加法逆元(additive inverse)又称相反数(opposite)、反数,其定义是对于任意数 a {\displaystyle a} ,存在相反数满足其与 a {\displaystyle a} 的和为零(加法单位元); a {\displaystyle a} 的加法逆元表示为 − a {\displaystyle -a} 。 本条目存在以下问题,请协助改善本条目或在讨论页针对议题发表看法。 此条目需要扩充。 (2015年2月15日) 此条目需要精通或熟悉相关主题的编者参与及协助编辑。 (2015年2月15日) 此条目没有列出任何参考或来源。 (2015年2月15日) 在实数中,数 a {\displaystyle a} 的相反数 − a {\displaystyle -a} ,称为其加法逆元;相对地,数 a {\displaystyle a} 的倒数 1 a {\displaystyle {\frac {1}{a}}} 或 a − 1 {\displaystyle a^{-1}} ,则称为其乘法逆元。 设“+”为一个交换性的二元运算,即对于所有 x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} , x + y = y + x {\displaystyle x+y=y+x} 。若该集合中存在一个元素 0 {\displaystyle 0} ,使得对于所有 x {\displaystyle x} , x + 0 = 0 + x = x {\displaystyle x+0=0+x=x} ,则此元素是唯一的。如果对于一个给定的 x {\displaystyle x} ,存在一个 x ′ {\displaystyle x'} 使得 x + x ′ = x ′ + x = 0 {\displaystyle x+x'=x'+x=0} ,则称 x ′ {\displaystyle x'} 是 x {\displaystyle x} 的加法逆元。 定义 若“+”满足结合律,则任意数的加法逆元是唯一的。 证明 反证法: 设 x {\displaystyle x} 有两个相异的加法逆元 x 1 {\displaystyle x_{1}} 、 x 2 {\displaystyle x_{2}} 有 x = x + 0 {\displaystyle x=x+0} 的关系。 ⇒ 0 = x + x 1 = x + x 2 {\displaystyle 0=x+x_{1}=x+x_{2}} ⇒ x 1 = x 2 {\displaystyle x_{1}=x_{2}} 产生矛盾,证讫。 向量空间:标量乘法 − 1 {\displaystyle -1} 欧几里得空间:以原点为中心的反演变换