汤川耦合

在粒子物理学中，汤川耦合（命名自日本物理学家汤川秀树）是描述一标量场（或赝标量场） ${\displaystyle \phi }$ 和一狄拉克场 ${\displaystyle \psi }$ 在汤川势下产生的相互作用。其具有以下形式 :

${\displaystyle V\approx g\,{\bar {\psi }}\,\phi \,\psi \quad }$（对于标量场）${\displaystyle \qquad }$ 或是 ${\displaystyle \qquad V\approx g\,{\bar {\psi }}\,i\,\gamma ^{5}\,\phi \,\psi \quad }$（对于赝标量场)

汤川耦合最初发展作为强子间的强作用力模型，其可用于描述核子间借由交换π介子（一种赝标量介子）所产生的核力。此外，汤川耦合亦在标准模型中用来表达希格斯粒子和无质量的基础费米子（如夸克和轻子）间的相互作用。这些费米子会透过自发对称破缺得到质量，其会正比于希格斯粒子的真空期望值。这样的相互作用首先在1967年由史蒂文·温伯格提出^[1]。

经典势能

主条目：汤川势

考虑两费米子借由交换一带有质量 ${\displaystyle \mu }$ 的汤川粒子而产生相互作用，其之间的势能（也就是汤川势）可被写成

${\displaystyle V(r)=-{\frac {g^{2}}{\,4\pi r\,}}\,e^{-\mu r}}$

除了正负号及指数部分，此势能形式和电势能相同。负号的部分代表带有相同正负号的荷的粒子在此相互作用下会互相吸引；另一方面，在电磁作用力下电荷同号的粒子则会互相排斥。此差异源于汤川粒子不具有自旋（自旋为0)，而在量子场论^[2]中，交换偶数自旋的玻色子（如自旋为0的π介子、自旋为2的引力子）所产生的相互作用在荷同正负号的情况下会形成互相吸引的势能，交换带有奇数自旋的玻色子（如自旋为1的光子、胶子及ρ介子）则相反。指数的部分则指出此作用力仅在有限范围内有效，长距离下因势能随距离增加呈指数衰减将很难发生相互作用。

作用量

考虑描述一标量介子场 ${\displaystyle \phi }$ 和一狄拉克重子场 ${\displaystyle \psi }$ 之间相互作用的作用量，其可拆解为

${\displaystyle S[\phi ,\psi ]=\int {\bigl [}\,{\mathcal {L}}_{\mathrm {meson} }(\phi )+{\mathcal {L}}_{\mathrm {baryon} }(\psi )+{\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }(\phi ,\psi )\,{\bigr ]}\;\operatorname {d} ^{n}x}$

其中积分范围为一 ${\displaystyle n}$ 维空间，若考虑四维时空则有 ${\displaystyle \operatorname {d} ^{4}x\equiv \operatorname {d} x_{1}\,\operatorname {d} x_{2}\,\operatorname {d} x_{3}\,\operatorname {d} x_{4}}$。

介子的拉格朗日量可写成

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {meson} }(\phi )={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi \;\partial _{\mu }\phi -V(\phi )~.}$

其中 ${\displaystyle V(\phi )}$ 为自身相互作用的势能项。对于一带有质量 ${\displaystyle \mu }$ 的自由介子场，其为 ${\displaystyle V(\phi )={\frac {1}{2}}\,\mu ^{2}\,\phi ^{2}}$；对于一可重整化并带有耦合常数 ${\displaystyle \lambda }$ 的自相互作用场，其为 ${\displaystyle V(\phi )={\frac {1}{2}}\,\mu ^{2}\,\phi ^{2}+\lambda \,\phi ^{4}}$。

自由重子的拉格朗日量可写成

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {baryon} }(\psi )={\bar {\psi }}\,\left(i\,\partial \!\!\!/-m\right)\,\psi }$

其中 ${\displaystyle m}$ 为一正实数，对应到重子的质量。

相互作用的拉格朗日量为

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }(\phi ,\psi )=-V=-g\,{\bar {\psi }}\,\phi \,\psi }$

其中 ${\displaystyle g}$ 为汤川耦合的耦合常数。

综合以上各项可得

${\displaystyle S[\phi ,\psi ]=\int {\bigl [}{\frac {1}{2}}\,\partial ^{\mu }\phi \;\partial _{\mu }\phi -V(\phi )+{\bar {\psi }}\,\left(i\,\partial \!\!\!/-m\right)\,\psi -g\,{\bar {\psi }}\,\phi \,\psi \,{\bigr ]}\operatorname {d} ^{n}x}$

标准模型中的汤川耦合

在标准模型中，希格斯场和费米子以汤川耦合的形式连系在一起，借由自发对称性破缺提供费米子的质量。

考虑势能 ${\displaystyle V(\phi )}$ 在某非零的值 ${\displaystyle \phi =\phi _{0}}$ 具有极小值的情况，由于 ${\displaystyle \phi _{0}}$ 的真空期望值不为零，对应的拉格朗日量会产生自发对称性破缺。势能 ${\displaystyle V(\phi )=\mu ^{2}\,\phi ^{2}+\lambda \,\phi ^{4}}$ 在 ${\displaystyle \mu }$ 为虚数时即是一个例子。

尽管手征对称性在标准模型中禁止了费米子借由形如 ${\displaystyle m{\bar {\psi }}\psi }$ 的项产生质量，${\displaystyle \phi }$ 场不为零的期望值透过另一种方式为费米子提供质量。借由将作用量以 ${\displaystyle \phi '=\phi -\phi _{0}}$ 改写(其中 ${\displaystyle \phi _{0}\neq 0}$ 为 ${\displaystyle \phi }$ 场的真空期望值)，汤川耦合的形式变为

${\displaystyle V=g\,\phi \,{\bar {\psi }}\,\psi =g\,\phi '\,{\bar {\psi }}\,\psi +g\,\phi _{0}\,{\bar {\psi }}\,\psi }$

因为 ${\displaystyle g}$ 和 ${\displaystyle \phi _{0}}$ 皆为常数，上式中的第二项可被视为提供了质量 ${\displaystyle g\,\phi _{0}}$ 。上述机制即为自发对称性破缺提供费米子质量的粗略描述，其中的 ${\displaystyle \phi '}$ 被称为希格斯场。

常数 ${\displaystyle g}$ 在标准模型中是一初始的输入，也就是说，其无法被标准模型推导出来。汤川耦合在其中存在的根本原因仍尚未知晓，有待更完整深入的理论作解释。

马约拉纳费米子

汤川耦合亦可存在于一标量场和一马约拉纳场之间。事实上，在考虑包含一标量场和一狄拉克场的汤川耦合时，其亦可视为一标量场和两个带有相同质量的马约拉纳场之间的相互作用。其作用量有以下形式

${\displaystyle S[\phi ,\chi ]=\int \left[\,{\frac {1}{2}}\,\partial ^{\mu }\phi \;\partial _{\mu }\phi -V(\phi )+\chi ^{\dagger }\,i\,{\bar {\sigma }}\,\cdot \,\partial \chi +{\frac {i}{2}}\,(m+g\,\phi )\,\chi ^{T}\,\sigma ^{2}\,\chi -{\frac {i}{2}}\,(m+g\,\phi )^{*}\,\chi ^{\dagger }\,\sigma ^{2}\,\chi ^{*}\,\right]\;\operatorname {d} ^{n}x}$

其中 ${\displaystyle g}$ 为一复数耦合常数、${\displaystyle m}$ 为一复数、${\displaystyle n}$ 为考虑的时空维度。

参见

• 物理学主题

• 汤川势

资料来源

1. Weinberg, Steven. A Model of Leptons. Physical Review Letters. 1967-11-20, 19 (21): 1264–1266. Bibcode:1967PhRvL..19.1264W. doi:10.1103/PhysRevLett.19.1264.
2. A. Zee. I.5. Quantum Field Theory in a Nutshell 2nd. World Scientific. 2010. ISBN 978-0691140346.

• Itzykson, Claude; Zuber, Jean-Bernard. Quantum Field Theory. New York: McGraw-Hill. 1980. ISBN 0-07-032071-3. 含有内容需登入查看的页面 (link)
• Bjorken, James D.; Drell, Sidney D. Relativistic Quantum Mechanics. New York: McGraw-Hill. 1964. ISBN 0-07-232002-8. 含有内容需登入查看的页面 (link)
• Peskin, Michael E.; Schroeder, Daniel V. An Introduction to Quantum Field Theory. Addison-Wesley. 1995. ISBN 0-201-50397-2. 含有内容需登入查看的页面 (link)