=\left(1+i\right)^{2}\left(1+i\right)^{i}\\&=2ie^{-{\tfrac {\pi }{4}}}\left(\cos {\frac {\ln 2}{2}}+i\sin {\frac {\ln 2}{2}}\right)\\&=-2e^{-{\tfrac {\pi }{4}}}\sin {\frac {\ln 2}{2}}+2ie^{-{\tfrac {\pi }{4}}}\cos {\frac {\ln 2}{2}}\\\end{aligned}}}
複數的複數冪必須首先化為底數為
e
{\displaystyle e}
的形式:
w
z
=
e
z
ln
w
{\displaystyle w^{z}=e^{z\ln w}}
又,由複數的極坐標表示法:
w
=
r
e
i
θ
{\displaystyle w=re^{i\theta }}
故
w
z
=
e
z
ln
(
w
)
=
e
z
(
ln
(
r
)
+
i
θ
)
{\displaystyle w^{z}=e^{z\ln(w)}=e^{z(\ln(r)+i\theta )}}
。
然後,使用歐拉公式 處理即可。
由於複數的極坐標表示法中,輻角
θ
{\displaystyle \theta }
的取值是具有週期性的,因此複數的複數冪在大多數情況下是多值函數 。不過實際應用中,為了簡便起見,輻角都只取主值,從而使冪值唯一。
存档副本 . [2022-10-21 ] . (原始內容存檔 於2022-10-22).
Augustin-Louis Cauchy, Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique (1821). In his Oeuvres Complètes , series 2, volume 3.
康軒國中1上《FUN學練功坊①》P.35:a的0次方=1(a≠0)(註:0的0次方為無意義)
This definition of a principal root of unity can be found in: