纯态

纯态（pure state）这个名词出现在几个领域，包括物理方面的量子力学以及数学方面的泛函分析理论。

从白炽灯（1）发射出的光子处于完全随机偏振混合态（2），密度矩阵为
${\displaystyle {\begin{bmatrix}0.5&0\\0&0.5\\\end{bmatrix}}}$ 。
通过垂直平面偏振器（3）之后，光子处于垂直偏振纯态（4），密度矩阵为
${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&0\\\end{bmatrix}}}$ 。

量子力学

在量子力学当中，纯态由一个相同统计系综(ensemble)所构成，而相对于纯态的混态(mixed state)则可以分解两个以上的系综。在量子力学中有诸多表示型(formalism)，一个量子态可由密度矩阵或称密度算符表示，区分纯态和混态的方法即可由此得之。纯态S可用狄拉克符号的右括向量表示：

${\displaystyle S=|\Psi \rangle }$

或写成密度矩阵表示型则为：

${\displaystyle S=\rho =|\Psi \rangle \langle \Psi |}$

给定的量子态对应不同的右矢（相差一个相位），${\displaystyle |\Psi '\rangle =e^{i\phi }|\Psi \rangle }$，但对应唯一的密度矩阵${\displaystyle \rho }$，从这个角度说，密度矩阵表示更为经济^[1]。由此推广，可以用密度矩阵表示定义更一般的态，

${\displaystyle S=\rho =\sum _{i=1}^{N}c_{i}|\Psi _{i}\rangle \langle \Psi _{i}|}$

其中，${\displaystyle \{|\Psi _{i}\rangle \}}$是一组（不一定互相正交的）纯态，且${\displaystyle 0<c_{i}\leq 1}$并满足${\displaystyle \displaystyle {\textstyle \sum _{i}}c_{i}=1}$。注意数${\displaystyle N}$并不受希尔伯特空间维数的限制。

混态

对于密度矩阵${\displaystyle \rho }$表述的量子态，若其不能写作纯态的密度矩阵（其中${\displaystyle N=1}$且${\displaystyle c_{1}=1}$），则称作混态。

区分纯态与混态

区分纯态与混态的方法要利用到${\displaystyle tr(\rho )\,}$。${\displaystyle tr(\rho )\,}$表示对矩阵${\displaystyle \rho \,}$取对角线元素和(trace)，将纯态和混态做归一化动作，使得${\displaystyle tr(\rho )\,}$之值皆会是1。

而两者不同处在于${\displaystyle tr(\rho ^{2})\,}$：归一化过的纯态${\displaystyle tr(\rho ^{2})=tr(\rho )=1\,}$，而归一化过的混态则${\displaystyle tr(\rho ^{2})<1\,}$，和${\displaystyle tr(\rho )=1\,}$不同，由此得以辨别出纯态与混态。

举例

${\displaystyle \rho _{1}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}}$为纯态，${\displaystyle \rho _{2}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&0\\0&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}}$为混态

${\displaystyle \Rightarrow tr(\rho _{1})=tr(\rho _{2})={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}=1}$

${\displaystyle \rho _{1}^{2}=\rho _{1}*\rho _{1}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}}$； ${\displaystyle \rho _{2}^{2}=\rho _{2}*\rho _{2}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}&0\\0&{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}}$。

${\displaystyle \Rightarrow tr(\rho _{1}^{2})=tr(\rho _{1})={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}=1}$；${\displaystyle tr(\rho _{2}^{2})={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}={\frac {1}{2}}\neq tr(\rho _{2})=1}$

量子退相干现象的过程中，与环境的相互作用会让密度矩阵的非对角线元素(off-diagonal elements)随时间衰减到0。也就是说在这个例子，随着时间${\displaystyle t\,}$逐渐增加，原本纯态，

${\displaystyle \rho _{1}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}e^{-{\frac {t}{T_{2}}}}\\{\frac {1}{2}}e^{-{\frac {t}{T_{2}}}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}\Rightarrow \rho _{1}(t=0)={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}}$

演化为混态，

${\displaystyle {\overset {t\rightarrow \infty }{\to }}\rho _{2}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&0\\0&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}}$

泛函分析

参阅

• 密度矩阵

参考资料

1. {S. VanEnk, "Mixed states and pure states," [Online Note]. University of Oregon. Available: https://pages.uoregon.edu/svanenk/solutions/Mixed_states.pdf （页面存档备份，存于互联网档案馆） [Accessed: September 25, 2023]}