八元數

八元數（英語：Octonion）是以實數構建的8維度賦範可除代數，為四元數非結合推廣的超複數，通常記為O或${\displaystyle \mathbb {O} }$。八元數的8個維度可以視為2個4維度之四元數的組合。八元數不具備結合律和交換律，但具備交錯代數的特性，並保有冪結合性。

八元數
符號	${\displaystyle \mathbb {O} }$
種類	超複代數
單位	${\displaystyle e_{n}}$形式： ${\displaystyle e_{0}}$、 ${\displaystyle e_{1}}$、 ${\displaystyle e_{2}}$、 ${\displaystyle e_{3}}$、 ${\displaystyle e_{4}}$、 ${\displaystyle e_{5}}$、 ${\displaystyle e_{6}}$、 ${\displaystyle e_{7}}$ ${\displaystyle ijkl}$形式： 1、 i、 j、 k、 l、 il、 jl、 kl
乘法單位元素	${\displaystyle e_{0}}$或1
主要性質	非交換 非結合
數字系統
${\displaystyle \mathbb {N} }$ 自然數 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 整數 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 有理數 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 實數 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 複數 ${\displaystyle \mathbb {H} }$ 四元數 ${\displaystyle \mathbb {O} }$ 八元數 ${\displaystyle \mathbb {S} }$ 十六元數 ${\displaystyle \mathbb {T} }$ 三十二元數
閱 論 編

各式各樣的數

基本

${\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }$ 正數 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ 自然數 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 正整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$ 小數 有限小數 無限小數 循環小數 有理數 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 代數數 ${\displaystyle \mathbb {A} }$ 實數 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 複數 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 高斯整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ 負數 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$ 整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 負整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}$ 分數 單位分數 二進分數 規矩數 無理數 超越數 虛數 ${\displaystyle \mathbb {I} }$ 二次無理數 艾森斯坦整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$

延伸

二元數 四元數 ${\displaystyle \mathbb {H} }$ 八元數 ${\displaystyle \mathbb {O} }$ 十六元數 ${\displaystyle \mathbb {S} }$ 超實數 ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$ 大實數 上超實數 雙曲複數 雙複數 複四元數 共四元數（英語：Dual quaternion） 超複數 超數 超現實數

其他

質數 ${\displaystyle \mathbb {P} }$ 可計算數 基數 阿列夫數 同餘 整數數列 公稱值 規矩數 可定義數 序數 超限數 p進數 數學常數 圓周率 ${\displaystyle \pi =3.14159265}$… 自然對數的底 ${\displaystyle e=2.718281828}$… 虛數單位 ${\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}$ 無限大 ${\displaystyle \infty }$

閱 論 編

也許是因為八元數的乘法不具備結合性，因此它們作為超複數而言受關注的程度較四元數低。儘管如此，八元數仍然與數學中的一些例外結構有關，其中包括例外李群。此外，八元數在諸如弦理論、狹義相對論和量子邏輯（英語：Quantum logic）中也有應用。

歷史

八元數第一次被描述於1843年，於一封約翰·格雷夫斯（英語：John T. Graves）給威廉·盧雲·哈密頓的信中。格雷夫斯稱其為「octaves」。^[1]:168後來八元數由阿瑟·凱萊在1845年獨自發表。^[2]格雷夫斯發表結果的時間點比阿瑟·凱萊發表的時間稍晚一些^[3]。阿瑟·凱萊發表的八元數和約翰·格雷夫斯給威廉·盧雲·哈密頓的信中所提及的並無關係。阿瑟·凱萊是獨自發現八元數的，^[2]因此八元數又被稱為凱萊數或凱萊代數。哈密頓則描述了八元數被發現並描述的早期歷史。^[4]

定義

八元數可以視為實數的八元組。八元數有多種構造方式。以凱萊-迪克森結構為例，八元數可以表達為2個四元數P與Q的組合，即 P+Q l 或${\displaystyle p_{0}+p_{1}i+p_{2}j+p_{3}k+\left(q_{0}+q_{1}i+q_{2}j+q_{3}k\right)l\,}$，其中，量l為其中一個八元數單位並滿足：^[5]

${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=l^{2}=-1\,}$

在這種定義下每一個八元數都是單位八元數{1, i, j, k, l, il, jl, kl}的線性組合。也就是說，每一個八元數x都可以寫成^[6]

${\displaystyle x=x_{0}+x_{1}\,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,l+x_{5}\,il+x_{6}\,jl+x_{7}\,kl}$

其中係數x_a是實數。 這些八元數單位亦滿足：^[5]

${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=l^{2}=(il)^{2}=(jl)^{2}=(kl)^{2}=-1\,}$

八元數的加法是把對應的係數相加，就像複數和四元數一樣。根據線性，八元數的乘法完全由以下單位八元數的乘法表來決定。^[6]

${\displaystyle \times }$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle j}$	${\displaystyle k}$	${\displaystyle l}$	${\displaystyle il}$	${\displaystyle jl}$	${\displaystyle kl}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle j}$	${\displaystyle k}$	${\displaystyle l}$	${\displaystyle il}$	${\displaystyle jl}$	${\displaystyle kl}$
${\displaystyle i}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle k}$	${\displaystyle -j}$	${\displaystyle il}$	${\displaystyle -l}$	${\displaystyle -kl}$	${\displaystyle jl}$
${\displaystyle j}$	${\displaystyle j}$	${\displaystyle -k}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle jl}$	${\displaystyle kl}$	${\displaystyle -l}$	${\displaystyle -il}$
${\displaystyle k}$	${\displaystyle k}$	${\displaystyle j}$	${\displaystyle -i}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle kl}$	${\displaystyle -jl}$	${\displaystyle il}$	${\displaystyle -l}$
${\displaystyle l}$	${\displaystyle l}$	${\displaystyle -il}$	${\displaystyle -jl}$	${\displaystyle -kl}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle j}$	${\displaystyle k}$
${\displaystyle il}$	${\displaystyle il}$	${\displaystyle l}$	${\displaystyle -kl}$	${\displaystyle jl}$	${\displaystyle -i}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -k}$	${\displaystyle j}$
${\displaystyle jl}$	${\displaystyle jl}$	${\displaystyle kl}$	${\displaystyle l}$	${\displaystyle -il}$	${\displaystyle -j}$	${\displaystyle k}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -i}$
${\displaystyle kl}$	${\displaystyle kl}$	${\displaystyle -jl}$	${\displaystyle il}$	${\displaystyle l}$	${\displaystyle -k}$	${\displaystyle -j}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle -1}$

一些不同的定義方式會將八元數的單位元素表達為e_a的線性組合，其中 a=0, 1,..., 7 ：^[7]

${\displaystyle \{e_{0},e_{1},e_{2},e_{3},e_{4},e_{5},e_{6},e_{7}\},}$

當中的${\displaystyle e_{0}}$為實數單位。每個八元數單位元素皆不相等，而其平方為實數。也就是說，每個八元數 x 都可以寫成以下形式^[8]：

${\displaystyle x=x_{0}e_{0}+x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+x_{3}e_{3}+x_{4}e_{4}+x_{5}e_{5}+x_{6}e_{6}+x_{7}e_{7},\,}$^[9]:5

其中x_i為單位元素e_i的係數，且必為實數。八元數的加法和減法是通過加減相應的項以及它們的係數來完成的，與四元數的加減法類似。 乘法則較為複雜。 八元數的乘法是對加法的分配，所以兩個八元數的乘積可以通過對所有項的乘積求和來計算，再次如同四元數一般。 每對項的乘積可以通過係數的乘積和單位八元數的乘法表給出^[7]，其乘法表的結構與{1, i, j, k, l, il, jl, kl}的模式（${\displaystyle p_{0}+p_{1}i+p_{2}j+p_{3}k+\left(q_{0}+q_{1}i+q_{2}j+q_{3}k\right)l\,}$）類似。這個乘法表先後由Graves於1843年和Cayley於1845年描述：^[10]

${\displaystyle e_{i}e_{j}}$[11]		${\displaystyle e_{j}}$
		${\displaystyle e_{0}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle e_{7}}$
${\displaystyle e_{i}}$	${\displaystyle e_{0}}$	${\displaystyle e_{0}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle e_{7}}$
	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle -e_{2}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle -e_{4}}$	${\displaystyle -e_{7}}$	${\displaystyle e_{6}}$
	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle -e_{3}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle e_{7}}$	${\displaystyle -e_{4}}$	${\displaystyle -e_{5}}$
	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle -e_{1}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle e_{7}}$	${\displaystyle -e_{6}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle -e_{4}}$
	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle -e_{5}}$	${\displaystyle -e_{6}}$	${\displaystyle -e_{7}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle e_{3}}$
	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle -e_{7}}$	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle -e_{1}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle -e_{3}}$	${\displaystyle e_{2}}$
	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle e_{7}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle -e_{5}}$	${\displaystyle -e_{2}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle -e_{1}}$
	${\displaystyle e_{7}}$	${\displaystyle e_{7}}$	${\displaystyle -e_{6}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle -e_{3}}$	${\displaystyle -e_{2}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle -e_{0}}$

除了主對角線上以及${\displaystyle e_{0}}$作為操作數的行和列的元素之外，乘法表中的大多數非對角元素都是反對稱的，這使得這個乘法表幾乎是一個斜對稱矩陣。

該表可總結如下：^[12]

${\displaystyle e_{i}e_{j}={\begin{cases}e_{j},&{\text{if }}i=0\\e_{i},&{\text{if }}j=0\\-\delta _{ij}e_{0}+\varepsilon _{ijk}e_{k},&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

其中δ_ij為克羅內克δ函數（若且唯若i = j時為1）、 ε_ijk為完全反對稱張量（英語：completely antisymmetric tensor），且當ijk = 123, 145, 176, 246, 257, 347, 365時，值為1。^[9]

然而，上述定義並不是唯一的。這些定義只是${\displaystyle e_{0}=1}$八元數乘法的480個可能定義之一。其他的八元數乘法定義可以透過置換和改變非標量基元素${\displaystyle \{e_{0},e_{1},e_{2},e_{3},e_{4},e_{5},e_{6},e_{7}\},}$的符號來獲得。^[13]這480個不同乘法定義對應的代數結構是同構的，很少需要考慮使用哪個特定的乘法規則。

這480個八元數乘法定義中，每一定義的正負號在7循環（1234567）下的特定點上都是不變的，並且對於每個7循環有四個定義，它們的區別在於正負號和順序的反轉。 一個常見的選擇是使用 e₁e₂ = e₄的7循環（1234567）下的定義不變量 — 通過使用三角乘法圖或下面的 法諾平面，該平面還顯示了基於124的7循環三元組及其相關乘法的排序列表e_n和${\displaystyle ijkl}$格式的矩陣。^[14]

此外，亦有一些文獻會將八元數的單位定義為${\displaystyle 1,i,j,k,L,m,n,o}$。^[15]

凱萊-迪克松構造

主條目：凱萊-迪克森結構

一個更加系統的定義八元數的方法，是通過凱萊-迪克松構造。就像四元數可以用一對複數來定義一樣，八元數可以用一對四元數來定義。兩對四元數${\displaystyle (a,b)}$和${\displaystyle (c,d)}$的乘積定義為：^[8]:153

${\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})}$

其中${\displaystyle z^{*}}$表示四元數${\displaystyle z}$的共軛。這個定義與上面給出的定義是等價的。^[16]

法諾平面記憶

八元數的乘積的簡單記憶。

一個用來記憶八元數的乘積的方便辦法，由右面的圖給出。這個圖中有七個點和七條直線（經過i、j和k的圓也視為一條直線），稱為法諾平面（英語：Fano plane）。^[17]這些直線是有向的。七個點對應於Im(${\displaystyle \mathbb {O} }$)的七個標準基元素。每一對不同的點位於唯一的一條直線上，而每一條直線正好通過三個點。^[18]

設(a, b, c)為位於一條給定的直線上的三個有序點，其順序由箭頭的方向指定。那麼，乘法由下式給出：^[18]

ab = c，ba = −c

以及它們的循環置換（英語：Cyclic permutation）。這些規則^[18]

• 1是乘法單位元素，
• 對於圖中的每一個點，都有${\displaystyle e^{2}=-1}$

完全定義了八元數的乘法結構。七條直線的每一條都生成了${\displaystyle \mathbb {O} }$的一個子代數，與四元數${\displaystyle \mathbb {H} }$同構。^[8]:151-152

共軛、範數和反元素

八元數

${\displaystyle x=x_{0}+x_{1}\,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,l+x_{5}\,il+x_{6}\,jl+x_{7}\,kl}$

的共軛為：

${\displaystyle x^{*}=x_{0}-x_{1}\,i-x_{2}\,j-x_{3}\,k-x_{4}\,l-x_{5}\,il-x_{6}\,jl-x_{7}\,kl.}$

當中除了實數項外，其餘項正負號皆相反。因此若將八元數單位表達為{e₁, e₂ ... e₇}，則八元數的共軛可以簡化表示為：^[9]:6

${\displaystyle x^{*}={\overline {x}}=x_{0}e_{0}-x_{i}e_{i},\ i=1,2\cdots 7}$

共軛是${\displaystyle \mathbb {O} }$的一個對合，滿足${\displaystyle (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}$（注意次序的變化）。^[16]

x的實數部分定義為${\displaystyle \mathrm {Re} \left(x\right)={\tfrac {x+x^{*}}{2}}=x_{0}}$，虛數部分定義為${\displaystyle \mathrm {Im} \left(x\right)={\tfrac {x-x^{*}}{2}}}$。^[16]所有純虛的八元數生成了${\displaystyle \mathbb {O} }$的一個七維子空間，記為Im(${\displaystyle \mathbb {O} }$)。^[8]:186

八元數x的範數可用與自身共軛的積${\displaystyle \|x\|^{2}=x^{*}x}$來定義^[16]：

${\displaystyle \|x\|={\sqrt {x^{*}x}}}$

在這裡，平方根是定義良好的，因為${\displaystyle x^{*}x=xx^{*}}$總是非負實數：^{[註 1]}

${\displaystyle \|x\|^{2}=x^{*}x=x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}}$

這個範數與${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$上的標準歐幾里得範數是一致的。

${\displaystyle \mathbb {O} }$上範數的存在，意味著${\displaystyle \mathbb {O} }$的所有非零元素都存在反元素。x ≠ 0的反元素為：^[16][9]:6

${\displaystyle x^{-1}={\frac {x^{*}}{\|x\|^{2}}}}$

它滿足${\displaystyle xx^{-1}=x^{-1}x=1}$。

性質

八元數的乘法既不是交換的：^[9]:6

${\displaystyle ij=-ji\neq ji\,}$

也不是結合的：^[5]:41

${\displaystyle (ij)l=-i(jl)\neq i(jl)\,}$

然而，八元數確實滿足結合性的一個較弱形式──交錯性^[9]:2。這就是說，由任何兩個元素所生成的子代數（英語：Subalgebra）是結合的。^[9]:3實際上，我們可以證明，由${\displaystyle \mathbb {O} }$的任何兩個元素所生成的子代數都與${\displaystyle \mathbb {R} }$、${\displaystyle \mathbb {C} }$或${\displaystyle \mathbb {H} }$同構，它們都是結合的。由於八元數不滿足結合性，因此它們沒有矩陣的表示法，與四元數不一樣。^[9]

八元數確實保留了${\displaystyle \mathbb {R} }$、${\displaystyle \mathbb {C} }$和${\displaystyle \mathbb {H} }$共同擁有的一個重要的性質：${\displaystyle \mathbb {O} }$上的範數滿足

${\displaystyle \|xy\|=\|x\|\|y\|}$

這意味著八元數形成了一個非結合的賦範可除代數。所有由凱萊-迪克松構造所定義的更高維代數都不滿足這個性質，因為它們都存在零因子。^[19]

這樣，實數體上唯一的賦範可除代數是${\displaystyle \mathbb {R} }$、${\displaystyle \mathbb {C} }$、${\displaystyle \mathbb {H} }$和${\displaystyle \mathbb {O} }$。這四個代數也形成了實數體上唯一的交錯的、有限維的可除代數（英語：Division algebra）。^[8]:155

由於八元數不是結合的，因此${\displaystyle \mathbb {O} }$的非零元素不形成一個群。然而，它們形成一個擬群。

自同構

八元數的自同構A，是${\displaystyle \mathbb {O} }$的可逆線性轉換，滿足：

${\displaystyle A(xy)=A(x)A(y).\,}$

${\displaystyle \mathbb {O} }$的所有自同構的集合組成了一個群，稱為G₂（英語：G2 (mathematics)）。^[21][9]群G₂是一個單連通、緊緻、14維的實李群。^[22]這個群是例外李群（英語：w:Exceptional Lie group#Exceptional cases）中最小的一個。^[23]

參見

• 雙曲複數
• 四元數
• 十六元數
• Spin(8)（英語：Spin(8)）
• PSL(2,7)──法諾平面的自同構群。

註釋

1. 在範數可良好定義的前提下，${\displaystyle {\frac {x+x^{*}}{2}}\in \mathbb {R} }$，且${\displaystyle x^{*}x>0}$^[16]，因此可以得到${\displaystyle x^{*}x=xx^{*}}$總是非負實數的結論。

參考文獻

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延伸閱讀

• Baez, John, The Octonions, Bull. Amer. Math. Soc., 2002, 39: 145–205 [2008-12-01], （原始內容存檔於2008-12-09）. Online HTML version at math.ucr.edu. （原始內容存檔於2008-10-09）.
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