交换律 （英语：Commutative property ）是被普遍使用的一个数学 名词，意指能改变某物的顺序而不改变其最终结果。交换律是大多数数学分支中的基本性质，而且许多的数学证明 需要倚靠交换律。简单运算的交换律许久都被假定存在，且没有给定其一特定的名称，直到19世纪，数学家开始形式化数学理论之后，交换律才得到正式的定义[ 1] [ 2]
一个表示加法（ 3 + 2 = 2 + 3 ）的交换律的例子
交换律 是一个和二元运算 及函数 有关的性质。而若交换律对一特定二元运算下的一对元素成立，则称这两个元素为在此运算下是“可交换”的。
在群论 和集合论 中，许多的代数结构被称做是可交换的，若其中的运算域满足交换律。在数学分析 和线性代数 中，一些知名的运算（如实数及复数上的加法 和乘法 ）的交换律会经常被用于（或假定存在于）证明之中。[ 3] [ 4] [ 5]
“可交换”一词被使用于如下几个相关的概念中[ 6] [ 7]
1. 在集合
S
{\displaystyle S}
二元运算
∗
{\displaystyle *}
∀
x
,
y
∈
S
,
x
∗
y
=
y
∗
x
{\displaystyle \forall x,y\in S,x*y=y*x}
2. 若称
x
{\displaystyle x}
∗
{\displaystyle *}
y
{\displaystyle y}
x
∗
y
=
y
∗
x
{\displaystyle x*y=y*x}
3. 一二元函数
f
:
A
×
A
→
B
{\displaystyle f:A\times A\to B}
∀
x
,
y
∈
A
,
f
(
x
,
y
)
=
f
(
y
,
x
)
{\displaystyle \forall x,y\in A,f(x,y)=f(y,x)}
Commutative这一词第一个已知的应用是在1814年的一本法国期刊上 对交换律假定存在的应用早在很久之前便已有所记戴。埃及人 用乘法 的交换律来简化乘积 的计算。[ 8] [ 9] 欧几里得 在《几何原本 》中已有假定了乘法交换律的存在。[ 10]
第一个使用“可交换（commutative）”一词的是 Francois Servois 于1814年写下的笔记[ 11] [ 12] 英国皇家学会哲学汇刊 中。[ 11]
显示加法函数对称性的图
结合律和交换律密切相关着。结合律是指运算的顺序并不会影响其最终结果。相对地，交换律则是指算子的顺序不会影响其最终结果的性质。
洗一双鞋子可类比为一可交换运算，因为不论是左边的鞋子先洗，还是右边的鞋子先洗，最终的结果（两只鞋子都洗好）是一样的。
成语“朝三暮四”也可看做是可交换运算的一个例子。
串接 （将字串连在一起的行为）是个不可交换运算。洗衣和干衣可类比成不可交换运算，因为先干衣再洗衣和先洗衣再干衣两者会得出很不同的结果来。
魔术方块 是不可交换的。例如，将正面顺时针扭转，顶面顺时针扭转，再将正面逆时针扭转（FUF'），并不会得出如将正面顺时针扭转，再将正面逆时针扭转，最后再将顶面顺时针扭转（FF'U）一样的结果。扭转是不可交换的。这些扭转被研究于群论 中。
O'Conner and Robertson, Real Numbers
Cabillón and Miller, Commutative and Distributive
O'Conner and Robertson, Servois
Abstract algebra theory. Covers commutativity in that context. Uses property throughout book. Goodman, Frederick. Algebra: Abstract and Concrete, Stressing Symmetry, 2e. Prentice Hall. 2003. ISBN 978-0-13-067342-8 . Abstract algebra theory. Uses commutativity property throughout book. Linear algebra theory. Explains commutativity in chapter 1, uses it throughout.
Article describing the mathematical ability of ancient civilizations. Robins, R. Gay, and Charles C. D. Shute. 1987. The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text . London: British Museum Publications Limited. ISBN 978-0-7141-0944-2 Translation and interpretation of the Rhind Mathematical Papyrus .
Hazewinkel, Michiel (编), Commutativity , 数学百科全书 , Springer , 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 Krowne, Aaron, Commutative PlanetMath ., Accessed 2007-08-08.
Definition of commutativity and examples of commutative operations
埃里克·韦斯坦因 . Commute . MathWorld .Explanation of the term commute Yark . [2008-02-21 ] . （原始内容 存档于2010-11-26）.Examples of non-commutative operations PlanetMath ., Accessed 2007-08-08
Examples proving some noncommutative operations O'Conner, J.J.; Robertson, E.F. History of real numbers . MacTutor. [2007-08-08 ] . （原始内容 存档于2009-09-18）.
Article giving the history of the real numbers Cabillón, Julio; Miller, Jeff. Earliest Known Uses Of Mathematical Terms . [2008-11-22 ] . （原始内容 存档于2011-05-01）.
Page covering the earliest uses of mathematical terms O'Conner, J.J.; Robertson, E.F. biography of François Servois . MacTutor. [2007-08-08 ] . （原始内容 存档于2009-09-02）.
Biography of Francois Servois, who first used the term 
