卡迪森-辛格问题

数学上，卡迪森-辛格问题（英语：Kadison–Singer problem）于1959年提出，有关泛函分析^[1]，问某个特定C*-代数上的任意线性泛函，延拓到另一个较大的C*-代数时，是仅有唯一的可能，抑或可以有多个不同的延拓。2013年，问题得到解决，答案为肯定（即唯一）。

问题源出1940年代保罗·狄拉克对量子力学理论基础的研究。1959年，理查德·卡迪森（英语：Richard Kadison）与艾沙道尔·辛格^[2]给出严格的问题叙述。此后，发现纯数学、应用数学、工程学、电脑科学等学科的多个未解问题，皆与卡迪森-辛格问题等价。^[3][4]卡迪森、辛格，以及日后多个作者，都相信问题答案为否定（即不唯一）^[3][4]，然而于2013年，亚当·马库斯（英语：Adam Marcus (mathematician)）、丹尼尔·斯皮尔曼（英语：Daniel Spielman）、尼基·斯里瓦斯塔瓦（英语：Nikhil Srivastava）合著论文^[5]给出肯定的答案。翌年，三人因此获SIAM（英语：Society for Industrial and Applied Mathematics）颁发波利亚奖（英语：George Pólya Prize）。^[6]

马-斯-斯三氏皆为电脑科学家，本来并非研究C*-代数。^[1]:83马库斯甚至称自己在解决该问题后，“仍无法用C*-代数的语言来描述它”^[1]:86。解决问题的转捩点，是乔尔·安德森（Joel Anderson）将其重写成不牵涉C*-代数理论的等价形式。^[1]:84安德森于1979年证明，其“铺砌猜想”（英语：paving conjecture）与卡迪森-辛格问题等价。该猜想仅牵涉有限维希尔伯特空间的算子，而相比之下，原问题的空间则是无穷维。此后，亦有其他学者，如尼克·威佛（Nik Weaver），在有限维空间中，给出其他等价问法。威佛的版本吸引了马-斯-斯三氏研究。^[1]:85而此版本用交织多项式族（英语：interlacing family）获解决。^[7]

原问题叙述

先引入若干定义：

${\displaystyle {\boldsymbol {\ell }}^{2}}$

平方可和的复序列空间（英语：Sequence space），即${\displaystyle \ell ^{2}=\left\{(x_{1},x_{2},\ldots ):x_{i}\in \mathbb {C} ,\sum _{i}\left|x_{i}\right|^{2}<\infty \right\}}$。此空间为可分希尔伯特空间，内积定义由${\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{i}x_{i}{\overline {y_{i}}}}$给出。

${\displaystyle {\boldsymbol {B}}({\boldsymbol {\ell }}^{2})}$

从${\displaystyle \ell ^{2}}$到${\displaystyle \ell ^{2}}$的连续线性算子组成的集合。此集合上，有加减法、乘法、伴随等运算，构成一个C*-代数。

${\displaystyle {\boldsymbol {D}}({\boldsymbol {\ell }}^{2})}$

从${\displaystyle \ell ^{2}}$到${\displaystyle \ell ^{2}}$的对角连续线性算子集合。换言之，${\displaystyle D(\ell ^{2})=\left\{\left.f:\ell ^{2}\to \ell ^{2}\right|f(x)=(a_{1}x_{1},a_{2}x_{2},\ldots ),{\text{ 其 中 }}a_{i}\in \mathbb {C} ,{\text{ 且 }}a_{i}{\text{ 有 界 }}\right\}}$。${\displaystyle D(\ell ^{2})}$包含于${\displaystyle B(\ell ^{2})}$，故为其子C*-代数。

态

C*-代数${\displaystyle A}$上的态（英语：state (functional analysis)），是连续线性泛函${\displaystyle \varphi :A\to \mathbb {C} }$，将单位元${\displaystyle I}$映到${\displaystyle 1}$，且对任意半正定的${\displaystyle T\geq 0}$，有${\displaystyle \varphi (T)\geq 0}$（即此时${\displaystyle \varphi (T)}$要取实值，且该实值为非负）。

纯态

接续上项，${\displaystyle \varphi }$称为纯态，意思是在${\displaystyle A}$上所有态组成的集合中，${\displaystyle \varphi }$是极端点（英语：Extreme point），即不能写成其他态的凸组合。

由哈恩-巴拿赫定理，${\displaystyle D(\ell ^{2})}$上的任意泛函，必能延拓到${\displaystyle B(\ell ^{2})}$上。卡迪森与辛格二人问，对于纯态，此延拓是否唯一。所以，卡迪森-辛格问题是要证明或否证以下命题：

对${\displaystyle D(\ell ^{2})}$上的任意纯态${\displaystyle \varphi }$，${\displaystyle B(\ell ^{2})}$上都存在唯一的态${\displaystyle \psi }$，使${\displaystyle \psi }$延拓${\displaystyle \varphi }$，即两者限制到${\displaystyle D}$时等同。

此命题已证为真。^[5]

铺砌猜想叙述

卡迪森-辛格问题的答案为肯定，当且仅当以下铺砌猜想为真：^[8]

对任意的${\displaystyle \varepsilon >0}$，存在正整数${\displaystyle k}$使得：对每个${\displaystyle n}$，以及对${\displaystyle n}$维希尔伯特空间${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$上的每个线性算子${\displaystyle T}$（可视为${\displaystyle n\times n}$方阵），若其对角线全零，则存在某种方法将${\displaystyle \{1,\dots ,n\}}$分划为${\displaystyle k}$份${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{k}}$，使得

${\displaystyle \|P_{A_{j}}TP_{A_{j}}\|\leq \varepsilon \|T\|}$ 对于每个 ${\displaystyle j=1,\ldots ,k}$ 都成立。

此处${\displaystyle P_{A_{j}}}$是正交投影，将${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$（坐标以${\displaystyle 1,2,\ldots ,n}$为下标）映到坐标仅以${\displaystyle A_{j}}$元素为下标的子空间。换言之，${\displaystyle P_{A_{j}}TP_{A_{j}}}$是下标为${\displaystyle A_{j}}$元素的各行列，相交而得的子方阵。而矩阵范数${\displaystyle \|\cdot \|}$取为谱范数，即来自${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$上欧氏范数的算子范数。

注意命题中，${\displaystyle k}$只能与${\displaystyle \varepsilon }$有关，但不取决于${\displaystyle n}$。

偏差叙述

尼克·威佛（Nik Weaver）证明，以下“偏差理论（英语：discrepancy theory）”命题，同样与卡迪森-辛格问题（的肯定答案）等价：^[9]

设有向量${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{m}\in \mathbb {C} ^{d}}$，满足${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}u_{i}u_{i}^{*}=I}$（${\displaystyle d\times d}$单位方阵），且对每个${\displaystyle i}$，${\displaystyle \|u_{i}\|_{2}^{2}\leq \delta }$。则存在一种方法将${\displaystyle \{1,\ldots ,m\}}$分划成两个子集${\displaystyle S_{1}}$和${\displaystyle S_{2}}$，使得对于${\displaystyle j=1,2}$都有

${\displaystyle \left\|\sum _{i\in S_{j}}u_{i}u_{i}^{*}\right\|\leq {\frac {\left(1+{\sqrt {2\delta }}\right)^{2}}{2}}.}$

马库斯、斯皮尔曼、斯里瓦斯塔瓦三人用交织多项式族（英语：interlacing families）的技巧，证明上述命题为真。该命题又有以下推论：

设向量${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{m}\in \mathbb {R} ^{d}}$满足${\displaystyle \|v_{i}\|_{2}^{2}\leq \alpha }$（对所有${\displaystyle i}$），还有

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}\langle v_{i},x\rangle ^{2}=1}$ 对满足${\displaystyle \|x\|=1}$的所有向量${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}}$成立。

则可以将${\displaystyle \{1,\ldots ,m\}}$分划成两个子集${\displaystyle S_{1}}$、${\displaystyle S_{2}}$，使得对${\displaystyle j=1,2}$，以及满足${\displaystyle \|x\|=1}$的任意向量${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}}$，皆有：

${\displaystyle \left|\sum _{i\in S_{j}}\langle v_{i},x\rangle ^{2}-{\frac {1}{2}}\right|\leq 5{\sqrt {\alpha }}.}$

“偏差”一词的含义，在${\displaystyle \alpha }$较小时显明：在单位球面上取值恒为${\displaystyle 1}$的二次型，可以分拆成两个大致相等的二次型，而分拆出来的二次型在单位球面上各处的取值，离${\displaystyle 1/2}$的偏差很小。利用命题此种形式，可以推导出关于图分划的若干结果。^[7]

参考文献

1. Erica Klarreich（英语：Erica Klarreich）; 赵京（译）. 外行人破解困扰数学界50年的难题. 数学文化 (香港: 全球科学出版社). 2017, 8 (3): 82–86 [2021-10-16]. ISSN 2070-545X. （原始内容存档于2021-10-19）.
2. Kadison, R.; Singer, I. Extensions of pure states [纯态的延拓]. American Journal of Mathematics（英语：American Journal of Mathematics）. 1959, 81 (2): 383–400. JSTOR 2372748. MR 0123922. doi:10.2307/2372748 （英语）.
3. Casazza, P. G.; Fickus, M.; Tremain, J. C.; Weber, E. The Kadison–Singer problem in mathematics and engineering: a detailed account [数学与工程学的卡迪森-辛格问题：详解]. Han, Deguang; Jorgensen, Palle E. T.; Larson, David Royal (编). Operator theory, operator algebras, and applications [算子理论、算子代数、应用]. Contemporary Mathematics 414. Providence, RI: American Mathematical Society. 2006: 299–355. ISBN 9780821839232. MR 2277219. arXiv:math/0510024 . doi:10.1090/conm/414/07820 （英语）.
4. Casazza, Peter G. Consequences of the Marcus/Spielman/Srivastava solution to the Kadison–Singer Problem [卡迪森-辛格问题的马库斯/斯皮尔曼/斯里瓦斯塔瓦解答的推论]. 2015. arXiv:1407.4768  [math.FA] （英语）.
5. Marcus, Adam; Spielman, Daniel A.; Srivastava, Nikhil. Interlacing families II: Mixed characteristic polynomials and the Kadison–Singer problem [相交族之二：混合特征多项式与卡迪森-辛格问题]. 2013. arXiv:1306.3969  [math.CO] （英语）.
6. Rob Knies. Conjecture Proof Leads to Pólya Prize [因证明猜想获波利亚奖] (网志). Microsoft Research Blog. 2014-07-09 [2021-10-16]. （原始内容存档于2021-10-20） （英语）.
7. Srivastava, Nikhil. Discrepancy, Graphs, and the Kadison–Singer Problem [偏差、图、卡迪森-辛格问题] (网志). Windows on Theory. July 11, 2013 [2021-10-16]. （原始内容存档于2021-04-13） （英语）.
8. Anderson, Joel. Restrictions and representations of states on C∗-algebras [C*-代数上，态的限制与表示]. Transactions of the American Mathematical Society. 1979, 249 (2): 303–329 [2021-10-16]. JSTOR 1998793. MR 0525675. doi:10.2307/1998793. （原始内容存档于2021-10-16） （英语）.
9. Weaver, Nik. The Kadison-Singer problem in discrepancy theory [偏差理论中的卡迪森-辛格问题]. Discrete Mathematics. 2004, 278 (1–3): 227–239. arXiv:math/0209078 . doi:10.1016/S0012-365X(03)00253-X （英语）.

外部链接

• Nicholas J. A. Harvey. An introduction to the Kadison–Singer Problem and the Paving Conjecture [卡迪森-辛格问题与铺砌猜想的介绍] (PDF). 2013-07-11 [2021-10-16]. （原始内容存档 (PDF)于2021-10-21） （英语）.
• 陶哲轩. Real stable polynomials and the Kadison-Singer problem [实稳定多项式与卡迪森-辛格问题] (网志). 2013-11-04 [2021-10-16]. （原始内容存档于2022-01-19） （英语）.