欧拉函数

此条目的主题是小于等于n的正整数中与n互质的数的数目。关于形式为${\displaystyle \phi (q)=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k})}$的函数，请见“欧拉函数 (复变函数)”。

在数论中，对正整数n，欧拉函数${\displaystyle \varphi (n)}$是小于等于n的正整数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为φ函数（由高斯所命名）或是欧拉总计函数^[1]（totient function，由西尔维斯特所命名）。

当n为1至1000的整数时${\displaystyle \varphi (n)}$的值

例如${\displaystyle \varphi \left(8\right)=4}$，因为1、3、5和7均与8互质。

欧拉函数实际上是模n的同余类所构成的乘法群（即环${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$的所有单位元组成的乘法群）的阶。这个性质与拉格朗日定理一起构成了欧拉定理的证明。

历史：欧拉函数与费马小定理

1736年，欧拉证明了费马小定理^[2]：

假若 ${\displaystyle p}$ 为质数，${\displaystyle a}$ 为任意正整数，那么 ${\displaystyle a^{p}-a}$ 可被 ${\displaystyle p}$ 整除。

然后欧拉予以一般化：

假若 ${\displaystyle a}$ 与 ${\displaystyle n}$ 互质，那么 ${\displaystyle a^{\varphi (n)}-1}$ 可被 ${\displaystyle n}$ 整除。亦即，${\displaystyle a^{\varphi (n)}\equiv 1{\pmod {n}}}$。

其中 ${\displaystyle \varphi (n)}$ 即为欧拉总计函数。如果 ${\displaystyle n}$ 为质数，那么 ${\displaystyle \varphi (n)=n-1}$，因此，有高斯的版本^[3]：

假若 ${\displaystyle p}$ 为质数，${\displaystyle a}$ 与 ${\displaystyle p}$ 互质（${\displaystyle a}$ 不是 ${\displaystyle p}$ 的倍数），那么 ${\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}$。

欧拉函数的值

以下为${\displaystyle n}$ 为${\displaystyle 1}$至${\displaystyle 100}$时，对应${\displaystyle \varphi (n)}$ 的值

φ(n) for 1 ≤ n ≤ 100

+	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	1	1	2	2	4	2	6	4	6	4
10	10	4	12	6	8	8	16	6	18	8
20	12	10	22	8	20	12	18	12	28	8
30	30	16	20	16	24	12	36	18	24	16
40	40	12	42	20	24	22	46	16	42	20
50	32	24	52	18	40	24	36	28	58	16
60	60	30	36	32	48	20	66	32	44	24
70	70	24	72	36	40	36	60	24	78	32
80	54	40	82	24	64	42	56	40	88	24
90	72	44	60	46	72	32	96	42	60	40

若${\displaystyle n}$有标准分解${\displaystyle p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{r}^{k_{r}}}$（其中各${\displaystyle p_{i}}$为互异的质因子，各${\displaystyle k_{i}\geq 1}$为质因子的次数），则欧拉函数在该处的值为

${\displaystyle \varphi (n)=p_{1}^{k_{1}-1}p_{2}^{k_{2}-1}\cdots p_{r}^{k_{r}-1}(p_{1}-1)(p_{2}-1)\cdots (p_{r}-1),}$

亦可等价地写成

${\displaystyle \varphi (n)=n\left(1-{\frac {1}{p_{1}}}\right)\left(1-{\frac {1}{p_{2}}}\right)\cdots \left(1-{\frac {1}{p_{r}}}\right).}$

此结果可由${\displaystyle \varphi }$在质数幂处的取值，以及其积性得到。

质数幂处取值

最简单的情况有${\displaystyle \varphi (1)=1}$（小于等于1的正整数中唯一和1互质的数就是1本身）。

一般地，若n是质数p的k次幂，则${\displaystyle \varphi (n)=\varphi (p^{k})=p^{k}-p^{k-1}=(p-1)p^{k-1}}$，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。

积性

欧拉函数是积性函数，即是说若m,n互质，则${\displaystyle \varphi (mn)=\varphi (m)\varphi (n)}$。使用中国剩余定理有较简略的证明：设A, B, C是跟m, n, mn互质的数的集，据中国剩余定理，${\displaystyle A\times B}$和${\displaystyle C}$可建立双射（一一对应）关系，因此两者元素个数相等。

较详细的证明如下：

设${\displaystyle N<mn}$，且${\displaystyle N=k_{1}m+p=k_{2}n+q}$。若${\displaystyle N}$与${\displaystyle mn}$互质，则${\displaystyle N}$与${\displaystyle m}$、${\displaystyle n}$均互质。又因为${\displaystyle (k_{1}m+p,m)=(p,m),(k_{2}n+q,n)=(q,n)}$，若${\displaystyle p,q}$分别与${\displaystyle m,n}$互质，则${\displaystyle N}$一定和${\displaystyle mn}$互质。反之亦然，即若${\displaystyle N}$与${\displaystyle mn}$互质，则亦有${\displaystyle p,q}$分别与${\displaystyle m,n}$互质。

由中国剩余定理，方程组

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}N\equiv p{\pmod {m}}\\N\equiv q{\pmod {n}}\\\end{matrix}}\right.}$

的通解可以写成${\displaystyle N=kmn+pt_{1}n+qt_{2}m\ (k\in \mathbb {Z} ),}$ 其中${\displaystyle t_{1},t_{2}}$为固定的整数，故二元组${\displaystyle (p,q)}$（要满足${\displaystyle 0<p\leq m,\ 0<q\leq n,\ (p,m)=1,\ (q,n)=1}$）与小于${\displaystyle mn}$且与${\displaystyle mn}$互质的正整数${\displaystyle N}$一一对应。

由${\displaystyle \varphi }$的定义（和乘法原理），前一种数对${\displaystyle (p,q)}$的个数为${\displaystyle \varphi (m)\varphi (n)}$。而后一种数${\displaystyle N}$的个数为${\displaystyle \varphi (mn)}$。

所以，${\displaystyle \varphi (mn)=\varphi (m)\varphi (n).}$

公式的证明

结合以上两小节的结果可得：若${\displaystyle n}$有质因数分解式${\displaystyle n=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{r}^{k_{r}}}$，则

${\displaystyle \quad {\begin{aligned}\varphi (n)&=\varphi \left(\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{k_{i}}\right)\\&=\prod _{i=1}^{r}\varphi \left(p_{i}^{k_{i}}\right)&{\text{（ 积 性 ）}}\\&=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{k_{i}-1}(p_{i}-1)&{\text{（ 质 数 幂 处 取 值 ）}}\\&=n\prod _{i=1}^{r}\left(1-{\frac {1}{p_{i}}}\right).\end{aligned}}}$

例子

计算${\displaystyle 72=2^{3}\times 3^{2}}$的欧拉函数值：

${\displaystyle \varphi (72)=\varphi (2^{3}\times 3^{2})=2^{3-1}(2-1)\times 3^{2-1}(3-1)=2^{2}\times 1\times 3\times 2=24.}$

性质

n的欧拉函数${\displaystyle \varphi (n)}$ 也是循环群 C_n 的生成元的个数（也是n阶分圆多项式的次数）。C_n 中每个元素都能生成 C_n 的一个子群，即必然是某个子群的生成元。而且按照定义，不同的子群不可能有相同的生成元。此外， C_n 的所有子群都具有 C_d 的形式，其中d整除n（记作d | n）。因此只要考察n的所有因数d，将 C_d 的生成元个数相加，就将得到 C_n 的元素总个数：n。也就是说：

${\displaystyle \sum _{d\mid n}\varphi (d)=n}$

其中的d为n的正约数。

运用默比乌斯反转公式来“翻转”这个和，就可以得到另一个关于${\displaystyle \varphi (n)}$的公式：

${\displaystyle \varphi (n)=\sum _{d\mid n}d\cdot \mu (n/d)}$

其中 μ 是所谓的默比乌斯函数，定义在正整数上。

对任何两个互质的正整数a, m（即 gcd(a,m) = 1），${\displaystyle m\geq 2}$，有

${\displaystyle a^{\varphi (m)}\equiv 1{\pmod {m}}}$

即欧拉定理。

这个定理可以由群论中的拉格朗日定理得出，因为任意与m互质的a都属于环 ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ 的单位元组成的乘法群${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ^{\times }}$

当m是质数p时，此式则为：

${\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}$

即费马小定理。

欧拉商数

欧拉商数（totient number）指的是欧拉函数的值，也就是说，若m是一个欧拉商数，那至少存在一个n，使得φ(n) = m。而欧拉商数m的“重复度”（valency或multiplicity），指的是这等式的解数。^[4]相对地，一个非欧拉商数指的是不是欧拉商数的自然数。显然所有大于1的奇数都是非欧拉商数，此外也存有无限多的偶数是非欧拉商数，^[5]且所有的正整数都有一个倍数是非欧拉商数。^[6]

不大于x的欧拉商数个数可由以下公式给出：

${\displaystyle {\frac {x}{\log x}}e^{{\big (}C+o(1){\big )}(\log \log \log x)^{2}}}$

其中C = 0.8178146...。^[7]

考虑重复度，那么不大于x的欧拉商数个数可由以下公式给出：

${\displaystyle {\Big \vert }\{n:\varphi (n)\leq x\}{\Big \vert }={\frac {\zeta (2)\zeta (3)}{\zeta (6)}}\cdot x+R(x)}$

其中对任意正数k而言，误差项R至多与x/(log x)^k成比例。^[8]

目前已知对于任意的δ < 0.55655而言，有无限多个m，其重复度超过m^δ。^[9][10]

Ford定理

Ford (1999) harvtxt模板错误: 无指向目标: CITEREFFord1999 (帮助)证明说对于任意整数k ≥ 2而言，总存在一个欧拉商数m，其重复度为k，也就是说总有数字使得这等式φ(n) = m有刚好k个解。这结果由瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基所猜测，^[11]且是Schinzel猜想H（英语：Schinzel's hypothesis H）的一个结果。^[7]事实上，对于任何出现的重复度而言，该重复度会出现无限多次。^[7][10]

然而，没有任何数字m的重复度为k = 1。卡迈克尔猜想的欧拉函数猜想（英语：Carmichael's totient function conjecture）讲的是没有m的重复度为k = 1。^[12]

完全欧拉商数

主条目：完全欧拉商数

完全欧拉商数（perfect totient number）是一个等同于其欧拉函数迭代总和的整数，也就是说，如果将欧拉函数套用在一个正整数${\displaystyle n}$之后，并将欧拉函数套用在如此所得的结果上，如此下去，直到最后得到1为止，并将这一系列的数给加总起来。若这总和为${\displaystyle n}$，那么${\displaystyle n}$就是一个完全欧拉商数。

生成函数

以下两个由欧拉函数生成的级数都是来自于上节所给出的性质：${\displaystyle \sum _{d|n}\varphi (d)=n}$。

由${\displaystyle \varphi }$(n)生成的狄利克雷级数是：

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}.}$

其中ζ(s)是黎曼ζ函数。推导过程如下：

${\displaystyle \zeta (s)\sum _{f=1}^{\infty }{\frac {\varphi (f)}{f^{s}}}=\left(\sum _{g=1}^{\infty }{\frac {1}{g^{s}}}\right)\left(\sum _{f=1}^{\infty }{\frac {\varphi (f)}{f^{s}}}\right)}$

${\displaystyle .\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sum _{h=1}^{\infty }\left(\sum _{fg=h}1\cdot \varphi (g)\right){\frac {1}{h^{s}}}}$

${\displaystyle .\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sum _{h=1}^{\infty }\left(\sum _{fg=h}\varphi (g)\right){\frac {1}{h^{s}}}=\sum _{h=1}^{\infty }\left(\sum _{d|h}\varphi (d)\right){\frac {1}{h^{s}}}}$

使用开始时的等式，就得到：${\displaystyle \sum _{h=1}^{\infty }\left(\sum _{d|h}\varphi (d)\right){\frac {1}{h^{s}}}=\sum _{h=1}^{\infty }{\frac {h}{h^{s}}}}$

于是${\displaystyle \sum _{h=1}^{\infty }{\frac {h}{h^{s}}}=\zeta (s-1)}$

欧拉函数生成的朗贝级数如下：

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)q^{n}}{1-q^{n}}}={\frac {q}{(1-q)^{2}}}}$

其对于满足 |q|<1 的q收敛。

推导如下：

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\varphi (n)\sum _{r\geq 1}q^{rn}}$

后者等价于：

${\displaystyle \sum _{k\geq 1}q^{k}\sum _{n|k}\varphi (n)=\sum _{k\geq 1}kq^{k}={\frac {q}{(1-q)^{2}}}.}$

欧拉函数的走势

随着n变大，估计${\displaystyle \varphi (n)}$ 的值是一件很难的事。当n为质数时，${\displaystyle \varphi (n)=n-1}$，但有时${\displaystyle \varphi (n)}$又与n差得很远。

在n足够大时，有估计：

对每个 ε > 0，都有n > N(ε)使得 ${\displaystyle \,n^{1-\varepsilon }<\varphi (n)<n}$

如果考虑比值：

${\displaystyle \,\varphi (n)/n,}$

由以上已经提到的公式，可以得到其值等于类似${\displaystyle 1-p^{-1}}$的项的乘积。因此，使比值小的n将是两两不同的质数的乘积。由素数定理可以知道，常数 ε 可以被替换为：

${\displaystyle C\,\log \log n/\log n.}$

${\displaystyle \varphi }$就平均值的意义上来说是与n很相近的，因为：

${\displaystyle {\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}\varphi (k)={\frac {3}{\pi ^{2}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {\log n}{n}}\right)}$

其中的O表示大O符号。这个等式也可以说明在集合 {1, 2, ..., n} 中随机选取两个数，则当n趋于无穷大时，它们互质的概率趋于 ${\displaystyle 6/\pi ^{2}}$ 。一个相关的结果是比值${\displaystyle \varphi (n)/n}$的平均值：

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {\varphi (k)}{k}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {\log n}{n}}\right).}$

其他与欧拉函数有关的等式

1. ${\displaystyle \;\varphi \left(n^{m}\right)=n^{m-1}\varphi (n)}$
2. ${\displaystyle \forall a\in N,\forall n\in N,\ \exists l\in N}$ 使得 ${\displaystyle [(a>1\land n>1)\rightarrow (l|\varphi (a^{n}-1)\land l\geq n)]}$
3. ${\displaystyle \forall a\in N,\forall n\in N,\ \exists l\in N}$ 使得 ${\displaystyle [(a>1\land n>6\land 4\nmid n)\rightarrow (l|\varphi (a^{n}-1)\land l\geq 2n)]}$
4. ${\displaystyle \sum _{d\mid n}{\frac {\mu ^{2}(d)}{\varphi (d)}}={\frac {n}{\varphi (n)}}}$
5. ${\displaystyle \sum _{1\leq k\leq n \atop (k,n)=1}\!\!k={\frac {1}{2}}n\varphi (n){\text{ for }}n>1}$
6. ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\varphi (k)={\frac {1}{2}}\left(1+\sum _{k=1}^{n}\mu (k)\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor ^{2}\right)}$
7. ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {\varphi (k)}{k}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\mu (k)}{k}}\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor }$
8. ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {k}{\varphi (k)}}={\mathcal {O}}(n)}$
9. ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{\varphi (k)}}={\mathcal {O}}(\log(n))}$

与欧拉函数有关的不等式

1. ${\displaystyle \varphi (n)>{\frac {n}{e^{\gamma }\;\log \log n+{\frac {3}{\log \log n}}}}}$，其中n > 2，γ 为欧拉-马歇罗尼常数。
2. ${\displaystyle \varphi (n)\geq {\sqrt {\frac {n}{2}}}}$ ，其中n > 0。
3. 对整数n > 6，${\displaystyle \varphi (n)\geq {\sqrt {n}}}$。
4. 当n为质数时，显然有${\displaystyle \varphi (n)=n-1}$。对于合数的n，则有：

${\displaystyle \varphi (n)\leq n-{\sqrt {n}}}$

未解决问题

莱默的欧拉函数问题

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若p是质数，则有φ(p) = p − 1。1932年，德里克·亨利·莱默问说是否有合成数n使得φ(n) 整除n − 1。目前未知是否有这样的数存在。^[13]

1933年莱默证明说若有这样的${\displaystyle n}$，那么${\displaystyle n}$必然是奇数、必然是无平方因子数，且必然有至少七个不同的质因数（${\displaystyle \omega (n)\geq 7}$）。1980年，Cohen和Hagis证明了说，若这样的${\displaystyle n}$存在，则${\displaystyle n>10^{20}}$且${\displaystyle n}$有至少14个不同的质因数（${\displaystyle \omega (n)\geq 14}$）；^[14]此外，Hagis证明了说若这样的${\displaystyle n}$存在且可被3除尽，那么${\displaystyle n>10^{1937042}}$且${\displaystyle n}$有至少298848个不同的质因数（${\displaystyle \omega (n)\geq 298848}$）。^[15][16]

卡迈克尔猜想的欧拉函数猜想

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此猜想认为说不存在正整数n，使得对于所有其他的m而言，在m ≠ n的状况下必有φ(m) ≠ φ(n)。可见上述Ford定理一节的说明。

若有一个如此的反例存在，就必有无限多的反例存在，而最小的可能反例，在十进制下，其位数超过一百亿。^[4]

黎曼猜想

黎曼猜想成立，当且仅当以下不等式对所有的n ≥ p₁₂₀₅₆₉#成立。此处的p₁₂₀₅₆₉#是最初的120569个质数的乘积：

${\displaystyle {\frac {n}{\varphi (n)}}<e^{\gamma }\log \log n+{\frac {e^{\gamma }(4+\gamma -\log 4\pi )}{\sqrt {\log n}}}}$

此处的γ是欧拉常数。^[17]

程式代码

C++

template <typename T>
inline T phi(T n) {
    T ans = n;
    for (T i = 2; i * i <= n; ++i)
        if (n % i == 0) {
            ans = ans / i * (i - 1);
            while (n % i == 0) n /= i;
        }
    if (n > 1) ans = ans / n * (n - 1);
    return ans;
}

参考来源

• Milton Abramowitz、Irene A. Stegun， Handbook of Mathematical Functions， (1964) Dover Publications , New York. ISBN 0-486-61272-4. 24.3.2节.

• Eric Bach、Jeffrey Shallit， Algorithmic Number Theory, 卷 1, 1996, MIT Press. ISBN 0-262-02405-5, 8.8节，234页.

• Kevin Ford, The number of solutions of φ(x)=m, Ann. of Math. 150(1999), 283--311. （页面存档备份，存于互联网档案馆）

• 柯召，孙琦：数论讲义（上册），第二版，高等教育出版社，2001

文献来源

参考资料

1. Where does the word “totient” come from?. [2014-10-16]. （原始内容存档于2014-10-12）.
2. Mathematical Thought From Ancient to Modern Times, 第 2 卷，p.608
3. Mathematical Thought From Ancient to Modern Times, 第 3 卷，p.814
4. Guy (2004) p.144
5. Sándor & Crstici (2004) p.230
6. Zhang, Mingzhi. On nontotients. Journal of Number Theory. 1993, 43 (2): 168–172. ISSN 0022-314X. Zbl 0772.11001. doi:10.1006/jnth.1993.1014 .
7. Ford, Kevin. The distribution of totients. Ramanujan J. Developments in Mathematics. 1998, 2 (1–2): 67–151. ISBN 978-1-4419-5058-1. ISSN 1382-4090. Zbl 0914.11053. arXiv:1104.3264 . doi:10.1007/978-1-4757-4507-8_8.
8. Sándor et al (2006) p.22
9. Sándor et al (2006) p.21
10. Guy (2004) p.145
11. Sándor & Crstici (2004) p.229
12. Sándor & Crstici (2004) p.228
13. Ribenboim, pp. 36–37.
14. Cohen, Graeme L.; Hagis, Peter Jr. On the number of prime factors of n if φ(n) divides n − 1. Nieuw Arch. Wiskd. III Series. 1980, 28: 177–185. ISSN 0028-9825. Zbl 0436.10002.
15. Hagis, Peter Jr. On the equation M·φ(n) = n − 1. Nieuw Arch. Wiskd. IV Series. 1988, 6 (3): 255–261. ISSN 0028-9825. Zbl 0668.10006.
16. Guy (2004) p.142
17. Broughan, Kevin. Equivalents of the Riemann Hypothesis, Volume One: Arithmetic Equivalents First. Cambridge University Press. 2017. ISBN 978-1-107-19704-6. Corollary 5.35