关于与“
超现实数 ”标题相近或相同的条目页,请见“
超实数 ”。
在数学 上,超现实数系统 (英语:Surreal Numbers )是一种连续统 ,其中含有实数 以及无穷 量,即无穷大 (小 )量,其绝对值 大(小)于任何正实数 。超现实数与实数有许多共同性质,包括其全序关系 “≤”以及通常的算术运算(加减乘除);也因此,它们构成了有序域 [注 1] 。在严格的集合论 意义下,超现实数是可能出现的有序域中最大的;其他的有序域,如有理数域 、实数域 、有理函数域 、列维-奇维塔域 、上超实数域 和超实数域 等,全都是超现实数域的子域 。超现实数域也包含可达到的、在集合论 里构造过的所有超限 序数 。
超现实数树的可视化。
超现实数是由约翰·何顿·康威 (John Horton Conway)所定义和构造的。这个名称早在1974年便已由高德纳 (Donald Knuth)在他的书《研究之美》[注 2] [1] [2] 中就被引进了。《研究之美》是一部中短篇数学小说,而值得一提的是,这种把新的数学概念在一部小说中提出来的情形是非常少有的。在这部由对话体写成的著作里,高德纳造了“surreal number”一词,用来指称康威起初只叫做“number”(数)的这个新概念。康威乐于采用新的名称,后来在他1976年的著作《论数字与博弈》(On Numbers and Games)中就描述了超现实数的概念并使用它来进行了一些博弈分析。
概述
康威[3] 使用递归构造了超现实数,其中每个数都是两个数集构成的序对 ,记为
{
L
|
R
}
{\displaystyle \{L|R\}}
。这两个集合要求
L
{\displaystyle L}
里的每个元素都严格小于每个
R
{\displaystyle R}
里的元素。不同的序对可能表达同样的数字:
{
1
|
3
}
=
{
3
2
|
5
2
}
=
2
{\displaystyle \{1|3\}=\left\{{\frac {3}{2}}|{\frac {5}{2}}\right\}=2}
。
整数及二进分数
让我们先来看几个简单的例子。
{
|
}
=
0
{\displaystyle \{|\}=0}
{
0
|
}
=
1
{\displaystyle \{0|\}=1}
{
1
|
}
=
2
{\displaystyle \{1|\}=2}
{
|
0
}
=
−
1
{\displaystyle \{|0\}=-1}
{
|
−
1
}
=
−
2
{\displaystyle \{|-1\}=-2}
因此整数都是超现实数。(以上几行是定义 而非等式 。)
{
0
|
1
}
=
1
2
{\displaystyle \{0|1\}={\frac {1}{2}}}
{
0
|
1
2
}
=
1
4
{\displaystyle \left\{0|{\frac {1}{2}}\right\}={\frac {1}{4}}}
{
1
2
|
1
}
=
3
4
{\displaystyle \left\{{\frac {1}{2}}|1\right\}={\frac {3}{4}}}
至此我们可以通过超现实数定义二进分数 (分母为2的幂次的分数)。
其他实数
为了定义更多的实数,我们可以将使用无限的左右集合:
1
3
=
{
0
,
1
4
,
5
16
,
…
|
1
2
,
3
8
,
…
}
{\displaystyle {\frac {1}{3}}=\{0,{\frac {1}{4}},{\frac {5}{16}},\ldots |{\frac {1}{2}},{\frac {3}{8}},\ldots \}}
,
π
=
{
3
,
25
8
,
201
64
,
…
|
4
,
7
2
,
13
4
,
51
16
,
…
}
{\displaystyle \pi =\{3,{\frac {25}{8}},{\frac {201}{64}},\ldots |4,{\frac {7}{2}},{\frac {13}{4}},{\frac {51}{16}},\ldots \}}
,事实上可以同样地使用二进制展开的方法定义出所有实数。
无穷数
根据归纳法,我们可以构造出
ω
=
{
0
,
1
,
2
,
3
…
|
}
{\displaystyle \omega =\{0,1,2,3\ldots |\}}
,
ω
−
1
=
{
0
,
1
,
2
,
3
…
|
ω
}
{\displaystyle \omega -1=\{0,1,2,3\ldots |\omega \}}
等无穷大的数,
1
ω
=
{
0
|
1
,
1
2
,
1
4
,
1
8
…
}
{\displaystyle {\frac {1}{\omega }}=\{0|1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}}\ldots \}}
等无穷小数。以上超现实数皆不属于实数。
更多的数
我们定义
P
0
=
0
{\displaystyle P_{0}={0}}
。
若
x
=
{
L
|
R
}
,
L
,
R
⊂
P
i
{\displaystyle x=\{L|R\},\ L,R\subset P_{i}}
且
x
∉
P
i
{\displaystyle x\not \in P_{i}}
,那么
x
∈
P
i
+
1
{\displaystyle x\in P_{i+1}}
,这在直观上等价于“
x
{\displaystyle x}
是在第
i
{\displaystyle i}
天中出生的”。
那么我们可以观察发现:
1
,
−
1
∈
P
1
{\displaystyle 1,-1\in P_{1}}
2
,
−
2
,
1
2
,
−
1
2
∈
P
2
{\displaystyle 2,-2,{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\in P_{2}}
π
,
ω
,
1
3
∈
P
ω
{\displaystyle \pi ,\omega ,{\frac {1}{3}}\in P_{\omega }}
ω
−
1
,
ω
+
1
∈
P
ω
+
1
{\displaystyle \omega -1,\omega +1\in P_{\omega +1}}
ω
+
π
∈
P
2
ω
{\displaystyle \omega +\pi \in P_{2\omega }}
,其中
2
ω
=
{
0
,
1
,
2
,
…
,
ω
+
1
,
ω
+
2
,
…
|
}
{\displaystyle 2\omega =\{0,1,2,\ldots ,\omega +1,\omega +2,\ldots |\}}
∀
i
∈
O
r
d
:
i
∈
P
i
{\displaystyle \forall i\in \mathbb {Ord} :i\in P_{i}}
我们将超现实数集合称作
N
o
{\displaystyle \mathbb {No} }
。
序关系
给定
x
=
{
X
L
|
X
R
}
,
y
=
{
Y
L
|
Y
R
}
{\displaystyle x=\{X_{L}|X_{R}\},\ y=\{Y_{L}|Y_{R}\}}
,我们(递归地)定义
x
≤
y
{\displaystyle x\leq y}
当且仅当以下两命题同时成立:
没有一个
x
L
∈
X
L
{\displaystyle x_{L}\in X_{L}}
符合
y
≤
x
L
{\displaystyle y\leq x_{L}}
,
没有一个
y
R
∈
Y
R
{\displaystyle y_{R}\in Y_{R}}
符合
y
R
≤
x
{\displaystyle y_{R}\leq x}
。
那么可以自然地定义
x
<
y
,
x
>
y
,
x
=
y
,
x
≥
y
{\displaystyle x<y,x>y,x=y,x\geq y}
。可以证明,这样的二元关系是一个全序关系 。
我们分别将
x
<
0
,
x
>
0
,
x
≤
0
,
x
≥
0
{\displaystyle x<0,x>0,x\leq 0,x\geq 0}
称为
x
{\displaystyle x}
负、
x
{\displaystyle x}
正、
x
{\displaystyle x}
非正、
x
{\displaystyle x}
非负。
我们定义
x
‖
y
{\displaystyle x\|y}
表示
x
≤
y
{\displaystyle x\leq y}
与
y
≤
x
{\displaystyle y\leq x}
同时不成立 。事实上这样的二元关系在超现实数中不可能存在,但是这个关系会在之后的博弈 章节出现。
运算
加法
我们定义超现实数之间的加法 为
x
+
y
=
{
X
L
+
y
∪
x
+
Y
L
|
X
R
+
y
∪
x
+
Y
R
}
{\displaystyle x+y=\left\{X_{L}+y\cup x+Y_{L}|X_{R}+y\cup x+Y_{R}\right\}}
,其中
X
+
y
=
{
x
+
y
|
x
∈
X
}
,
x
+
Y
=
{
x
+
y
|
y
∈
Y
}
{\displaystyle X+y=\left\{x+y|x\in X\right\},x+Y=\left\{x+y|y\in Y\right\}}
。
加法逆元
我们定义负号(加法逆元 )为
−
x
=
{
−
X
R
|
−
X
L
}
{\displaystyle -x=\left\{-X_{R}|-X_{L}\right\}}
,其中
−
X
=
{
−
x
|
x
∈
X
}
{\displaystyle -X=\left\{-x|x\in X\right\}}
。
可以验证这两个运算构成了(真类 上的)阿贝尔群 。
乘法
我们定义乘法 运算为
x
y
=
{
(
X
L
y
+
x
Y
L
−
X
L
Y
L
)
∪
(
X
R
y
+
x
Y
R
−
X
R
Y
R
)
|
(
X
L
y
+
x
Y
R
−
X
L
Y
R
)
∪
(
X
R
y
+
x
Y
L
−
X
R
Y
L
)
}
{\textstyle xy=\left\{(X_{L}y+xY_{L}-X_{L}Y_{L})\cup (X_{R}y+xY_{R}-X_{R}Y_{R})|(X_{L}y+xY_{R}-X_{L}Y_{R})\cup (X_{R}y+xY_{L}-X_{R}Y_{L})\right\}}
,其中
X
Y
=
{
x
y
|
x
∈
X
,
y
∈
Y
}
,
x
Y
=
{
x
}
Y
,
X
y
=
X
{
y
}
{\displaystyle XY=\{xy|x\in X,y\in Y\},\ xY=\{x\}Y,\ Xy=X\{y\}}
。
乘法逆元
我们定义(正数的)乘法逆元 为
1
y
=
{
0
,
1
+
(
y
R
−
y
)
(
1
y
)
L
y
R
,
1
+
(
y
L
−
y
)
(
1
y
)
R
y
L
|
1
+
(
y
L
−
y
)
(
1
y
)
L
y
L
,
1
+
(
y
R
−
y
)
(
1
y
)
R
y
R
}
{\textstyle {\frac {1}{y}}={\Bigg \{}0,{\frac {1+(y^{R}-y)({\frac {1}{y}})^{L}}{y^{R}}},{\frac {1+(y^{L}-y)({\frac {1}{y}})^{R}}{y^{L}}}{\Bigg |}{\frac {1+(y^{L}-y)({\frac {1}{y}})^{L}}{y^{L}}},{\frac {1+(y^{R}-y)({\frac {1}{y}})^{R}}{y^{R}}}{\Bigg \}}}
,这样除法就是
x
y
=
x
(
1
y
)
{\displaystyle {\frac {x}{y}}=x\left({\frac {1}{y}}\right)}
。我们可以发现这个定义是递归 的,但是实际上这个数字是良定义的:我们取
y
=
3
=
{
2
|
}
{\textstyle y=3=\{2|\}}
那么
1
3
{\textstyle {\frac {1}{3}}}
会有一个
0
{\textstyle 0}
作为左项,导致了
1
+
(
2
−
3
)
0
2
=
1
/
2
{\textstyle {\frac {1+(2-3)0}{2}}=1/2}
会是一个右项。这又意味着
1
+
(
2
−
3
)
(
1
2
)
2
=
1
4
{\textstyle {\frac {1+(2-3)\left({\frac {1}{2}}\right)}{2}}={\frac {1}{4}}}
作为左项、
1
+
(
2
−
3
)
(
1
4
)
2
=
3
8
{\textstyle {\frac {1+(2-3)\left({\frac {1}{4}}\right)}{2}}={\frac {3}{8}}}
作为右项,以此类推,所以我们有
1
3
=
{
0
,
1
4
,
5
16
,
…
|
1
2
,
3
8
,
…
}
{\textstyle {\frac {1}{3}}=\{0,{\frac {1}{4}},{\frac {5}{16}},\ldots |{\frac {1}{2}},{\frac {3}{8}},\ldots \}}
(考虑两边的序列在实数中分别收敛到
1
3
{\displaystyle {\frac {1}{3}}}
,因此是相容的)。
对于负数,我们定义
1
x
=
−
1
−
x
(
x
<
0
)
{\displaystyle {\frac {1}{x}}=-{\frac {1}{-x}}\quad (x<0)}
。
子集对应
有理数 、实数 、序数 分别是超现实数的子集。
有理数
所有二进分数都可以定义为超现实数,而所有分数都可以表示为两个整数之比,因此所有有理数都可以表示为超现实数。
实数
在定义出了有理数之后,使用戴德金分割 可以立刻将实数映射到超现实数中。
假设
x
∈
R
,
x
=
A
|
A
′
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,x=A|A'}
,其中
A
,
A
′
⊂
Q
{\displaystyle A,A'\subset \mathbb {Q} }
,那么立刻可知存在
X
∈
N
o
,
X
=
{
f
(
A
)
|
f
(
B
)
}
{\displaystyle X\in \mathbb {No} ,X=\left\{f(A)|f(B)\right\}}
是
x
{\displaystyle x}
的一个超现实数表示,其中
f
:
Q
→
N
o
{\displaystyle f:\mathbb {Q} \to \mathbb {No} }
是有理数到超现实数的域同态。
序数
我们将所有序数定义为小于它的序数构成的集合[4] 。所有序数的全体记为
O
r
d
{\displaystyle \mathbb {Ord} }
,那么我们有:
f
:
O
r
d
→
N
o
,
f
(
X
)
=
{
f
(
x
)
,
x
∈
X
|
}
{\displaystyle f:\mathbb {Ord} \to \mathbb {No} ,\ f(X)=\left\{f(x),x\in X|\right\}}
这样的同态可以保持序关系的结构,但是并不能保证算术的一一对应,比如
ω
−
1
{\displaystyle \omega -1}
这一式子的值在序数中的结果是
ω
{\displaystyle \omega }
,而在超现实数中则是
{
0
,
1
,
2
,
…
|
ω
}
{\displaystyle \{0,1,2,\ldots |\omega \}}
.
博弈
如果去除超现实数定义中对所有
L
<
R
{\displaystyle L<R}
的约定,那么这样(递归)定义出来的真类被称做游戏 [5] 。对其仍然可以(一模一样的)定义加法、加法逆元以及比较。
显然,所有的超现实数都是游戏,但并非所有游戏都是超现实数,例如
⋆
=
{
0
|
0
}
{\displaystyle \star =\{0|0\}}
就不是,其满足
⋆
‖
0
{\displaystyle \star \|0}
。
可以发现,所有的游戏都体现了一个两人轮流、确定、公开的博弈游戏,其中左集合表示第一位玩家(下称左玩家 )可以走到的局面,右集合则表示第二位玩家(下称右玩家 )的选择,不能操作者负。
两个游戏的和的意义就是同时进行两个游戏,而每个玩家选择其中一个进行操作,不能操作者负。
我们可以发现,这个游戏的胜负取决于
G
{\displaystyle G}
和
0
{\displaystyle 0}
的相对关系。
若
G
=
0
{\displaystyle G=0}
,则后手必胜。
若
G
>
0
{\displaystyle G>0}
,则左玩家必胜。
若
G
<
0
{\displaystyle G<0}
,则右玩家必胜。
若
G
‖
0
{\displaystyle G\|0}
,则先手必胜(英语:fuzzy game )。
有以下这些特殊的游戏[6] :
⋆
=
{
0
|
0
}
{\displaystyle \star =\{0|0\}}
↑=
{
0
|
⋆
}
,
↓=
{
⋆
|
0
}
{\displaystyle \uparrow =\{0|\star \},\ \downarrow =\{\star |0\}}
±
1
=
{
1
|
−
1
}
{\displaystyle \pm 1=\{1|-1\}}
可以发现,关于他们有这么几个性质:
⋆
‖
0
{\displaystyle \star \|0}
∀
i
:
−
1
≤
i
≤
1
⟹
±
1
‖
i
{\displaystyle \forall i:-1\leq i\leq 1\implies \pm 1\|i}
∀
x
∈
N
o
,
x
>
0
:
−
x
<↓<
0
<↑<
x
{\displaystyle \forall x\in \mathbb {No} ,x>0:-x<\downarrow <0<\uparrow <x}
(比所有超现实数更接近0)
⋆
+
⋆
=↑
+
↓=
0
{\displaystyle \star +\star =\uparrow +\downarrow =0}
(
↑
+
⋆
)
‖
0
,
↑
+
↑
+
⋆
>
0
{\displaystyle (\uparrow +\star )\|0,\ \uparrow +\uparrow +\star >0}
可以用于分析复杂的游戏。
暂译术语
超现实数(Surreal)
无穷量(Infinitesimal)
格罗滕迪克 宇集
注释
来源
《研究之美》(Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness)
现在本书的中文译文已经在大陆出版,见存档副本 . [2012-05-10 ] . (原始内容存档 于2012-03-16).
E. Berlekamp; J. H. Conway; R. Guy. Winning Ways for your Mathematical Plays I . Academic Press. 1982. ISBN 0-12-091101-9 . E. Berlekamp; J. H. Conway; R. Guy. Winning Ways for your Mathematical Plays II . Academic Press. 1982. ISBN 0-12-091102-7 .