辛群

在数学中，辛群可以指涉两类不同但关系密切的群。在本条目中，我们分别称之为Sp(2n,F)与Sp(n)。后者有时也被称作紧致辛群以资区别。许多作者偏好不同的记法，通常是差个二的倍数。本条目采用的记法与矩阵的大小相称。

群论
群
基本概念 子群 · 正规子群 · 商群 · 群同态 · 像 · (半)直积 · 直和 单群 · 有限群 · 无限群 · 拓扑群 · 群概形 · 循环群 · 幂零群 · 可解群 · 圈积 离散群 有限单群分类 循环群 Zn 交错群 An 李型群 散在群 马蒂厄群 M11..12,M22..24 康威群 Co1..3 扬科群 J1..4 费歇尔群（英语：Fischer group）F22..24 子魔群（英语：sub monster group） B 魔群 M 其他有限群 对称群, Sn 二面体群, Dn 无限群 整数, Z 模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z) 连续群 李群 一般线性群 GL(n) 特殊线性群 SL(n) 正交群 O(n) 特殊正交群 SO(n) 酉群 U(n) 特殊酉群 SU(n) 辛群 Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 劳仑兹群 庞加莱群 无限维群 共形群 微分同胚群 环路群 量子群 O(∞) SU(∞) Sp(∞) 代数群 椭圆曲线 线性代数群（英语：Linear algebraic group） 阿贝尔簇（英语：Abelian variety）
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Sp(2n, F)

域F上次数为2n的辛群是由2n阶辛矩阵在矩阵乘法下构成的群，记为Sp(2n,F)。由于辛矩阵之行列式恒等于一，此群是SL(2n,F)的子群。

抽象而言，辛群可定义为F上一个2n维向量空间上保存一个非退化、斜对称双线性形的所有可逆线性变换。带有这种双线性形的向量空间称为辛向量空间。一个辛向量空间V产生的辛群记为Sp(V)。

当n=1，有Sp(2,F)=SL(2,F)，当n>1时，Sp(2n,F)是SL(2n,F)的真子群。

通常将域F取为实数域${\displaystyle \mathbb {R} }$、复数域${\displaystyle \mathbb {C} }$或非阿基米德局部域，如p进数域${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$。此时辛群Sp(2n,F)是维度等于${\displaystyle n(2n+1)}$的连通代数群。${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {C} )}$是单连通的，而${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$的基本群则同构于${\displaystyle \mathbb {Z} }$。

${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,F)}$的李代数可以刻划为满足下列条件的2n阶方阵${\displaystyle A}$：

${\displaystyle \Omega A+A^{T}\Omega =0}$

其中${\displaystyle A^{T}}$表示${\displaystyle A}$的转置矩阵，而${\displaystyle \Omega }$是下述反对称矩阵

${\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{pmatrix}}}$

Sp(n)

紧辛群 ${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$ 定义为 ${\displaystyle \mathrm {H} ^{n}}$（${\displaystyle \mathbb {H} }$表四元数）上保持标准埃尔米特形式

${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\bar {x}}_{1}y_{1}+\cdots +{\bar {x}}_{n}y_{n}}$

之可逆线性变换。换言之，${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$ 即四元数上的酉群${\displaystyle \mathrm {U} (n,\mathbb {H} )}$。有时此群也被称为超酉群。${\displaystyle \mathrm {Sp} (1)}$ 即单位四元数构成之群，拓扑上同胚于三维球 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$。

${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$ 并不同构于之前定义的 ${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$。下节将解释其间的联系。

${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$ 是 ${\displaystyle n(2n+1)}$ 维之紧致、连通、单连通实李群，并满足

${\displaystyle Sp(n)=U(2n)\cap Sp(2n,\mathbb {C} )}$

其李代数由满足下述关系的 n 阶四元数矩阵构成

${\displaystyle A+A^{\dagger }=0}$

其中 ${\displaystyle A^{\dagger }}$ 是 ${\displaystyle A}$ 的共轭转置（在此取四元数之共轭运算）。李括积由矩阵之交换子给出。

紧辛群 ${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$ 有时称为酉辛群，记为 ${\displaystyle \mathrm {USp} (2n)}$

辛群之间的关系

以上定义之${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$与${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$之李代数在复化后给出相同的单李代数。此李代数记作${\displaystyle C_{n}}$。此李代数也就是复李群${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {C} )}$之李代数，记作${\displaystyle \mathrm {sp} (2n,\mathbb {C} )}$。它有两个不同的实形式：

1. 紧致形式${\displaystyle \mathrm {sp} (n)}$，即${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$之李代数。
2. 正规形式${\displaystyle \mathrm {sp} (2n,\mathbb {R} )}$，即${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$。

辛群之间的关系

	矩阵	李群	dim/R	dim/C	紧致	π1
Sp(2n, R)	R	实	n(2n + 1)	–	否	Z
Sp(2n, C)	C	复	2n(2n + 1)	n(2n + 1)	否	1
Sp(n)	H	实	n(2n + 1)	–	是	1

参见

• 正交群
• 酉群
• 射影酉群
• 辛流形、辛矩阵、辛向量空间、辛符号
• 哈密顿力学