欧拉函数 (复变函数)

在数学上，欧拉函数的定义如下

${\displaystyle \phi (q)=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k})}$

复数平面上欧拉函数φ的绝对值，黑色部分的值为0，红黑色部分的值为4

此函数得名由莱昂哈德·欧拉。欧拉函数是典型的q级数及模形式函数，也是描述组合数学及复分析之间关系的典型范例。

性质

欧拉函数的的倒数${\displaystyle 1/\phi (q)}$展开成形式幂级数，其对应的系数${\displaystyle p(k)}$恰好是k的分割函数，亦即

${\displaystyle {\frac {1}{\phi (q)}}=\sum _{k=0}^{\infty }p(k)q^{k}}$

其中${\displaystyle p(k)}$为k的分割函数。

五边形数定理是一个有关欧拉函数的恒等式，其定理如下：

${\displaystyle \phi (q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{(3n^{2}-n)/2}.}$

其中${\displaystyle (3n^{2}-n)/2}$为广义五边形数。

依拉马努金恒等式（Ramanujan identity），欧拉函数和戴德金η函数有以下的关系：

${\displaystyle \phi (q)=q^{-{\frac {1}{24}}}\eta (\tau )}$

其中${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$是nome（英语：nome (mathematics)）的平方。

上述二个函数都有模群（英语：modular group）下的对称性。

参照

• 欧拉函数（也称为欧拉商数）

参考资料

• Apostol, Tom M., Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, 1976, ISBN 978-0-387-90163-3, MR0434929