方根

在數學中，一數${\displaystyle b}$為數${\displaystyle a}$的${\displaystyle n}$次方根，則${\displaystyle b^{n}=a}$。在提及實數${\displaystyle a}$的${\displaystyle n}$次方根的時候，若指的是此數的主${\displaystyle n}$次方根，則可以用根號（${\displaystyle {\sqrt {\color {white}t}}}$）表示成${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}$。例如：1024的主10次方根為2，就可以記作${\displaystyle {\sqrt[{10}]{1024}}=2}$。當${\displaystyle n=2}$時，則${\displaystyle n}$可以省略。定義實數${\displaystyle a}$的主${\displaystyle n}$次方根為${\displaystyle a}$的${\displaystyle n}$次方根，且具有與${\displaystyle a}$相同的正負號的唯一實數${\displaystyle b}$。在${\displaystyle n}$是偶數時，負數沒有主${\displaystyle n}$次方根。習慣上，將2次方根叫做平方根，將3次方根叫做立方根。

「開方」重新導向至此。關於古代人物，請見「衛開方」。

方根也是冪的分數指數，即數${\displaystyle b}$為數${\displaystyle a}$的${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$次方：

${\displaystyle b={\sqrt[{n}]{a}}=a^{\frac {1}{n}}}$

符號史

主條目：根號

最早的根號「√」源於字母「r」的變形（出自拉丁語latus的首字母，表示「邊長」），沒有線括號（即被開方數上的橫線），後來數學家笛卡兒給其加上線括號，但與前面的方根符號是分開的，因此在複雜的式子顯得很亂。直至18世紀中葉，數學家盧貝將前面的方根符號與線括號一筆寫成，並將根指數寫在根號的左上角，以表示高次方根（當根指數為2時，省略不寫。）。形成了現在所熟悉的開方運算符號${\displaystyle {\sqrt {\color {white}x}}}$。

考慮在電腦中的輸入問題，有時也可以使用sqrt(a,b)來表示a的b次方根。

基本運算

帶有根號的運算可由如下公式推導而得:

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{ab}}={\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}\qquad a\geq 0,b\geq 0}$

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}\qquad a\geq 0,b>0}$

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{m}}}=\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{m}=\left(a^{\frac {1}{n}}\right)^{m}=a^{\frac {m}{n}},}$

這裡的a和b是正數。

對於所有的非零複數${\displaystyle a}$，有${\displaystyle n}$個不同的複數${\displaystyle b}$使得${\displaystyle b^{n}=a}$，所以符號${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}$就會出現歧義（通常這樣寫是取${\displaystyle n}$個值當中主幅角最小的）。${\displaystyle n}$次單位根是特別重要的。

當一個數從根號形式轉換到冪形式，冪的規則仍適用（即使對分數冪），也就是

${\displaystyle a^{m}a^{n}=a^{m+n}}$

${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{m}={\frac {a^{m}}{b^{m}}}}$

${\displaystyle \left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}}$

例如:

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{a^{5}}}{\sqrt[{5}]{a^{4}}}=a^{\frac {5}{3}}a^{\frac {4}{5}}=a^{{\frac {5}{3}}+{\frac {4}{5}}}=a^{\frac {37}{15}}}$

若要做加法或減法，需考慮下列的概念。

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{a^{5}}}={\sqrt[{3}]{aaaaa}}={\sqrt[{3}]{a^{3}a^{2}}}=a{\sqrt[{3}]{a^{2}}}}$

若已可以簡化根式表示式，則加法和減法就只是群的「同類項」問題。

例如

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{a^{5}}}+{\sqrt[{3}]{a^{8}}}}$

${\displaystyle ={\sqrt[{3}]{a^{3}a^{2}}}+{\sqrt[{3}]{a^{6}a^{2}}}}$

${\displaystyle =a{\sqrt[{3}]{a^{2}}}+a^{2}{\sqrt[{3}]{a^{2}}}}$

${\displaystyle =({a+a^{2}}){\sqrt[{3}]{a^{2}}}}$

不盡根數

未經化簡的根數，一般叫做「不盡根數」（surd），可以處理為更簡單的形式。

如下恆等式是處理不盡根數的基本技巧:

• ${\displaystyle {\sqrt {a^{2}b}}=abs(a){\sqrt {b}}}$

• ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{m}b}}=a^{\frac {m}{n}}{\sqrt[{n}]{b}}}$

• ${\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}}}$

• ${\displaystyle \left({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}\right)^{-1}={\frac {1}{({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})}}={\frac {{\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}}{({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}})}}={\frac {{\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}}{a-b}}}$

無窮級數

方根可以表示為無窮級數:

${\displaystyle {\begin{aligned}&(1+x)^{\frac {s}{t}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(s+t-kt)}{(s+t)n!t^{n}}}x^{n}\\&(|x|<1)\end{aligned}}}$

找到所有的方根

任何數的所有的根，實數或複數的，可以通過簡單的演算法找到。這個數應當首先被寫為如下形式${\displaystyle ae^{i\varphi }}$(參見歐拉公式)。接著所有的n次方根給出為:

${\displaystyle e^{({\frac {\varphi +2k\pi }{n}})i}\times {\sqrt[{n}]{a}}}$

對於${\displaystyle k=0,1,2,\ldots ,n-1}$，這裡的${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}$表示${\displaystyle a}$的主${\displaystyle n}$次方根。

正實數

所有${\displaystyle x^{n}=a}$或${\displaystyle a}$的${\displaystyle n}$次方根，這裡的${\displaystyle a}$是正實數，的複數解由如下簡單等式給出:

${\displaystyle e^{2\pi i{\frac {k}{n}}}\times {\sqrt[{n}]{a}}}$

對於${\displaystyle k=0,1,2,\ldots ,n-1}$，這裡的${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}$表示${\displaystyle a}$的主${\displaystyle n}$次方根。

解多項式

曾經有數學猜想，認為多項式的所有根可以用根號和四則運算來表達；但是阿貝爾-魯菲尼定理斷言了這不是普遍為真的。例如，方程式

${\displaystyle \ x^{5}=x+1}$

的解不能用根號表達。

要解任何n次方程式，參見求根演算法。

演算法

對於正數${\displaystyle A}$，可以通過以下演算法求得${\displaystyle {\sqrt[{n}]{A}}}$的值：

1. 猜一個${\displaystyle {\sqrt[{n}]{A}}}$的近似值，將其作為初始值${\displaystyle x_{0}}$
2. 設 ${\displaystyle x_{k+1}={\frac {1}{n}}\left[{(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}}\right]}$。記誤差為${\displaystyle \Delta x_{k}={\frac {1}{n}}\left[{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}-x_{k}\right]}$，即${\displaystyle x_{k+1}=x_{k}+\Delta x_{k}}$。
3. 重複步驟2，直至絕對誤差足夠小，即：${\displaystyle |\Delta x_{k}|<\epsilon }$。

從牛頓法導出

求${\displaystyle {\sqrt[{n}]{A}}}$之值，亦即求方程式${\displaystyle x^{n}-A=0}$的根。

設${\displaystyle f(x)=x^{n}-A}$，其導函式即${\displaystyle f'(x)=nx^{n-1}}$。

以牛頓法作迭代，便得

${\displaystyle x_{k+1}=x_{k}-{\frac {f(x_{k})}{f'(x_{k})}}}$

${\displaystyle =x_{k}-{\frac {x_{k}^{n}-A}{nx_{k}^{n-1}}}}$

${\displaystyle =x_{k}-{\frac {x_{k}}{n}}+{\frac {A}{nx_{k}^{n-1}}}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{n}}\left[{(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}}\right]}$

從牛頓二項式定理導出

設${\displaystyle x_{k}}$為迭代值，${\displaystyle y}$為誤差值。

令${\displaystyle A=(x_{k}-y)^{n}}$（*），作牛頓二項式展開，取首兩項：${\displaystyle A\approx x_{k}^{n}-nx_{k}^{n-1}y}$

調項得${\displaystyle y\approx {\frac {x_{k}^{n}-A}{nx_{k}^{n-1}}}={\frac {1}{n}}\left(x_{k}-{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}\right)}$

將以上結果代回（*），得遞迴公式${\displaystyle x_{k+1}=x_{k}-y={\frac {1}{n}}\left[{(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}}\right]}$

參見

• 增乘開平方法
• 冪
• 無理數
• 分母有理化
• 雙重根號
• 2的12次方根

外部連結

• 數學主題

• 高階根號求解 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）。此法亦可求任意正實數指數值
• 立方根與高次方根^{[永久失效連結]}
• 指數-高中數學教案
• 法國心算天才70.2秒算出200位數13次方根(圖) （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）