無限集合

無限集合是由無限個元素組成的集合，也稱無窮集合或無限集。無限集合一般常見的例子有自然數集、整數集、有理數集等。無限集合分為可數集和不可數集。^[1][2][3]

自然數集是公理直接要求是無限集合的唯一集合。

歷史

集合論中，集合主要分為有限集合與無限集合。有限集合很多的性質是顯而易見的，而無限集合的非有限性，使得其一些基本性質也變得並不顯而易見。個別的數學家甚至質疑諸如選擇公理等基本公設使用在無限集合身上是否仍然正確。羅素悖論提出以後，一些激進的數學哲學家提倡禁止在數學中使用無限集合以挽救第三次數學危機。

示例

無窮可數集合

整數集${\displaystyle \mathbb {Z} =\{\ldots ,-1,0,1,2,\ldots \}}$是一個可數的無窮集合。整數的某些子集也是可數的無限集合，如：偶數集、奇數集等。

無窮不可數集合

實數集${\displaystyle \mathbb {R} }$、無理數集等都是無窮不可數集合。

特性

在無限集合中，集合大小的比較不是顯然的。

• 在基數意義下，一個集合的真子集可以等於自身，例如：

偶數和整數哪個多？

整數：${\displaystyle \ldots ,-1,0,1,2,3,4,5,\ldots ,n}$

偶數：${\displaystyle \ldots ,-2,0,2,4,6,8,10,\ldots ,2n}$

通過建立一一對應的關係，可以證明偶數和整數在基數意義下一樣多，雖然這有悖於一般認識。

• 在密度意義下，同樣的例子裡，偶數集的大小是自然集的一半：

對於${\displaystyle N\to \infty }$，小於${\displaystyle N}$的偶數數目 與 小於${\displaystyle N}$的整數數目 的比值趨近於${\displaystyle 0.5}$。

參考文獻

1. The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Infinite. Math Vault. 2019-08-01 [2019-11-29]. （原始內容存檔於2020-02-28） （美國英語）.
2. Weisstein, Eric W. (編). Infinite Set. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2019-11-29]. （原始內容存檔於2020-11-27） （英語）.
3. infinite set in nLab. ncatlab.org. [2019-11-29]. （原始內容存檔於2020-10-01）.