无理数(irrational number)是指有理数以外的实数,当中的“理”字来自于拉丁语的rationalis,意思是“理解”,实际是拉丁文对于logos“说明”的翻译,是指无法用两整数之比来说明的无理数。
非有理数之实数不能写作两整数之比。若将它写成小数形式,小数点后有无限多位,并且不会循环,即无限不循环小数(任何有限或无限循环小数可表示成两整数的比)。常见无理数有大部分的平方根、π和e(后两者同时为超越数)等。无理数另一特征是无限的连分数表达式。
传说中,无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯斯发现,他以几何方法证明
无法用整数及分数表示;而毕达哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示,不相信无理数存在,后来希伯斯触犯学派章程,将无理数透露给外人,因而被扔进海中处死,其罪名竟然等同于“渎神”。另见第一次数学危机。
无理数可以通过有理数的分划的概念来定义。
=1.73205080…
3=0.47712125…
- e=2.71828182845904523536…
- sin 45°=
=0.70710678…
- π=3.141592653589793238462…
- 无理数加或减无理数不一定得无理数,如
。
- 无理数乘不等于0的有理数必得无理数。
- 无理数的平方根、立方根等次方根必得无理数。
无理数集是不可数集(有理数集是可数集而实数集是不可数集)。无理数集是不完备的拓扑空间,它与所有正数数列的集拓扑同构,当中的同构映射是无理数的连分数开展,因而贝尔纲定理可应用于无数间的拓扑空间。
假设
是有理数,两边平方得
其中因为
是有理数,所以
也是有理数。
透过证明
为无理数的方法,其中
为一非完全平方数
可以证明
是无理数
同样也推出
是无理数
但这又和
是有理数互相矛盾
所以
是一无理数
证一
同样,假设
是有理数,两边平方得
,
于是
是有理数。两边再次平方,得:
,
于是
由于
是有理数,所以
透过证明形如
的数是无理数的方法,得出
也是一无理数
但这结果明显和
与
皆为有理数出现矛盾,故
为无理数
证二
同样假设
是有理数,
,两边平方:
证明
形式的数是无理数的方法,得出
是无理数
也是矛盾的。
,两边平方得
,得到
为一有理数
,两边继续平方:
由于
,
皆为有理数
设
,
亦为有理数
证明
形式的数是无理数的方法可知
为无理数
这和
是有理数冲突
所以得证
为无理数