希格斯机制

在标准模型里，希格斯机制（英语：Higgs mechanism）是一种生成质量的机制，能够使基本粒子获得质量。为什么费米子、W玻色子、Z玻色子具有质量，而光子、胶子的质量为零？^[1]:361-368希格斯机制可以解释这问题。希格斯机制应用自发对称性破缺来赋予规范玻色子质量。在所有可以赋予规范玻色子质量，而同时又遵守规范理论的可能机制中，这是最简单的机制。^[1]:378-381根据希格斯机制，希格斯场遍布于宇宙，有些基本粒子因为与希格斯场之间相互作用而获得质量。

彼得·希格斯

更仔细地解释，在规范场论里，为了满足局域规范不变性，必须设定规范玻色子的质量为零。由于希格斯场的真空期望值不等于零，^{[注 1]}造成自发对称性破缺，因此规范玻色子会获得质量，同时生成一种零质量玻色子，称为戈德斯通玻色子，而希格斯玻色子则是伴随着希格斯场的粒子，是希格斯场的振动。通过选择适当的规范，戈德斯通玻色子会被抵销，只存留带质量希格斯玻色子与带质量规范矢量场。^{[注 2][1]:378-381}

费米子也是因为与希格斯场相互作用而获得质量，但它们获得质量的方式不同于W玻色子、Z玻色子的方式。在规范场论里，为了满足局域规范不变性，必须设定费米子的质量为零。通过汤川耦合，费米子也可以因为自发对称性破缺而获得质量。^[3]:689ff

本条目的数学表述内容需要读者了解一些量子场论的知识。所有方程都遵守爱因斯坦求合约定。按照粒子物理学惯例，采用CGS单位制为物理量的单位，并且设定光速与约化普朗克常数的数值为${\displaystyle 1}$。

历史

1964年，分别有三组研究小组几乎同时地独立研究出希格斯机制，其中，一组为弗朗索瓦·恩格勒和罗伯特·布绕特，^[4]另一组为彼得·希格斯，^[5]第三组为杰拉德·古拉尼、卡尔·哈庚和汤姆·基博尔。^[6]古拉尼于1965年、^[7]希格斯于1966年^[8]又各自更进一步发表论文探讨这模型的性质。这些论文表明，假若将规范不变性理论与自发对称性破缺的概念以某种特别方式连结在一起，则规范玻色子必然会获得质量。1967年，史蒂文·温伯格与阿卜杜勒·萨拉姆首先应用希格斯机制来打破电弱对称性，并且表述希格斯机制怎样能够并入稍后成为标准模型一部分的谢尔登·格拉肖的电弱理论。^[9][10][11]

六位物理学者分别发表的三篇论文，在《物理评论快报》50周年庆祝文献里被公认为里程碑论文。^[12]2010年，他们又荣获理论粒子物理学樱井奖。^[13]

因为“亚原子粒子质量的生成机制理论，促进了人类对这方面的理解，并且最近由欧洲核子研究组织属下大型强子对撞机的超环面仪器及紧凑μ子线圈探测器发现的基本粒子证实”，恩格勒、希格斯荣获2013年诺贝尔物理学奖。^[14]

U(1)希格斯机制

U(1)希格斯机制是一种很简单的赋予质量的机制，适用于U(1)规范场论。U(1)规范场论的规范变换涉及到相位变换：${\displaystyle \phi \to \phi '=e^{i\theta }\phi }$；其中，${\displaystyle \phi }$是复值希格斯场，${\displaystyle \theta }$是相位。这种变换是U(1)变换，所涉及的是阿贝尔群，因此是一种“阿贝尔希格斯机制”。

假定遍布于宇宙的希格斯场是由两个实函数${\displaystyle \phi _{1}}$、${\displaystyle \phi _{2}}$组成的复值标量场${\displaystyle \phi }$：

${\displaystyle \phi (x^{\alpha })=\phi _{1}(x^{\alpha })+i\phi _{2}(x^{\alpha })}$；

其中，${\displaystyle x^{\alpha }=\left(ct,x_{1},x_{2},x_{3}\right)}$是四维坐标。

对于这自旋为零、质量为${\displaystyle m}$、势能为${\displaystyle V(\phi ^{*}\phi )}$的标量场，克莱因-戈尔登拉格朗日量${\displaystyle {\mathcal {L}}}$为^[3]:16-17

${\displaystyle {\mathcal {L}}=(\partial _{\alpha }\phi )^{*}(\partial ^{\alpha }\phi )-m^{2}\phi ^{*}\phi -V(\phi ^{*}\phi )}$。

暂时假设质量项目不存在，则克莱因-戈尔登拉格朗日量的形式变为

${\displaystyle {\mathcal {L}}=(\partial _{\alpha }\phi )^{*}(\partial ^{\alpha }\phi )-V(\phi ^{*}\phi )}$；

其中，${\displaystyle \partial _{\alpha }=\left({\frac {\partial }{\partial x^{0}}},{\frac {\partial }{\partial x^{1}}},{\frac {\partial }{\partial x^{2}}},{\frac {\partial }{\partial x^{3}}}\right)}$是四维导数算子。

这是个波动方程，可以用来描述电磁波处于位势的物理行为。从这方程，似乎找不到任何质量的蛛丝马迹。

局域规范不变性

主条目：规范场论

对于全域相位变换${\displaystyle \phi \to \phi '=e^{i\theta }\phi }$，由于相位${\displaystyle \theta }$是常数，拉格朗日量${\displaystyle {\mathcal {L}}}$具有全域规范不变性：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}\to {\mathcal {L}}'&=(\partial _{\alpha }\phi ')^{*}(\partial ^{\alpha }\phi ')-V(\phi '^{*}\phi ')\\&=[\partial _{\alpha }(e^{i\theta }\phi )]^{*}[\partial ^{\alpha }(e^{i\theta }\phi )]-V(\phi ^{*}\phi )\\&={\mathcal {L}}\end{aligned}}}$ 。

但是，假设${\displaystyle \theta }$是变数，随着时空坐标不同而改变：

${\displaystyle \theta =q\eta (x^{\alpha })}$；

其中，${\displaystyle q}$是电荷。

则为了要满足局域规范不变性，必须将${\displaystyle {\mathcal {L}}}$的偏导数${\displaystyle \partial _{\alpha }}$改换为协变导数${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\alpha }}$，这变换与前面提到的相位变换合称为“规范变换”：^[3]:691

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\alpha }\equiv \partial _{\alpha }+iqA_{\alpha }}$；

其中，${\displaystyle A_{\alpha }}$是规范矢量场。

当做局域相位变换时，规范矢量场${\displaystyle A_{\alpha }}$变换为

${\displaystyle A_{\alpha }\to A_{\alpha }'=A_{\alpha }-\partial _{\alpha }\eta }$。

这样，对于局域相位变换，拉格朗日量${\displaystyle {\mathcal {L}}}$具有不变性：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}\to {\mathcal {L}}'&=\ [({\mathcal {D}}_{\alpha }\phi )^{*}({\mathcal {D}}^{\alpha }\phi )]'-V(\phi '^{*}\phi ')\\&=[(\partial _{\alpha }+iqA_{\alpha }')(e^{iq\eta }\phi )]^{*}[(\partial ^{\alpha }+iqA^{\alpha \,\prime })(e^{iq\eta }\phi )]-V(\phi ^{*}\phi )\\&=[(\partial _{\alpha }+iqA_{\alpha }-iq\partial _{\alpha }\eta )(e^{iq\eta }\phi )]^{*}[(\partial ^{\alpha }+iqA^{\alpha }-iq\partial ^{\alpha }\eta )(e^{iq\eta }\phi )]-V(\phi ^{*}\phi )\\&=[(\partial _{\alpha }+iqA_{\alpha })\phi ]^{*}[(\partial ^{\alpha }+iqA^{\alpha })\phi ]-V(\phi ^{*}\phi )\\&=({\mathcal {D}}_{\alpha }\phi )^{*}({\mathcal {D}}^{\alpha }\phi )-V(\phi ^{*}\phi )\\&={\mathcal {L}}\\\end{aligned}}}$。

为了要满足规范场论的局域规范不变性，必须添加规范矢量场${\displaystyle A_{\alpha }}$，连带地也要添加规范矢量场自由传播时的普罗卡拉格朗日量（Proca Lagrangian）：

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{P}=-\ {\frac {1}{4}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }+\ {\frac {1}{2}}m^{2}A_{\alpha }A^{\alpha }}$；

其中，${\displaystyle F^{\alpha \beta }\equiv \partial ^{\alpha }A^{\beta }-\partial ^{\beta }A^{\alpha }}$。

注意到${\displaystyle F^{\alpha \beta }}$满足局域规范不变性，但是${\displaystyle A_{\alpha }A^{\alpha }}$无法满足局域规范不变性，因此必须设定质量${\displaystyle m=0}$。一般而言，为了满足局域规范不变性，所有规范玻色子的质量都必须设定为零。对于传递电磁相互作用的光子与传递强相互作用的胶子，它们都是零质量规范玻色子，所以这理论结果与它们的性质相符合。但是对于传递弱相互作用的W玻色子与Z玻色子，这两种规范玻色子的质量分别为80Gev、91Gev！这理论结果与实验结果有天壤之别。这显露出规范理论对于这论题的严重不足，希格斯机制可以弥补这不足。

总结，表达为以下形式的拉格朗日量${\displaystyle {\mathcal {L}}}$满足局域规范不变性：

${\displaystyle {\mathcal {L}}=(D_{\alpha }\phi )^{*}(D^{\alpha }\phi )-\ {\frac {1}{4}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }-V(\phi ^{*}\phi )}$。

自发对称性破缺

主条目：自发对称性破缺

量子力学的真空与一般认知的真空不同。在量子力学里，真空并不是全无一物的空间，虚粒子会持续地随机生成或湮灭于空间的任意位置，这会造成奥妙的量子效应。将这些量子效应纳入考量之后，空间的最低能量态，是在所有能量态之中，能量最低的能量态，又称为基态或“真空态”。最低能量态的空间才是量子力学的真空。^[15]

设想某种对称群变换，只能将最低能量态变换为自己，则称最低能量态对于这种变换具有“不变性”，即最低能量态具有这种对称性。尽管一个物理系统的拉格朗日量对于某种对称群变换具有不变性，并不意味着它的最低能量态对于这种对称群变换也具有不变性。假若拉格朗日量与最低能量态都具有同样的不变性，则称这物理系统对于这种变换具有“外显的对称性”；假若只有拉格朗日量具有不变性，而最低能量态不具有不变性，则称这物理系统的对称性被自发打破，或者称这物理系统的对称性被隐藏，这现象称为“自发对称性破缺”。^[16]:116-117

墨西哥帽势能函数的电脑绘图，对于绕着帽子中心轴的旋转，帽顶具有旋转对称性，帽子谷底的任意位置不具有旋转对称性，在帽子谷底的任意位置会出现对称性破缺。

如右图所示，假设在墨西哥帽（sombrero）的帽顶有一个圆球。这个圆球是处于旋转对称性状态，对于绕着帽子中心轴的旋转，圆球的位置不变。这圆球也处于局部最大引力势的状态，极不稳定，稍加摄动，就可以促使圆球滚落至帽子谷底的任意位置，因此降低至最小引力势位置，使得旋转对称性被打破。尽管这圆球在帽子谷底的所有可能位置因旋转对称性而相互关联，圆球实际实现的帽子谷底位置不具有旋转对称性──对于绕着帽子中心轴的旋转，圆球的位置会改变。^[17]:203在帽子谷底有无穷多个不同、简并的最低能量态，都具有同样的最低能量。对于绕着帽子中心轴的旋转，会将圆球所处的最低能量态变换至另一个不同的最低能量态，除非旋转角度为360°的整数倍数，所以，圆球的最低能量态对于旋转变换不具有不变性，即不具有旋转对称性。总结，这物理系统的拉格朗日量具有旋转对称性，但最低能量态不具有旋转对称性，因此出现自发对称性破缺现象。^[17]:203

外显的对称性案例

假定希格斯势的形式为

${\displaystyle V(\phi ^{*}\phi )=\mu ^{2}\phi ^{*}\phi +\lambda (\phi ^{*}\phi )^{2}}$；

其中，${\displaystyle \mu }$、${\displaystyle \lambda }$都是正值常数。

则这物理系统只有一个最低能量态，其希格斯场为零（${\displaystyle \phi _{vac}=0}$）

对于这自旋为零、质量为零、势能为${\displaystyle V(\phi ^{*}\phi )}$的标量场${\displaystyle \phi }$，克莱因-戈尔登拉格朗日量${\displaystyle {\mathcal {L}}}$为^[3]:16-17

${\displaystyle {\mathcal {L}}=({\mathcal {D}}_{\alpha }\phi )^{*}({\mathcal {D}}^{\alpha }\phi )-\ {\frac {1}{4}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }-\mu ^{2}\phi ^{*}\phi -\lambda (\phi ^{*}\phi )^{2}}$。

注意到这拉格朗日量的第一个项目是动能项目。

由于拉格朗日量对于局域相位变换${\displaystyle \phi \to \phi '=e^{i\theta }\phi }$具有不变性，而最低能量态对于局域相位变换也具有不变性：

${\displaystyle \phi _{vac}\to \phi '_{vac}=e^{i\theta }\phi _{vac}=0}$，

所以，这物理系统对于局域相位变换具有外显的对称性。

自发对称性破缺案例

设定直角坐标系的x-坐标与y-坐标分别为复值希格斯场${\displaystyle \phi }$的实部${\displaystyle \phi _{\mathrm {RE} }}$与虚部${\displaystyle \phi _{\mathrm {IM} }}$，z-坐标为希格斯势，则参数为希格斯场${\displaystyle \phi }$的希格斯势，其猜想形状好似一顶墨西哥帽。

假定希格斯势的形式为

${\displaystyle V(\phi ^{*}\phi )=-\mu ^{2}\phi ^{*}\phi +\lambda (\phi ^{*}\phi )^{2}}$；

其中，${\displaystyle \mu }$、${\displaystyle \lambda }$都是正值常数。

如墨西哥帽绘图所示，这势能的猜想形状好似一顶墨西哥帽。希格斯势与拉格朗日量在${\displaystyle \phi _{\mathrm {RE} }}$、${\displaystyle \phi _{\mathrm {IM} }}$空间具有旋转对称性。位于z-坐标轴的帽顶为希格斯势的局域最大值，其复值希格斯场为零（${\displaystyle \phi =0}$），但这不是最低能量态；在帽子的谷底有无穷多个简并的最低能量态。从无穷多个简并的最低能量态中，物理系统只能实现出一个最低能量态，标记这最低能量态为${\displaystyle \phi _{vac}}$。这物理系统的拉格朗日量对于局域相位变换${\displaystyle \phi \to \phi '=e^{i\theta }\phi }$具有不变性，即在${\displaystyle \phi _{\mathrm {RE} }}$、${\displaystyle \phi _{\mathrm {IM} }}$空间具有旋转对称性，而最低能量态${\displaystyle \phi _{vac}}$对于局域相位变换不具有不变性：

${\displaystyle \phi _{vac}\to \phi '_{vac}=e^{i\theta }\phi _{vac}}$，

通常，${\displaystyle \phi _{vac}}$不等于${\displaystyle \phi '_{vac}}$，除非角弧${\displaystyle \theta }$是${\displaystyle 2\pi }$的整数倍数。所以，这物理系统对于局域相位变换的对称性被自发打破。

以数学来表述，最低能量态处于势能的最低值，对应的希格斯场真空期望绝对值${\displaystyle \langle |\phi |\rangle _{vac}}$可以从势能的公式求得：

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial \phi }}=-\phi ^{*}(\mu ^{2}-2\lambda |\phi |^{2})=0}$。

所以，希格斯场的真空期望绝对值${\displaystyle \langle |\phi |\rangle _{vac}}$为

${\displaystyle \langle |\phi |\rangle _{vac}=\mu /{\sqrt {2\lambda }}}$。

为了简化表达式，设定常数${\displaystyle v=\mu /{\sqrt {\lambda }}}$。对于这物理系统，存在有无穷多最低能量态，这些最低能量态在${\displaystyle \phi }$-复平面形成一个半径为${\displaystyle v/{\sqrt {2}}}$的圆圈。物理系统的状态只能实现出一个最低能量态，称这最低能量态的位置为希格斯场的真空期望值。不影响论述的一般性，选择真空期望值${\displaystyle \langle \phi \rangle _{vac}}$为

${\displaystyle \langle \phi \rangle _{vac}=v/{\sqrt {2}}}$。

这动作打破了其在${\displaystyle \phi _{\mathrm {RE} }}$、${\displaystyle \phi _{\mathrm {IM} }}$空间的旋转对称性。设定两个实函数${\displaystyle \varphi _{1}}$、${\displaystyle \varphi _{2}}$来标纪对于最低能量态的涨落所产生的量子场：

${\displaystyle \phi =\phi _{1}+i\phi _{2}=(\varphi _{1}+v+i\varphi _{2})/{\sqrt {2}}}$。

在量子场论里，这些涨落的量子场可以诠释为真实的粒子。将量子场的公式代入拉格朗日量，

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}&={\frac {1}{2}}[(\partial _{\alpha }+iqA_{\alpha })(\varphi _{1}+v+i\varphi _{2})]^{*}[(\partial ^{\alpha }+iqA^{\alpha })(\varphi _{1}+v+i\varphi _{2})]-\ {\frac {1}{4}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\\&\qquad +{\frac {\mu ^{2}}{2}}(\varphi _{1}+v+i\varphi _{2})^{*}(\varphi _{1}+v+i\varphi _{2})-\ {\frac {\lambda }{4}}[(\varphi _{1}+v+i\varphi _{2})^{*}(\varphi _{1}+v+i\varphi _{2})]^{2}\\\end{aligned}}}$。

经过一番计算，取至${\displaystyle \varphi _{i}}$的二次方，可以得到新形式

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\alpha }\varphi _{1})(\partial ^{\alpha }\varphi _{1})-\mu ^{2}\varphi _{1}^{2}+\ {\frac {1}{2}}(\partial _{\alpha }\varphi _{2})(\partial ^{\alpha }\varphi _{2})-\ {\frac {1}{4}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }+\ {\frac {1}{2}}q^{2}v^{2}A_{\alpha }A^{\alpha }+{\mathcal {L}}_{int}}$。

仔细分析${\displaystyle {\mathcal {L}}}$的新形式。前两个项目是标量场${\displaystyle \varphi _{1}}$的动能项目${\displaystyle {\frac {1}{2}}(\partial _{\alpha }\varphi _{1})(\partial ^{\alpha }\varphi _{1})}$与质量项目${\displaystyle \mu ^{2}\varphi _{1}^{2}}$^{[注 3]}，这标量场${\displaystyle \varphi _{1}}$即是质量为${\displaystyle {\sqrt {2}}\mu }$的希格斯玻色子，是希格斯场对于最低能量态在径向方面的涨落。第三个项目是标量场${\displaystyle \varphi _{2}}$的自由拉格朗日量，它没有质量项目，这标量场${\displaystyle \varphi _{2}}$即是零质量的戈德斯通玻色子。第四个、第五个项目是规范矢量场${\displaystyle A_{\alpha }}$的自由拉格朗日量${\displaystyle {\frac {1}{4}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }}$与质量项目${\displaystyle q^{2}v^{2}A_{\alpha }A^{\alpha }/2}$，这规范矢量场${\displaystyle A_{\alpha }}$是质量为${\displaystyle |q|\mu /{\sqrt {\lambda }}}$的规范玻色子。剩下的${\displaystyle {\mathcal {L}}_{int}}$代表这几个量子场彼此之间相互作用，在这里不多做说明。

按照这结果，应该可以从做实验证实戈德斯通玻色子存在。带质量粒子比较难制成，粒子加速器必须使用很高的能量来碰撞制成带质量粒子。零质量粒子案例跟重质量粒子案例不同，零质量粒子很容易制成，或者可从缺失能量或动量推测其存在。然而，事实并非如此，物理学者无法找到其存在的任何蛛丝马迹。^[1]:378-381这意味着理论可能有瑕疵。希格斯机制可以处理这瑕疵。

回想先前的局域相位变换${\displaystyle \phi \to \phi '=e^{i\theta }\phi }$，这变换并没有设定相位${\displaystyle \theta }$。假若设定相位${\displaystyle \theta }$可以让戈德斯通玻色子消失无踪，则问题就可迎刃而解。仔细观察这变换的公式，

${\displaystyle \phi \to \phi '=e^{i\theta }\phi =(\phi _{1}\cos {\theta }-\phi _{2}\sin {\theta })+i(\phi _{1}\sin {\theta }+\phi _{2}\cos {\theta })}$。

只要设定${\displaystyle \theta =-\arctan {(\phi _{2}/\phi _{1})}}$，就可以除去希格斯场${\displaystyle \phi '}$的虚部${\displaystyle \phi _{2}'}$，拉格朗日量变为

${\displaystyle {\mathcal {L}}=\ {\frac {1}{2}}(\partial _{\alpha }\varphi _{1})(\partial ^{\alpha }\varphi _{1})-\mu ^{2}\varphi _{1}^{2}-\ {\frac {1}{4}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }+\ {\frac {1}{2}}q^{2}v^{2}A_{\alpha }A^{\alpha }+{\mathcal {L}}_{int}}$。

总括而言，从自发对称性破缺，可以赋予规范玻色子质量，但也生成了不符合实际物理的戈德斯通玻色子，选择正确的规范，可以清除戈德斯通玻色子，这就是希格斯机制。^[1]:378-381

SU(2)×U(1)希格斯机制

在标准模型里，SU(2)×U(1)希格斯机制是最简单的一种赋予质量的机制，适用于弱电相互作用的SU(2)×U(1)规范场论。采用这种机制的标准模型称为最小标准模型（minimal standard model）。在这模型里，希格斯场是复值二重态：

${\displaystyle \phi (x)={\left({\begin{matrix}\phi _{1}+\mathrm {i} \phi _{2}\\\phi _{3}+\mathrm {i} \phi _{4}\end{matrix}}\right)}}$；

其中，${\displaystyle \phi _{1}}$、${\displaystyle \phi _{2}}$、${\displaystyle \phi _{3}}$、${\displaystyle \phi _{4}}$都是实函数。

这种希格斯场是由两个复值标量场，或四个实值标量场组成，其中，两个带有电荷，两个是中性。在这模型里，还有四个零质量规范玻色子，都是横场，如同光子一样，具有两个自由度。总合起来，一共有十二个自由度。自发对称性破缺之后，一共有三个规范玻色子会获得质量、同时各自添加一个纵场，总共有九个自由度，另外还有一个具有两个自由度的零质量规范玻色子，剩下的一个自由度是带质量的希格斯玻色子。三个带质量规范玻色子分别是W⁺、W^-和Z玻色子。零质量规范玻色子是光子。^{[18]:1-3[3]:700-703}

标准模型

主条目：标准模型

在标准模型里，假若温度足够高，物理系统的电弱对称性没有被打破，则所有基本粒子都不具有质量。当温度降到低于临界温度，希格斯场会变得不稳定，会跃迁至最低能量态，即量子力学的真空，整个物理系统的连续对称性因此被自发打破，W玻色子、Z玻色子、费米子也因此会获得质量。

局域规范不变性

SU(2)×U(1)规范场论的相位变换形式为：

${\displaystyle \phi \to \phi '=S\phi }$；

其中，${\displaystyle S=e^{i\eta /2}e^{i\mathbf {w} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}/2}}$是变换矩阵，${\displaystyle \mathbf {w} =(w_{1},w_{2},w_{3})}$是参数为时空坐标${\displaystyle x^{\alpha }}$的矢量函数，${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$是三个泡利矩阵${\displaystyle \sigma _{1}}$、${\displaystyle \sigma _{2}}$、${\displaystyle \sigma _{3}}$共同组成的矩阵矢量。

由于三个泡利矩阵彼此之间不能对易，SU(2)是非阿贝尔群，这机制是“非阿贝尔希格斯机制”。

指数函数${\displaystyle e^{i\mathbf {w} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}/2}}$的参数是一个矩阵：

${\displaystyle \mathbf {w} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}=w_{j}\sigma _{j}={\begin{pmatrix}w_{3}&w_{1}-iw_{2}\\w_{1}+iw_{2}&-w_{3}\end{pmatrix}}}$ 。

这指数函数等于

${\displaystyle e^{i\mathbf {w} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}/2}=\mathbb {I} \cos {(w/2)}+i({\hat {\mathbf {w} }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }})\sin {(w/2)}}$；

其中，${\displaystyle \mathbb {I} }$是单位矩阵，${\displaystyle w}$是${\displaystyle \mathbf {w} }$的数值大小，${\displaystyle {\hat {\mathbf {w} }}=\mathbf {w} /w}$是单位矢量。

为了要满足局域规范不变性，必须将${\displaystyle {\mathcal {L}}}$的偏导数${\displaystyle \partial _{\alpha }}$改换为协变导数${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\alpha }}$，这变换与前面提到的相位变换合称为“规范变换”：^[3]:701

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\alpha }\equiv \partial _{\alpha }-i{\frac {g_{W}}{2}}\mathbf {W} _{\alpha }\cdot {\boldsymbol {\sigma }}-i{\frac {g_{B}}{2}}B_{\alpha }}$；

其中，${\displaystyle g_{W}}$、${\displaystyle g_{B}}$都是耦合常数，${\displaystyle \mathbf {W} _{\alpha }}$、${\displaystyle B_{\alpha }}$分别是SU(2)规范矢量场、U(1)规范矢量场。

这些规范矢量场的局域相位变换为

${\displaystyle \mathbf {W} _{\alpha }\to \mathbf {W} _{\alpha }'=\mathbf {W} _{\alpha }+{\frac {1}{g_{W}}}\partial _{\alpha }\mathbf {w} +\mathbf {W} _{\alpha }\times \mathbf {w} }$、

${\displaystyle B_{\alpha }\to B_{\alpha }'=B_{\alpha }+{\frac {1}{g_{B}}}\partial _{\alpha }\eta }$。

由于这些额外的规范矢量场，又必须添加对应的自由拉格朗日量：

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{KE}=-\ {\frac {1}{4}}\mathbf {C} _{\alpha \beta }\cdot \mathbf {C} ^{\alpha \beta }-\ {\frac {1}{4}}B_{\alpha \beta }B^{\alpha \beta }}$；

其中，${\displaystyle B_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }B_{\beta }-\partial _{\beta }B_{\alpha }}$是场强张量，${\displaystyle \mathbf {C} _{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }\mathbf {W} _{\beta }-\partial _{\beta }\mathbf {W} _{\alpha }+g_{W}\mathbf {W} _{\alpha }\times \mathbf {W} _{\beta }}$是由三个场强张量${\displaystyle C_{\alpha \beta }^{(1)}}$、${\displaystyle C_{\alpha \beta }^{(2)}}$、${\displaystyle C_{\alpha \beta }^{(3)}}$组成的矢量。

总结，表达为以下形式的拉格朗日量${\displaystyle {\mathcal {L}}}$满足局域规范不变性：

${\displaystyle {\mathcal {L}}=(D_{\alpha }\phi )^{\dagger }(D^{\alpha }\phi )-\ {\frac {1}{4}}\mathbf {C} _{\alpha \beta }\cdot \mathbf {C} ^{\alpha \beta }-\ {\frac {1}{4}}B_{\alpha \beta }B^{\alpha \beta }-V(\phi ^{\dagger }\phi )}$；

其中，标号${\displaystyle \dagger }$表示取埃尔米特伴随。

自发对称性破缺

假定势能的形式为

${\displaystyle V(\phi ^{\dagger }\phi )=-\mu ^{2}\phi ^{\dagger }\phi +\lambda (\phi ^{\dagger }\phi )^{2}}$，

最低能量态处于势能的最低值，对应的希格斯场满足关系式

${\displaystyle \langle \phi ^{\dagger }\phi \rangle _{vac}=v^{2}/2=\mu ^{2}/2\lambda }$。

对于这物理系统，存在有无穷多最低能量态。物理系统的状态只能实现出一个最低能量态，称这最低能量态的位置为希格斯场的真空期望值。不影响论述的一般性，设定真空期望值${\displaystyle \langle \phi \rangle _{vac}}$为^{[注 4][19]:6}

${\displaystyle \langle \phi \rangle _{vac}={\left({\begin{matrix}0\\v/{\sqrt {2}}\end{matrix}}\right)}}$。

设定四个新实函数${\displaystyle \varphi _{1}}$、${\displaystyle \varphi _{2}}$、${\displaystyle h}$、${\displaystyle \varphi _{4}}$来代表对于最低能量态的涨落所产生的量子场：

${\displaystyle \phi (x^{\alpha })={\left({\begin{matrix}\phi _{1}+\mathrm {i} \phi _{2}\\\phi _{3}+\mathrm {i} \phi _{4}\end{matrix}}\right)}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\left({\begin{matrix}\varphi _{1}+\mathrm {i} \varphi _{2}\\v+h+\mathrm {i} \varphi _{4}\end{matrix}}\right)}}$。

采用幺正规范（unitary gauge）^[3]:691，正确地设定变换矩阵${\displaystyle S=e^{i\mathbf {w} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}/2}}$的参数矢量${\displaystyle \mathbf {w} }$，可以使得${\displaystyle \varphi _{1}}$、${\displaystyle \varphi _{2}}$、${\displaystyle \varphi _{4}}$变为零。^{[注 5]}这动作抵销了三个戈德斯通玻色子。希格斯场变为

${\displaystyle \phi ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\left({\begin{matrix}0\\v+h\end{matrix}}\right)}}$。

将这公式代入拉格朗日量，注意到规范玻色子的质量是来自于动能项目的改变：

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta {\mathcal {L}}_{KE}&=\Delta [(D_{\alpha }\phi )^{\dagger }(D^{\alpha }\phi )]\\&={\frac {1}{8}}(0,v)(g_{W}\mathbf {W} _{\alpha }\cdot {\boldsymbol {\sigma }}+g_{B}B_{\alpha })(g_{W}\mathbf {W} ^{\alpha }\cdot {\boldsymbol {\sigma }}+g_{B}B^{\alpha }){\left({\begin{matrix}0\\v\end{matrix}}\right)}\\&={\frac {v^{2}}{8}}[{g_{W}}^{2}(W_{\alpha }^{1})^{2}+{g_{W}}^{2}(W_{\alpha }^{2})^{2}+(-g_{W}W_{\alpha }^{3}+{g_{B}}B_{\alpha })^{2}]\\\end{aligned}}}$。

设定W玻色子${\displaystyle W_{\alpha }^{\pm }}$、Z玻色子${\displaystyle Z_{\alpha }}$、光子${\displaystyle A_{\alpha }}$分别为

${\displaystyle W_{\alpha }^{\pm }={\frac {1}{\sqrt {2}}}(W_{\alpha }^{1}\mp iW_{\alpha }^{2})}$、

${\displaystyle Z_{\alpha }={\frac {1}{\sqrt {{g_{W}}^{2}+{g_{B}}^{2}}}}(g_{W}W_{\alpha }^{3}-g_{B}B_{\alpha })}$、

${\displaystyle A_{\alpha }={\frac {1}{\sqrt {{g_{W}}^{2}+{g_{B}}^{2}}}}(g_{W}W_{\alpha }^{3}+g_{B}B_{\alpha })}$。

从普罗卡拉格朗日量，可以推断W玻色子、Z玻色子的质量分别为${\displaystyle m_{W}=g_{W}\ v/2}$、${\displaystyle m_{Z}={\sqrt {{g_{W}}^{2}+{g_{B}}^{2}}}\ v/2}$，而光子的质量为零。

经过一番推导，可以查明${\displaystyle g_{W}}$是弱耦合常数，与电磁耦合常数${\displaystyle g_{EM}}$的关系为^{[3]:702-703[1]:244[注 6]}

${\displaystyle g_{EM}={\frac {g_{W}g_{B}}{{g_{W}}^{2}+{g_{B}}^{2}}}}$。

定义弱混合角（weak mixing angle）${\displaystyle \theta _{W}}$为

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A\\Z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta _{W}&\sin \theta _{W}\\-\sin \theta _{W}&\cos \theta _{W}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B\\W\end{pmatrix}}}$。

以耦合常数${\displaystyle g_{B}}$与${\displaystyle g_{W}}$来表达，

${\displaystyle \cos \theta _{W}={\frac {g_{W}}{\sqrt {{g_{W}}^{2}+{g_{B}}^{2}}}}}$、

${\displaystyle \sin \theta _{W}={\frac {g_{B}}{\sqrt {{g_{W}}^{2}+{g_{B}}^{2}}}}}$。

所以，

${\displaystyle g_{EM}=g_{W}\sin \theta _{W}=g_{B}\cos \theta _{W}}$。

W玻色子与Z玻色子之间的质量关系为

${\displaystyle m_{W}=m_{Z}\cos \theta _{W}}$。

这关系式也可以做为弱混合角的数学定义式。^[20]

费米子质量

对于费米子的拉格朗日量${\displaystyle {\mathcal {L}}}$，除了希格斯项目${\displaystyle {\mathcal {L}}_{H}}$、规范项目${\displaystyle {\mathcal {L}}_{G}}$以外，必须再添加一个费米子项目${\displaystyle {\mathcal {L}}_{F}}$：

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{H}+{\mathcal {L}}_{G}+{\mathcal {L}}_{F}}$。

这费米子项目为描述自旋1/2费米子自由传播的狄拉克拉格朗日量：

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{F}=i\,{\overline {\psi }}\gamma ^{\alpha }\partial _{\alpha }\psi -m{\overline {\psi }}\psi }$；

其中，${\displaystyle \psi }$是费米子的狄拉克旋量（Dirac Spinor），${\displaystyle {\overline {\psi }}\ {\stackrel {def}{=}}\ \psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$是其伴随旋量，${\displaystyle \gamma ^{\alpha }}$是狄拉克矩阵，${\displaystyle m}$是费米子的质量。

这方程右手边第一个项目是动能项目，第二个项目是质量项目。

狄拉克旋量可以按照手征性分解为左手狄拉克旋量${\displaystyle \psi _{L}}$与右手狄拉克旋量${\displaystyle \psi _{R}}$ ︰

${\displaystyle \psi _{L}={\frac {1-\gamma ^{5}}{2}}\psi }$、

${\displaystyle \psi _{R}={\frac {1+\gamma ^{5}}{2}}\psi }$；

其中，${\displaystyle \gamma ^{5}}$是第五个狄拉克矩阵，${\displaystyle (1\mp \gamma ^{5})/2}$是投影算符，可以挑选出狄拉克旋量的左手部分或右手部分。

物理学者做实验发现，W玻色子只与左手费米子彼此相互作用，费米子的左手部分与右手部分，两者的物理性质大不相同。^[3]:700-705因此，为了要正确地分析每一个部分，必须将费米子项目按照手征性分为左手项目、右手项目。费米子动能项目可以改写为

${\displaystyle i\,{\overline {\psi }}\gamma ^{\alpha }\partial _{\alpha }\psi =i\,{\overline {\psi }}_{L}\gamma ^{\alpha }\partial _{\alpha }\psi _{L}+i\,{\overline {\psi }}_{R}\gamma ^{\alpha }\partial _{\alpha }\psi _{R}}$。

由于在规范场论里，左手费米子与右手费米子的规范群表现不一样。，偏导数${\displaystyle \partial _{\alpha }}$必须按照手征性分别改换为不同的协变导数${\displaystyle {\mathcal {D}}_{L\alpha }}$、${\displaystyle {\mathcal {D}}_{R\alpha }}$，才能满足局域规范不变性：^[3]:702-703

${\displaystyle \partial _{\alpha }\to {\mathcal {D}}_{L\alpha }=(\partial _{\alpha }-i{\frac {g_{B}}{2}}Y_{L}B_{\alpha })\mathbb {I} -i{\frac {g_{W}}{2}}\mathbf {W} _{\alpha }\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}$、

${\displaystyle \partial _{\alpha }\to {\mathcal {D}}_{R\alpha }=\partial _{\alpha }-i{\frac {g_{B}}{2}}Y_{R}B_{\alpha }}$；

其中，${\displaystyle \mathbb {I} }$是单位矩阵，${\displaystyle Y_{L}}$与${\displaystyle Y_{R}}$分别为左手费米子与右手费米子的弱超荷。

注意到${\displaystyle {\mathcal {D}}_{L\alpha }}$是一个2×2矩阵算符，而${\displaystyle {\mathcal {D}}_{R\alpha }}$是一个标量算符。应用这性质，设定SU(2)二重态来表示左手费米子，SU(2)单态来表示右手费米子，就可以促使W玻色子只与左手费米子彼此相互作用。例如，对于第一代轻子，左手二重态、右手单态分别为

${\displaystyle E_{L}={\left({\begin{matrix}\nu _{e}\\e\end{matrix}}\right)}_{L}}$、${\displaystyle e_{R}}$；

其中，${\displaystyle \nu _{e}}$、${\displaystyle e}$分别是中微子、电子的狄拉克旋量。

费米子质量项目以${\displaystyle \psi _{L}}$、${\displaystyle \psi _{R}}$表示为

${\displaystyle -m\,{\overline {\psi }}\psi =-m\,{\overline {\psi }}_{L}\psi _{R}-m\,{\overline {\psi }}_{R}\psi _{L}}$。

由于${\displaystyle \psi _{L}}$、${\displaystyle \psi _{R}}$所涉及的SU(2)_L变换与U(1)_Y变换都不一样，质量项目不能够满足局域规范不变性，必须设定${\displaystyle m=0}$。在标准模型里，遵守规范理论，所有费米子的质量都必须设定为零。这样，费米子项目变为只拥有遵守手征对称性的动能项目：

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{F}=i\,{\overline {\psi }}_{L}\gamma ^{\alpha }D_{L\alpha }\psi _{L}+i\,{\overline {\psi }}_{R}\gamma ^{\alpha }D_{R\alpha }\psi _{R}}$。

希格斯机制可以促使费米子获得质量，通过添加汤川耦合项目${\displaystyle {\mathcal {L}}_{Yukawa}}$在希格斯拉格朗日量${\displaystyle {\mathcal {L}}_{H}}$里，可以达成这目标：

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{Yukawa}=-\lambda _{e}({\overline {E}}_{L}\phi e_{R}+{\overline {e}}_{R}\phi ^{\dagger }E_{L})}$；

其中，${\displaystyle \lambda _{e}}$是电子的“汤川耦合常数”。

由于自发对称性破缺，采用幺正规范，希格斯场会变为

${\displaystyle \phi ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\left({\begin{matrix}0\\v+h\end{matrix}}\right)}}$，

汤川耦合项目会生成电子质量：

${\displaystyle \Delta {\mathcal {L}}_{Yukawa}=-\ {\frac {\lambda _{e}v}{\sqrt {2}}}({\overline {e}}_{L}e_{R}+{\overline {e}}_{R}e_{L})}$。

很明显地，电子质量${\displaystyle m_{e}}$为

${\displaystyle m_{e}=\lambda _{e}v/{\sqrt {2}}}$。

类似地，希格斯机制可以促使其他种费米子获得质量。对于为什么每一种费米子都有其特定的汤川耦合常数${\displaystyle \lambda _{F}}$，希格斯机制并没有给出任何说明。标准模型里的自由参数大多数都是汤川耦合常数^{[3]:79,713-714}

参阅

• 希格斯玻色子的实验探索
• 探寻希格斯玻色子时间轴

注释

1. 希格斯场在最低能量态的平均值，就是“希格斯场的真空期望值”。费曼微积分（Feymann calculus）用来计算的是希格斯场在最低能量态的振动，即希格斯玻色子。
2. 根据量子场论，所有万物都是由量子场形成或组成，而每一种基本粒子则是其对应量子场的微小振动，就如同光子是电磁场的微小振动，夸克是夸克场的微小振动，电子是电子场的微小振动，引力子是引力场的微小振动等等。^[2]:32-33
3. 参考条目克莱因-戈尔登拉格朗日量。
4. 希格斯玻色子的质量为${\displaystyle m_{H}={\sqrt {2\lambda }}v}$。费米耦合常数${\displaystyle G_{F}}$与${\displaystyle v=\mu /{\sqrt {\lambda }}}$之间的关系为${\displaystyle v=({\sqrt {2}}G_{F})^{-1/2}}$。从μ子衰变实验，可以得到费米耦合常数，准确度为0.6ppm，因此，可以计算出${\displaystyle v}$的数值为246GeV。但是，由于${\displaystyle \lambda }$是未知数，物理学者无法预测希格斯玻色子的质量。
5. 假定${\displaystyle \phi _{3}>0}$；否则，将整个复值二重态乘以${\displaystyle -1}$。设定${\displaystyle \mathbf {w} }$为

   ${\displaystyle w_{1}=-w_{3}\phi _{2}/\phi _{4}}$，

   ${\displaystyle w_{2}=-w_{3}\phi _{1}/\phi _{4}}$，

   ${\displaystyle w_{3}={\frac {2\phi _{4}}{\sqrt {\phi _{1}^{2}+\phi _{2}^{2}+\phi _{4}^{2}}}}\arctan {\left({\frac {\sqrt {\phi _{1}^{2}+\phi _{2}^{2}+\phi _{4}^{2}}}{\phi _{3}}}\right)}}$，

   则可以得到 ${\displaystyle e^{i\mathbf {w} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}/2}{\left({\begin{matrix}\phi _{1}+\mathrm {i} \phi _{2}\\\phi _{3}+\mathrm {i} \phi _{4}\end{matrix}}\right)}={\left({\begin{matrix}0\\{\sqrt {\phi _{1}^{2}+\phi _{2}^{2}+\phi _{3}^{2}+\phi _{4}^{2}}}\end{matrix}}\right)}}$。
6. 在粒子物理学里，电磁耦合常数就是单位电荷：

   ${\displaystyle g_{EM}=e}$。

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