约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（德语：Johann Carl Friedrich Gaußⓘ，1777年4月30日—1855年2月23日），德国数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。目前普遍认为他是有史以来最伟大的数学家之一，并享有“首席数学家”（拉丁语：Princeps mathematicorum[1][注 1][注 2]）的美誉。因为高斯于数学发展有重大贡献，后世也尊称其为“数学王子”。
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| 约翰·卡尔·弗里德里希·高斯 Carl Friedrich Gauß | |
|---|---|
 卡尔·弗里德里希·高斯的画像，由Christian Albrecht Jensen创作 | |
| 出生 | 1777年4月30日 不伦瑞克-沃尔芬比特尔亲王国布兰斯威 |
| 逝世 | 1855年2月23日（77岁） 德意志邦联汉诺威王国哥廷根 |
| 居住地 | 汉诺威王国 |
| 国籍 | 汉诺威王国 |
| 母校 | 黑尔姆斯特大学 |
| 奖项 | 科普利奖章（1838年） |
| 科学生涯 | |
| 研究领域 | 数学、物理学、天文学、大地测量学 |
| 机构 | 哥廷根大学 |
| 博士导师 | 约翰·弗里德里希·普法夫 |
| 其他指导者 | 马丁·巴特尔斯 |
| 博士生 | 克里斯托夫·古德曼 克里斯蒂安·路德维希·格林 理查·戴德金 利斯廷 波恩哈德·黎曼 克里斯蒂安·彼得斯 莫里兹·贝内迪克特·康托尔 |
| 其他著名学生 | 约翰·弗朗茨·恩克 狄利克雷 费迪南·艾森斯坦 Carl Wolfgang Benjamin Goldschmidt 古斯塔夫·基尔霍夫 恩斯特·库默尔 奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯 L. C. Schnürlein 尤利乌斯·威斯巴哈 |
| 施影响于 | 索菲·热尔曼 Ferdinand Minding |
| 签名 | |
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生平
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1777年4月30日，约翰·卡尔·弗里德里希·高斯出生在不伦瑞克-沃尔芬比特尔亲王国（现为德国的下萨克森州）布兰斯威市的一个清寒家庭。[2][3]高斯的父亲是格布哈德·迪特里希·高斯（Gebhard Dietrich Gauss，1744–1808），格布哈德1768年与其第一任妻子结婚，但第一任妻子1775年死于肺结核，终年30岁。之后他于1776年与高斯的母亲结婚。格布哈德从事过多种工作如屠夫、砖匠、园丁等。高斯的母亲多萝西娅（Dorothea，1743–1839）没有受过学校教育，近乎是文盲，但她聪明、性格开朗且坚强，她婚前曾当过7年女仆。高斯曾描述其父亲“在许多方面值得尊敬，也确实受人尊重，但在家里却独断专横，粗野而无教养”，描述她的母亲为一位“杰出的女性”。多萝西娅有一个弟弟（即高斯的舅父）约翰·弗里德里希（Johann Friedrich）是位技术精湛的艺术家，他意识到了侄子高斯的天赋异禀，便不时尽自己所能指点高斯。1809年舅父离世时，高斯经常说“一个天生的天才就这样离去了”。父亲格布哈德曾力图让高斯走他的老路，成为一名石匠或园丁，不支持高斯接受教育，不过母亲和舅父都意识到了高斯的天赋，极力支持和拥护高斯通过教育来发展才能。[4] [5]
高斯是数学领域的神童，当高斯的小学老师比特纳（J. G. Büttner）和其助手约翰·克里斯蒂安·马丁·巴特尔斯意识到他天赋异禀，便向普鲁士元帅不伦瑞克-吕讷堡公爵介绍高斯的才能。公爵也很快意识到高斯的才能，便把高斯送往卡罗琳学院并给予经济支持，1792年至1795年间，高斯在此就读，其中有一位老师是埃伯哈德·奥古斯特·威廉·冯·齐默尔曼。此后直至1798年，公爵继续给予和资助高斯在哥廷根大学进修，高斯在此学习数学、自然科学和古典学。[6][7]
高斯是一名在校学生，更是一位自学成才的学生，他自己发现了几个已被发现的重要数学定理。他于1796年解决了自古希腊时期起就困扰着数学家的几何问题：他证明了可以通过尺规作图画出某些正多边形（即可作图多边形），他将此发现写于他的第一份出版物中，这一发现也使得高斯以数学而非文学为自己的事业。高斯对这一发现极为满意，他曾向他的挚友匈牙利数学家鲍耶·亚诺什表示，要在自己的墓碑上刻一个正17边形，但后来在布兰斯威建高斯纪念碑时，石匠说所有人会把刻的正17边形看作圆，因此只在纪念碑基座背面刻了17点的星形。[8][9][10]1796年也是高斯大显身手的一年，在高斯的数学日记（Mathematisches Tagebuch）中，记于3月30日的第一条即为构造正17边形的方法，其他的条目有：进一步改良了模运算的方法，大大的简化了在整数上的运算；4月8日，给出了二次互反律的第一个证明；5月13日，猜测素数在整数中的分布即素数定理，此猜想于1896年由法国数学家雅克·阿达马和比利时数学家德·拉·瓦莱布桑各自给出严格证明；7月10日，他在日记中记下：“ΕΥΡΗΚΑ！num =Δ+Δ'+Δ”，即每个正整数都可以表示为三个三角形数的和。从这年起，高斯对其数学巨著《算术研究》（Disquisitiones arithmeticae）萌生了许多想法。
1798年，高斯完成了他的巨作《算术研究》，该作直到1801年才正式出版。
晚年的高斯虽然患有痛风，但仍然思维活跃。62岁时，他开始自学俄语，可能是为了阅读俄罗斯数学家罗巴切夫斯基关于非欧几里得几何的著作。[11] 他的最后一次天文观测是对于1851年7月28日的日食（时年74岁）。[12]1855年2月23日凌晨一点零五分，77岁的高斯因心脏病发作，在哥廷根天文台的躺椅上去世。[13]高斯被安葬在哥廷根的阿尔巴尼公墓。高斯的女婿埃瓦尔德（即高斯的女儿威廉明娜的配偶）和高斯的学生兼挚友萨托里尔斯在高斯的葬礼上致悼词。
贡献
高斯在其1799年的博士论文中清晰地阐明了复数的概念和应用，并且严格证明了代数基本定理，该定理指出任何一个一元复系数多项式方程都至少有一个复数根，在此之前，包括让·勒朗·达朗贝尔在内的数学家作出了对此定理错误的证明，高斯的论文也包含对达朗贝尔证明的指正[14]。
从高斯的数学日记中的条目可知，他至少已于1796年开始研究数论问题，其中他的一些发现已经由其他学者先于其完成。1798年（时年21岁）至1799年[13]，高斯在《算术研究》一教材中对所有上述这些成果进行了汇编，这本书也使得数论得以严谨化和系统化，其中涵盖了初级和代数数论。在这本教材的主要章节，高斯给出了二次互反律的两个证明方法，这成为数论继续发展的重要基础。这部著作的第一章，引入同余的概念，并用符号≡表示。他还证明了费马多边形数定理的三角形数的情况。在最后一章中，高斯将一个几何问题转化为代数问题，他断言正多边形能用尺规作图（这时称为可作图多边形）当且仅当该正多边形的边数是2的非负整数次幂和任意个（可为0个）相异费马素数的乘积，高斯给出了这一命题充分性的证明，但没有给出必要性的证明。[15]必要性的严格证明由法国数学家皮埃尔·洛朗·旺策尔于1837年给出。[16]
高斯可能在1801年就知晓了类数公式[17]，同年，他发表了关于有限域中系数多项式的解的数量的结论，150年后促成了韦尔猜想。此外他还研究了连分数，发现了素数分布规律即质数定理，和证明了费马大定理n=5的情形[18]和正则排列的开普勒猜想。
通过对足够多的测量数据的处理后，可以得到一个新的、概率性质的测量结果。在这些基础之上，高斯随后专注于曲面与曲线的计算，并成功得到高斯钟形曲线（正态分布曲线）。其函数被命名为标准正态分布（或高斯分布），并在概率论中大量使用。
高斯推导了寻找复活节日期和逾越节日期的计算方法。1805年，他在计算小行星帕拉斯（Pallas）和朱诺（Juno）的轨道时，发现了用于计算离散傅里叶变换的库利-图基快速傅里叶变换算法，比詹姆斯·库利和约翰·图基早160年，之后他将其延伸为三角插值法。[19]
1796年（时年19岁），高斯给出了仅用尺规作图构造出正17边形的方法，这是2000多年来正多边形尺规作图的首次进展。[20]
非欧几何方面。高斯称其发现了非欧几何的可能性，事实上他确是正真预见并具有相当完整的非欧几何想法的第一人，但他并没有正式发表过相关内容[21]。1829年之前高斯给其他数学家的信件中，他模糊地讨论了平行公设的问题，邓宁顿认为，在鲍耶·亚诺什发表非欧几何之前，高斯实际上已经完全掌握了非欧几何，但是他拒绝发表任何东西，因为他害怕引起争议。[22][23]“非欧几何”一词由他创造[24]，这一发现是几何领域的革命性转变，因为它使数学家摆脱了错误的观念，即欧几里得公理是使几何学一致且无矛盾的唯一方法。对非欧几何的研究促成了爱因斯坦的广义相对论，后者将宇宙描述为非欧几里得空间。
1818年至1826年间，高斯主导了汉诺威公国的大地测量工作。通过最小二乘法为基础的测量平差的方法和求解线性方程组的方法，显著地提高了测量的精度。
高斯在最小二乘法基础上创立的测量平差理论的帮助下，测算天体的运行轨迹。他用这种方法，测算出了小行星谷神星的运行轨迹。
谷神星于1801年被意大利天文学家皮亚齐发现，但因病他耽误了观测，从而失去了这颗小行星的轨迹。皮亚齐以希腊神话中的“丰收女神”对它命名，称为谷神星，并将自己以前观测的数据发表出来，希望全球的天文学家一起寻找。高斯通过以前3次的观测数据，计算出了谷神星的运行轨迹。奥地利天文学家海因里希·欧伯斯根据高斯计算出的轨道成功地发现了谷神星。高斯将这种方法发表在其著作《天体运动论》（拉丁语：Theoria Motus Corporum Coelestium in sectionibus conicis solem ambientium）中。
高斯亲自参加野外测量工作。他白天观测，夜晚计算。在五到六年间，经他亲自计算过的大地测量数据超过100万个。当高斯领导的三角测量外场观测走上正轨后，高斯把主要精力转移到处理观测成果的计算上，写出了近20篇对现代大地测量学具有重大意义的论文。在这些论文中，他推导了由椭圆面向圆球面投影时的公式，并作出了详细证明。这个理论直至现在仍有应用的价值。
汉诺威公国的大地测量工作至1848年结束。这项大地测量史上的巨大工程，如果没有高斯在理论上的仔细推敲，在观测上力图合理和精确，在数据处理上尽量周密和细致，就不能圆满的完成。在当时的不发达的条件下，布设了大规模的大地控制网，精确地确定2578个三角点的大地坐标。
为了用椭圆在球面上的正形投影理论以解决大地测量中出现的问题，在这段时间内高斯亦从事了曲面和投影的理论，并成为了微分几何的重要理论基础。相对论证明了宇宙空间实际上是非欧几何的空间。高斯的思想被近100年后的物理学所认可。
高斯试图在汉诺威公国的大地测量中通过测量Harz的Brocken——Thüringer Wald的Inselsberg——哥廷根的Hohen Hagen三个山头所构成的三角形的内角和，以验证非欧几何的正确性，但未成功。后来高斯朋友的儿子鲍耶·亚诺什在1823年证明了非欧几何的存在，高斯对他勇于探索的精神表示了赞扬。1840年，俄国学者罗巴切夫斯基用德文写了《平行线理论的几何研究》一文，这篇论文的发表引起了高斯的注意。他非常重视这一论证，积极建议哥廷根大学聘请罗巴切夫斯基为通信院士。为了能直接阅读他的著作，从这一年开始，63岁的高斯开始学习俄语，并最终掌握了这门外语。高斯、亚诺什和罗巴切夫斯基后来被并称为微分几何的始祖。
出于对实际应用的兴趣，高斯发明了日光反射仪。日光反射仪可以将光束反射至大约450公里外的地方。高斯后来不止一次地为原先的设计作出改进，试制成功了后来被广泛应用于大地测量的镜式六分仪。
19世纪30年代，高斯发明了磁强计。他辞去了天文台的工作，而转向物理的研究。他与物理学家威廉·爱德华·韦伯（1804－1891年）在电磁学领域共同工作。他比韦伯年长27岁，以亦师亦友的身份与其合作。1833年，通过受电磁影响的罗盘指针，他向韦伯发送出电报。这不仅是从韦伯的实验室与天文台之间的第一个电话电报系统，也是世界首创的第一个电话电报系统。
1840年，他和韦伯画出了世界第一张地球磁场图，并且定出了地球磁南极和磁北极的位置。次年，这些位置得到美国科学家的证实。
高斯在数个领域进行研究，但只把他认为已经成熟的理论发表出来。他经常对他的同事表示，该同事的结论自己以前已经证明过了，只是因为基础理论的不完备而没有发表。事实上高斯把他的研究结果都记录了起来。他死后，他的20部纪录着他的研究结果和想法的笔记被发现，证明高斯所说的是事实。一般人认为，20部笔记并非高斯笔记的全部。
婚姻与家庭
1805年10月9日，高斯与其第一任妻子约翰娜·奥斯托夫（Johanna Osthoff，1780-1809 ）结婚[25]，并和其育有两子一女：约瑟夫（Joseph，1806-1873）、威廉明娜（Wilhelmina，1808-1840）和路易斯（Louis，1809-1810）。路易斯出生一个月后的1809 年10月11日，高斯的妻子逝世，几个月后路易斯也不幸夭折。高斯对妻子的离去十分悲痛，他用古老的旋律风格给妻子写了一封古代哀歌式的悼词。[26][27]
之后的1810年8月4日，高斯与他的第一任妻子的朋友Friederica Wilhelmine Waldeck（又名明娜，即Minna）结婚，并和其育有另外三个孩子：欧根 (Eugen，1811-1896)、威廉 (Wilhelm，1813-1896)和特蕾莎（Therese，1816-1864）。自1818年起，明娜的健康状况下降，患上了肺结核，最终于1831年9月12日去世，终年43岁。[28]之后特蕾莎接管这个家，照顾高斯的余生。高斯的母亲自1817年起和高斯住在一起，最终于1839年去世，享年95岁。[29]
当第一任妻子逝世后，高斯变得和他父亲一样想要支配自己的子女。之后高斯与他的儿子们发生了冲突，他不希望他们中任何一个进入数学或科学的领域，唯恐“拉低家族声誉”，同时他认为他们中没有人能超越他自己的成就。[30]
当长子约瑟夫还在上学时，他就于1821年作为助手协助父亲高斯的测量工作。在大学的短暂学习后，他于1824年入伍汉诺威军队，并于1829年再次协助高斯的测量工作。1830年代后期，他负责将测量区域扩大到王国的西部地区。然而，尽管经过多年的努力，他一直处于较低的军衔（自1834年起担任中尉），薪资很微薄，还需要依赖父亲的经济支持，尤其是在1840年结婚后加剧了这种情况。之后他离开了军队，并凭借自己的测量学背景，担任了汉诺威皇家国家铁路的总监，负责铁路网的建设。1836年，约瑟夫曾花费数个月在美国研究铁路系统。[31]
欧根在算术和语言方面展现着与高斯一样出色的才能，并且他的性格活泼而时有叛逆。他想学习语文学，但高斯希望他成为一名律师。欧根负债累累，还在公众面前引发丑闻，[30]他在这种情况下于1830年9月突然离开哥廷根，经由不莱梅市移民到美国。起初，他挥霍了携带的一点钱，并且父亲高斯还拒绝给他另外的经济支持，之后他参军了五年，还在美国毛皮公司工作过，并在那里学会了苏族语。后来他移居密西西比州并成为了一名成功的商人。[31]多年来，欧根的成功才逐渐改变了他在高斯的朋友和同事中的名声。[32][33]
威廉与天文学家弗里德里希·威廉·贝塞尔的侄女结婚，并于1837年移居美国密苏里州。[34]他最初在那里是一位农民，后来在圣路易斯市的制鞋业致富。欧根和威廉在美国拥有许多后代，同时高斯的女儿们没有后代，于是德国的高斯家族仅由约瑟夫传承下来了。[31]
性格特点
高斯是个充满热情且工作认真的完美主义者，他拒绝发表他认为不完整和可能涉及争论的作品，这符合他个人的座右铭：Pauca sed matura（直译为英文是“few, but ripe”，直译为中文是“少而精”）。从他的个人日记可知，对于同时代数学家所发表的一些重大的数学成果，高斯先于他们几年或者几十年就已经发现。 英国数学家埃里克·坦普尔·贝尔曾称，如果高斯及时发表他的所有数学成果，这将使数学直接进步50年。[35]高斯通常不愿意透露他那些优雅证明背后的灵感，还细心地抹去了导致他得到这些结论的所有思考痕迹。
高斯不喜欢教学，他教授的学生不多，但一些学生却成为了具有影响力的数学家，其中包括理查·戴德金、伯恩哈德·黎曼和弗里德里希·贝塞尔。在高斯的推荐下，1811年3月哥廷根大学授予贝塞尔荣誉博士学位。此外，高斯还推荐授予与他有过一段书信往来的女性数学家索菲·热尔曼荣誉学位，但她因患乳腺癌离世未能收到。[36]
高斯在1808年9月2日写给法卡斯·博莱伊的一封信中总结了他对追求知识的观点：[37]
不是知识本身，而是学习的行为，不是拥有，而是去获得的行为，给予了我最大的乐趣。当我阐明和详尽讨论一个主题后，我就转身离开它，只为再次踏入“黑暗”。永不满足的人是如此奇怪，如果他建成了一座大厦，那不是为了安详地居住在其中，而是为了开始建造另一个。我想，世界的征服者一定有这样的感觉，在一个王国刚刚被他征服之后，他就会向其他国家伸出了双臂。[38][注 3]
轶事
高斯的母亲没有记录高斯的出生日期，但她记得是在耶稣升天节的前八天（即复活节后39天）出生的。[39]后来高斯找到一种寻找复活节日期的方法，于是通过计算得到了自己的出生日期。[40]
德国地质学家、高斯在哥廷根大学的学生和挚友萨托里尔斯写有高斯的传记，其中写道，三岁的高斯便能纠正父亲的计算错误。另外他还写了一个著名的故事：在小学时，老师比特纳和他的助手约翰·克里斯蒂安·马丁·巴特尔斯在全班布置了一道等差数列求和的练习题，全班约有一百人，高斯最先给出正确答案，并且比其他人快得多。[41][42]萨托里尔斯没有给出这个故事的具体细节，更没有给出这道题的具体内容，后来随着时间推移，这个故事出现了许多版本，也越来越详细地描述了求和题的具体内容，最广为流传的就是1至100之间所有的整数求和。[43][44][42]
高斯把数学称作“科学的皇后”[45][注 4]。据称，高斯曾经说过：如果一个学生在被告知欧拉恒等式时未能立刻视之为明显的事实，这个学生将永远不会成为一流的数学家。[46][47][48]
纪念
1989年至2001年，高斯的肖像和他所发现的正态分布曲线与哥廷根地标性建筑一起印在德国10马克的钞票中。另一方面，在汉诺威有和他有关的日光反射仪以及三角测量方法。在德国也发行了三种用以表彰高斯的邮票。第一种邮票（第725号）发行于1955年——即高斯逝世100周年；另外两种邮票（第1246号和第1811号）发行于1977年——即高斯诞辰200周年。
高斯的雕像矗立在布兰斯威和哥廷根，位于后者的与德国数学家海因里希·马丁·韦伯的纪念碑在一起。高斯的半身像放置于瓦尔哈拉神殿和位于波茨坦的德国地球科学研究中心。
下萨克森州和哥廷根大学图书馆已经将高斯的全部著作数位化，并放置于互联网上。
Daniel Kehlmann在2005年写的一本小说《测量世界》（德语：Die Vermessung der Welt，2006年出版英文版《Measuring the World》），以小说的历史镜头来探索高斯的一生和工作，借此与另一位德国地理学家亚历山大·冯·洪堡作对比。2012年，由小说改编而成的同名电影《测量世界》上映。
2007年，他的半身像被引进德国巴伐利亚州里根斯堡瓦尔哈拉神殿。[49]
在高斯的荣耀中，以他命名的事物包括：
著作
高斯的最为著名的著作有：
- 1799年：关于代数基本定理的博士论文（Doktorarbeit über den Fundamentalsatz der Algebra）
- 1801年：算术研究 （Disquisitiones Arithmeticae）
- 1809年：天体运动论（Theoria Motus Corporum Coelestium in sectionibus conicis solem ambientium）
- 1827年：曲面的一般研究（Disquisitiones generales circa superficies curvas）
- 1843-1844年：高等大地测量学理论（上，Untersuchungen über Gegenstände der Höheren Geodäsie, Teil 1）
- 1846-1847年：高等大地测量学理论（下，Untersuchungen über Gegenstände der Höheren Geodäsie, Teil 2）
- 1799年: Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse [New proof of the theorem that every integral algebraic function of one variable can be resolved into real factors of the first or second degree]. Helmstedt: C. G. Fleckeisen. 1866. (代数基本定理博士论文, 赫尔姆施泰特大学)
- 1816年: Demonstratio nova altera theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse. Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Comm. Class. Math.: 107–134. [2023-08-16]. （原始内容存档于2023-04-04）.
- 1816年: Theorematis de resolubilitate functionum algebraicarum integrarum in factores reales demonstratio tertia. Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Comm. Class. Math.: 135–142. [2023-08-16]. （原始内容存档于2023-04-04）.
- 1850年: Beiträge zur Theorie der algebraischen Gleichungen. Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen: 34–35. [2023-08-16]. （原始内容存档于2023-04-04）.
- 1801年: Disquisitiones Arithmeticae. Leipzig: Gerh. Fleischer jun. [2023-08-16]. （原始内容存档于2023-06-21）.（《算术研究》）
- Gauss, Carl Friedrich. Disquisitiones Arithmeticae & other papers on number theory. 由Clarke, Arthur A.翻译 2nd, corrected. New York: Springer. 1986 [2023-08-16]. ISBN 978-0-387-96254-2. doi:10.1007/978-1-4939-7560-0. （原始内容存档于2022-11-22）.
- 1808年: Theorematis arithmetici demonstratio nova. Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis. Comm. Math.: 69–74. [2023-08-16]. （原始内容存档于2023-04-04）. (引入高斯引理，并将其用于二次互反律的第三个证明)
- 1809年: Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium. Hamburg: Friedrich Perthes & Johann Heinrich Besser （拉丁语）.
- Theory of the Motion of Heavenly Bodies Moving about the Sun in Conic Sections. 由Davis, Charles Henry翻译. Little, Brown & Co. 1857.
- 1811年: Disquisitio de elementis ellipticis Palladis ex oppositionibus annorum 1803, 1804, 1805, 1806, 1807, 1808, 1809. Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Comm. Math.: 1–26. [2023-08-16]. （原始内容存档于2023-04-04）. (Orbit of Pallas)
- 1811年: Summatio quarundam serierum singularium. Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Comm. Class. Math.: 1–40. [2023-08-16]. （原始内容存档于2023-04-04）. (确定二次高斯和的符号，用它给出二次互反律的第四个证明)
- 1812年: Disquisitiones generales circa seriem infinitam . Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Comm. Class. Math.: 1–42.
- 1815年: Methodus nova integralium valores per approximationem inveniendi. Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Comm. Class. Math.: 39–76.
- 1818年: Theorematis fundamentalis in doctrina de residuis quadraticis demonstrationes et ampliationes novae. Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Comm. Class. Math.: 3–20. (二次互反律的第五和第六个证明)
- 1821年: Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae. Pars Prior. Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Comm. Class. Math.: 33–62.
- 1823年: Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae. Pars Posterior. Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Comm. Class. Math.: 63–90.
- 1828年: Gauss, Carl Friedrich. Supplementum theoriae combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae. Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Comm. Class. Math. (Dieterich). 1828, 6: 57–98. Bibcode:1828stco.book.....G. (关于以概率计算为基础的高斯误差传播法则的三篇论文)
- Gauss, Carl Friedrich; Stewart, G. W. Theory of the Combination of Observations Least Subject to Errors. Part One, Part Two, Supplement (Classics in Applied Mathematics). 由G. W. Stewart翻译. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics. 1995. ISBN 978-0-89871-347-3. doi:10.1137/1.9781611971248.
- 1827年: Disquisitiones generales circa superficies curvas. Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Comm. Class. Math.: 99–146.
- General Investigations of Curved Surfaces (PDF). 由J. C. Morehead and A. M. Hiltebeitel翻译. The Princeton University Library. 1902.
- 1828年: Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio prima. Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Comm. Class. Math.: 27–56.
- 1832年: Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio secunda. Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Comm. Class. Math.: 89–148.
- 1845年: Untersuchungen über Gegenstände der Höheren Geodäsie. Erste Abhandlung. Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften in Göttingen: 3–46.
- 1847年: Untersuchungen über Gegenstände der Höheren Geodäsie. Zweite Abhandlung. Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften in Göttingen: 3–44.
- Klein, Felix (编), Gauß' wissenschaftliches Tagebuch 1796–1814, Mathematische Annalen, 1903, 57: 1–34, S2CID 119641638, doi:10.1007/BF01449013 （拉丁语及德语）
- Jeremy Gray. A commentary on Gauss's mathematical diary, 1796–1814. Expositiones Mathematicae. 1984, 2: 97–130.
- 1832年: Principia generalia theoriae figurae fluidorum fluidorum in statu aequilibrii. Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores: 39–88.
- 1832: Intensitas vis magneticae terrestris ad mensuram absolutam revocata. Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores: 3–44.
- The Intensity of the Earth's Magnetic Force Reduced to Absolute Measurement. Translated by Susan P. Johnson.
- 1836: H.C. Schumacher (编). Erdmagnetismus und Magnetometer[地磁与磁力计]. Jahrbuch für 1836 (Tübingen: J.G.Cotta'sche Buchhandlung): 1–47 （德语）.
- 1840: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte [General Theorems concerning the attractive and repulsive Forces acting in reciprocal Proportions of quadratic Distances]. Leipzig: Weidmannsche Buchhandlung. 1840 （德语）.
- 1843: Dioptrische Untersuchungen [Dioptrical Investigations]. Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften in Göttingen: 1–34 （德语）.
- Weber, Wilhelm Eduard; Gauss, Carl Friedrich. Resultate aus den Beobachtungen des magnetischen Vereins im Jahre 1836–1838. Göttingen: Dieterichsche Buchhandlung. 1837–1839 （德语）.
- Weber, Wilhelm Eduard; Gauss, Carl Friedrich. Resultate aus den Beobachtungen des magnetischen Vereins im Jahre 1839–1841. Leipzig: Weidmannsche Verlagsbuchhandlung. 1840–1843 （德语）.
- Weber, Wilhelm Eduard; Gauss, Carl Friedrich. Atlas des Erdmagnetismus nach den Elementen der Theorie entworfen. Supplement zu den Resultaten aus den Beobachtungen des magnetischen Vereins. Leipzig: Weidmannsche Verlagsbuchhandlung. 1840 （德语）.
- Königlich Preußische Akademie der Wissenschaften (编). Carl Friedrich Gauss. Werke 1–12. Göttingen: (diverse publishers). 1863–1933 （拉丁语及德语）.
- Königlich Preußische Akademie der Wissenschaften (编). Briefwechsel zwischen Gauss und Bessel. Leipzig: Wilhelm Engelmann. 1880 （德语）. (1804年12月至1844年8月间与德国数学家弗里德里希·威廉·贝塞尔的信件)
- Schwemin, Friedhelm (编). Der Briefwechsel zwischen Carl Friedrich Gauß und Johann Elert Bode. Acta Historica Astronomica 53. Leipzig: Akademische Verlaganstalt. 2014. ISBN 978-3-944913-43-8 （德语）. (1802年2月至1826年10月间与德国天文学家约翰·波得的信件)
- Schoenberg, Erich; Perlick, Alfons. Unbekannte Briefe von C. F. Gauß und Fr. W. Bessel. Abhandlungen der Bayerischen Akademie der Wissenschaften, Math.-nat. Klasse, Neue Folge, No. 71. Munich: Verlag der Bayerischen Akademie der Wissenschaften. 1955: 5–21 （德语）. (1835年2月至1848年1月间写给德国天文学教授博古斯拉夫斯基的信)
- Franz Schmidt, Paul Stäckel (编). Briefwechsel zwischen Carl Friedrich Gauss und Wolfgang Bolyai. Leipzig: B. G. Teubner. 1899 （德语）. (1797年9月至1853年2月间与匈牙利数学家法卡斯·博莱伊的信件)
- Axel Wittmann (编). Obgleich und indeßen. Der Briefwechsel zwischen Carl Friedrich Gauss und Johann Franz Encke. Remagen: Verlag Kessel. 2018. ISBN 978-3945941379 （德语）. (1810年6月至1854年6月间高斯与其学生德国天文学家约翰·弗朗茨·恩克的信件)
- Clemens Schaefer (编). Briefwechsel zwischen Carl Friedrich Gauss und Christian Ludwig Gerling. Berlin: Otto Elsner. 1927 （德语）. (1810年6月至1854年6月间高斯与其学生克里斯蒂安·路德维希·格尔林的信件)
- Karl Christian Bruhns (编). Briefe zwischen A. v. Humboldt und Gauss. Leipzig: Wilhelm Engelmann. 1877 （德语）. (1807年7月至1854年12月间与德国科学家亚历山大·冯·洪堡的信件)
- Reich, Karin; Roussanova, Elena. Karl Kreil und der Erdmagnetismus. Seine Korrespondenz mit Carl Friedrich Gauß im historischen Kontext. Veröffentlichungen der Kommission für Geschichte der Naturwissenschaften, Mathematik und Medizin, No. 68. Vienna: Verlag der Österreichischen Akademie der Wissenschaften. 2018 （德语）. (1835年至1843年间与奥地利天文学家卡尔·克莱尔的信件)
- Gerardy, Theo (编). Briefwechsel zwischen Carl Friedrich Gauß und Carl Ludwig von Lecoq. Abhandlungen der Akademie der Wissenschaften in Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse, No. 4. Göttingen: Vandenhoeck & Ruprecht. 1959: 37–63 （德语）. (1799年2月至1800年9月间与德国地图制作者卡尔·路德维希·冯·勒科克的信件)
- Carl Schilling (编). Briefwechsel zwischen Olbers und Gauss: Erste Abtheilung. Wilhelm Olbers. Sein Leben und seine Werke. Zweiter Band. Berlin: Julius Springer. 1900 （德语）. (1802年1月至1819年10月间与德国天文学家海因里希·奥伯斯的信件：第一部分)
- Carl Schilling (编). Briefwechsel zwischen Olbers und Gauss: Zweite Abtheilung. Wilhelm Olbers. Sein Leben und seine Werke. Zweiter Band. Berlin: Julius Springer. 1909 （德语）. (1820年1月至1839年5月间与德国天文学家海因里希·奥伯斯的信件：第二部分)
- Christian August Friedrich Peters (编). Briefwechsel zwischen C. F. Gauss und H. C. Schumacher. Altona: Gustav Esch. 1860–1865 （德语）.（与德裔丹麦籍天文学家海因里希·克里斯蒂安·舒马赫的信件）
- 1和2卷 (1808年4月至1836年3月)
- 3和4卷(1836年3月至1845年4月)
- 5和6卷(1845年4月至1850年11月)
- Poser, Hans (编). Briefwechsel zwischen Carl Friedrich Gauß und Eberhard August Zimmermann. Abhandlungen der Akademie der Wissenschaften in Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse, Folge 3, No. 39. Göttingen: Vandenhoeck & Ruprecht. 1987. ISBN 978-3525821169 （德语）. (1795年至1815年间与德国地理学家埃伯哈德·奥古斯特·威廉·冯·齐默尔曼的信件)
哥廷根科学院提供了迄今为止已知的高斯与他人往来信件的完整全集，可在线访问。[53]他与其家人的书面遗产也可以在布兰斯威市档案馆中找到。[54]
参见
注释
参考文献
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