整數

整數，在電腦應用上也稱為整型，是序列${\displaystyle \{\ldots ,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,\ldots \}}$中所有的數的統稱，包括負整數、零（0）與正整數。和自然數一樣，整數也是一個可數的無限集合。這個集合在數學上通常表示粗體${\displaystyle Z}$或${\displaystyle \mathbb {Z} }$，源於德語單詞Zahlen（意為「數」）的首字母。

各式各樣的數

基本

${\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }$ 正數 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ 自然數 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 正整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$ 小數 有限小數 無限小數 循環小數 有理數 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 代數數 ${\displaystyle \mathbb {A} }$ 實數 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 複數 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 高斯整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ 負數 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$ 整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 負整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}$ 分數 單位分數 二進分數 規矩數 無理數 超越數 虛數 ${\displaystyle \mathbb {I} }$ 二次無理數 艾森斯坦整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$

延伸

二元數 四元數 ${\displaystyle \mathbb {H} }$ 八元數 ${\displaystyle \mathbb {O} }$ 十六元數 ${\displaystyle \mathbb {S} }$ 超實數 ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$ 大實數 上超實數 雙曲複數 雙複數 複四元數 共四元數（英語：Dual quaternion） 超複數 超數 超現實數

其他

質數 ${\displaystyle \mathbb {P} }$ 可計算數 基數 阿列夫數 同餘 整數數列 公稱值 規矩數 可定義數 序數 超限數 p進數 數學常數 圓周率 ${\displaystyle \pi =3.14159265}$… 自然對數的底 ${\displaystyle e=2.718281828}$… 虛數單位 ${\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}$ 無限大 ${\displaystyle \infty }$

閱 論 編

群論
群
基本概念 子群 · 正規子群 · 商群 · 群同態 · 像 · (半)直積 · 直和 單純群 · 有限群 · 無限群 · 拓撲群 · 群概形 · 循環群 · 冪零群 · 可解群 · 圈積 離散群 有限單群分類 循環群 Zn 交錯群 An 李型群 散在群 馬蒂厄群 M11..12,M22..24 康威群 Co1..3 揚科群 J1..4 費歇爾群（英語：Fischer group）F22..24 子魔群（英語：sub monster group） B 魔群 M 其他有限群 對稱群, Sn 二面體群, Dn 無限群 整數, Z 模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z) 連續群 李群 一般線性群 GL(n) 特殊線性群 SL(n) 正交群 O(n) 特殊正交群 SO(n) 么正群 U(n) 特殊么正群 SU(n) 辛群 Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 勞侖茲群 龐加萊群 無限維群 共形群 微分同胚群 環路群 量子群 O(∞) SU(∞) Sp(∞) 代數群 橢圓曲線 線性代數群（英語：Linear algebraic group） 阿貝爾簇（英語：Abelian variety）
閱 論 編

在代數數論中，這些屬於有理數的一般整數會被稱為有理整數，用以和高斯整數等的概念加以區分。

正整數與負整數

主條目：正整數和負整數

整數是一個集合，通常可以分為正整數、零（0）和負整數。正整數（符號：Z⁺或${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$）即大於0的整數，是正數與整數的交集。而負整數（符號：${\displaystyle Z^{-}}$或${\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}$）即小於0的整數，是負數與整數的交集。和整數一樣，兩者都是可數的無限集合。除正整數和負整數外，通常將0與正整數統稱為非負整數（符號：Z⁺₀或${\displaystyle \mathbb {Z} _{0}^{+}}$），而將0與負整數統稱為非正整數（符號：Z^-₀或${\displaystyle \mathbb {Z} _{0}^{-}}$）。在數論中自然數${\displaystyle \mathbb {N} }$通常被視為與正整數等同，即1，2，3等，但在集合論和計算機科學中自然數則通常是指非負整數，即0，1，2等。

代數性質

下表給出任何整數${\displaystyle a,b,c}$的加法和乘法的基本性質。

性質	加法	乘法
封閉性	${\displaystyle a+b}$是整數	${\displaystyle a\times b}$是整數
結合律	${\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c}$	${\displaystyle a\times (b\times c)=(a\times b)\times c}$
交換律	${\displaystyle a+b=b+a}$	${\displaystyle a\times b=b\times a}$
存在單位元素	${\displaystyle a+0=a}$	${\displaystyle a\times 1=a}$
存在反元素	${\displaystyle a+(-a)=0}$	在整數集中，只有1或-1對於乘法存在整數反元素，其餘整數${\displaystyle a}$關於乘法的反元素為${\displaystyle {\frac {1}{a}}}$，都不為整數。
分配律	${\displaystyle a\times (b+c)=a\times b+a\times c}$

全體整數關於加法和乘法形成一個環。環論中的整環、無零因子環和唯一分解域可以看作是整數的抽象化模型。

${\displaystyle \mathbb {Z} }$是一個加法循環群，因為任何整數都是若干個1或-1的和。1和-1是${\displaystyle \mathbb {Z} }$僅有的兩個生成元。每個元素個數為無窮個的循環群都與${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$同構。

有序性質

${\displaystyle \mathbb {Z} }$是一個全序集，沒有上界和下界，其序列如下：

${\displaystyle \ldots <-2<-1<0<1<2<\ldots }$

一個整數大於零則為正，小於零則為負。零既非正也非負。

整數的序列在代數運算下是可以比較的，表示如下：

• 若${\displaystyle a<b}$且${\displaystyle c<d}$，則${\displaystyle a+c<b+d}$（加法）
• 若${\displaystyle a<b}$且${\displaystyle c>0}$，則${\displaystyle a\times c<b\times c}$；若${\displaystyle c<0}$，則${\displaystyle a\times c>b\times c}$（乘法）

整數環是一個歐幾里德域。

電腦

主條目：整數 (計算機科學)

Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 的基數

${\displaystyle \mathbb {Z} }$的基數（或勢）是ℵ₀，與${\displaystyle \mathbb {N} }$相同。這可以從${\displaystyle \mathbb {Z} }$建立一對射函數到${\displaystyle \mathbb {N} }$來證明，亦即該函數要同時滿足單射及滿射的條件，例如：

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}2x+1,&{\mbox{if }}x\geq 0\\2|x|,&{\mbox{if }}x<0\end{cases}}}$

當該函數的定義域僅限於${\displaystyle \mathbb {Z} }$，則證明${\displaystyle \mathbb {Z} }$與${\displaystyle \mathbb {N} }$可建立一一對應的關係，即兩集等勢。

參見

• 整數數列線上大全
• 超整數